一、單元分析（一）地位與作用“正比例與反比例”是北師大版五年級下冊的核心單元，也是學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。本單元以“變量關(guān)系”為核心，通過具體情境引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“變化的量”，理解“正比例”“反比例”的意義，滲透函數(shù)思想（如“變量相依關(guān)系”“對應(yīng)關(guān)系”）。這些內(nèi)容既是后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)，也為學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察生活中的變化規(guī)律提供了工具。（二）內(nèi)容框架與邏輯線索本單元內(nèi)容以“變量關(guān)系”為主線，逐步展開：1.變化的量：通過表格、圖像、文字描述，認(rèn)識生活中“相互關(guān)聯(lián)的變量”（如時間與路程、體溫與時間），初步感知“量的變化”。2.正比例：從“比值一定”的角度，理解正比例的意義（如總價與數(shù)量、路程與時間），并通過圖像（直線）直觀表示正比例關(guān)系。3.反比例：從“乘積一定”的角度，理解反比例的意義（如磚的面積與數(shù)量、速度與時間），對比正比例深化對“變量關(guān)系”的認(rèn)識。4.綜合練習(xí)：通過實(shí)際問題，鞏固正反比例的判斷與應(yīng)用，區(qū)分兩者的本質(zhì)差異。邏輯線索：具體情境→變量識別→規(guī)律總結(jié)→符號表達(dá)→圖像直觀→綜合應(yīng)用，符合學(xué)生“從具體到抽象、從感性到理性”的認(rèn)知規(guī)律。（三）學(xué)情分析1.已有基礎(chǔ)：五年級學(xué)生已掌握“用字母表示數(shù)”“簡單方程”“比和比例”等知識，能解決“單價×數(shù)量=總價”“速度×?xí)r間=路程”等數(shù)量關(guān)系問題，具備一定的觀察、分析能力。2.認(rèn)知難點(diǎn)：對“相關(guān)聯(lián)的量”的理解（如“為什么兩個量要‘相互關(guān)聯(lián)’”）；區(qū)分“正比例”與“反比例”的本質(zhì)差異（比值一定vs乘積一定）；從“具體情境”到“抽象概念”的概括（如從“購買蘋果的總價與數(shù)量”總結(jié)“正比例意義”）。二、單元目標(biāo)（一）知識與技能1.能識別生活中“相關(guān)聯(lián)的變量”，用表格、圖像或文字描述其變化關(guān)系。2.理解正比例、反比例的意義，能判斷兩個量是否成正比例或反比例。3.能畫出正比例關(guān)系的圖像（直線），并從圖像中獲取信息（如對應(yīng)值、預(yù)測）。（二）過程與方法1.通過觀察、比較、分析（如計(jì)算比值、乘積），經(jīng)歷“變量關(guān)系”的探索過程，發(fā)展歸納推理能力（如從“蘋果總價與數(shù)量的比值一定”總結(jié)正比例意義）。2.通過“描點(diǎn)連線”繪制正比例圖像，體會“數(shù)形結(jié)合”思想（如直線表示“比值不變”）。（三）情感態(tài)度與價值觀1.感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系（如用正比例解決購物問題、用反比例解決鋪磚問題），體會“數(shù)學(xué)是描述變化規(guī)律的工具”。2.在探究變量關(guān)系的過程中，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣（如準(zhǔn)確判斷“是否成比例”）。三、單元教學(xué)策略1.情境化策略：以學(xué)生熟悉的生活場景（如購物、行程、鋪地）為載體，讓變量關(guān)系“看得見、摸得著”。例如，用“購買蘋果”的情境引入正比例（數(shù)量越多，總價越高）；用“鋪教室地面”的情境引入反比例（磚越大，數(shù)量越少）。2.探究式策略：讓學(xué)生通過“觀察—計(jì)算—總結(jié)”的過程自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例如，在“正比例”教學(xué)中，讓學(xué)生計(jì)算“總價÷數(shù)量”的比值，發(fā)現(xiàn)“單價一定”的規(guī)律；在“反比例”教學(xué)中，讓學(xué)生計(jì)算“磚的面積×數(shù)量”的乘積，發(fā)現(xiàn)“鋪地面積一定”的規(guī)律。3.對比式策略：通過“正比例”與“反比例”的對比，突出兩者的本質(zhì)差異。例如，用表格對比“正比例（比值一定）”與“反比例（乘積一定）”的變量關(guān)系，讓學(xué)生明確：正比例是“同增同減”，反比例是“一增一減”。4.直觀化策略：用圖像（如正比例的直線、反比例的曲線雛形）幫助學(xué)生理解變量關(guān)系。例如，通過“汽車行駛路程”的圖像，讓學(xué)生直觀看到“時間越長，路程越遠(yuǎn)”的正比例關(guān)系。四、課時設(shè)計(jì)（共5課時）**第1課時：變化的量**（一）教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合具體情境，認(rèn)識“相關(guān)聯(lián)的變量”（如時間與路程、體溫與時間）。2.能通過表格、圖像、文字描述，表達(dá)變量之間的變化關(guān)系。3.感受生活中“量的變化”，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)眼光觀察生活的意識。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：認(rèn)識“相關(guān)聯(lián)的變量”，描述其變化關(guān)系。難點(diǎn)：理解“變量之間的相互關(guān)聯(lián)”（如“時間變化導(dǎo)致路程變化”）。（三）教學(xué)過程1.情境導(dǎo)入：猜一猜“變化的量”（5分鐘）出示情境：“汽車從A地開往B地，行駛的時間和路程如下表：”（表格：時間1小時→路程60千米，時間2小時→路程120千米，時間3小時→路程180千米）。提問：“表格中哪些量在變化？它們是怎么變化的？”（引導(dǎo)學(xué)生說出“時間越長，路程越遠(yuǎn)”）。揭示課題：“生活中還有很多這樣的‘變化的量’，今天我們就來研究它們?！?.探究新知：認(rèn)識“相關(guān)聯(lián)的變量”（20分鐘）（1）表格中的變量（10分鐘）出示“駱駝體溫變化”表格（時間：0時→體溫35℃，6時→37℃，12時→40℃，18時→37℃，24時→35℃）。提問：“哪些量在變化？體溫隨時間的變化有什么規(guī)律？”（引導(dǎo)學(xué)生說出“時間變化，體溫也變化；12時體溫最高，24時回到初始值”）。小結(jié)：“像時間與路程、時間與體溫這樣，一個量變化，另一個量也隨著變化，我們把它們叫做‘相關(guān)聯(lián)的量’?！保?）圖像中的變量（10分鐘）出示“駱駝體溫變化”的圖像（橫軸：時間，縱軸：體溫）。提問：“圖像中，體溫隨時間的變化趨勢是怎樣的？”（引導(dǎo)學(xué)生說出“從0時到12時，體溫上升；12時到24時，體溫下降”）。對比表格與圖像：“表格和圖像都能表示變量關(guān)系，它們各有什么特點(diǎn)？”（表格：準(zhǔn)確數(shù)值；圖像：直觀趨勢）。3.鞏固應(yīng)用：找一找“變化的量”（10分鐘）出示情境：“小明的身高與年齡”“正方形的邊長與面積”“鉛筆的支數(shù)與總價”。提問：“這些情境中，哪些是相關(guān)聯(lián)的變量？請描述它們的變化關(guān)系?！保ㄈ纭般U筆支數(shù)越多，總價越高”“邊長越長，面積越大”）。4.總結(jié)提升（5分鐘）提問：“今天我們認(rèn)識了什么？你能舉一個生活中‘變化的量’的例子嗎？”小結(jié)：“生活中充滿了變化的量，它們相互關(guān)聯(lián)，我們可以用表格、圖像來描述它們的變化關(guān)系?！保ㄋ模┌鍟O(shè)計(jì)變化的量相關(guān)聯(lián)的量：一個量變化，另一個量也隨著變化。表示方式：表格（準(zhǔn)確數(shù)值）、圖像（直觀趨勢）。（五）作業(yè)布置1.觀察生活中的一個“變化的量”（如“家里每月用電量與電費(fèi)”），用表格或圖像記錄下來。2.思考：“這些變量之間的變化有規(guī)律嗎？”（為下節(jié)課“正比例”做鋪墊）。**第2課時：正比例的意義**（一）教學(xué)目標(biāo)1.理解正比例的意義（兩個相關(guān)聯(lián)的量，比值一定）。2.能判斷兩個量是否成正比例（如總價與數(shù)量、路程與時間）。3.體會“比值一定”是正比例的核心特征。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解正比例的意義（比值一定）。難點(diǎn)：判斷兩個量是否成正比例。（三）教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入：回憶“變化的量”（5分鐘）出示“購買蘋果”的表格（數(shù)量1kg→總價8元，數(shù)量2kg→總價16元，數(shù)量3kg→總價24元）。提問：“表格中的變量是什么？它們是怎么變化的？”（引導(dǎo)學(xué)生說出“數(shù)量越多，總價越高”）。2.探究新知：正比例的意義（20分鐘）（1）計(jì)算比值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（10分鐘）提問：“總價與數(shù)量的比值是多少？（8÷1=8，16÷2=8，24÷3=8）”小結(jié)：“總價÷數(shù)量=單價（一定），像這樣，兩個相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，如果它們的比值一定，那么這兩個量成正比例?！保?）舉例驗(yàn)證：正比例的意義（10分鐘）出示“汽車行駛路程”表格（時間1小時→路程60千米，時間2小時→路程120千米，時間3小時→路程180千米）。提問：“路程與時間的比值是多少？（60÷1=60，120÷2=60，180÷3=60）”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：“路程÷時間=速度（一定），所以路程與時間成正比例。”3.鞏固應(yīng)用：判斷正比例（10分鐘）出示練習(xí)：“判斷下列量是否成正比例：①長方形的長一定，面積與寬；②小明的年齡與身高；③單價一定，總價與數(shù)量?！币螅骸跋日f出‘相關(guān)聯(lián)的量’，再計(jì)算‘比值是否一定’，最后判斷是否成正比例。”（如①面積與寬是相關(guān)聯(lián)的量，面積÷寬=長（一定），所以成正比例；②年齡與身高的比值不一定，所以不成正比例）。4.總結(jié)提升（5分鐘）提問：“什么是正比例？判斷兩個量是否成正比例的關(guān)鍵是什么？”小結(jié)：“正比例的關(guān)鍵是‘相關(guān)聯(lián)的量+比值一定’；比如‘總價與數(shù)量’‘路程與時間’都是成正比例的量。”（四）板書設(shè)計(jì)正比例的意義定義：兩個相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，比值一定。舉例：總價÷數(shù)量=單價（一定）→總價與數(shù)量成正比例；路程÷時間=速度（一定）→路程與時間成正比例。（五）作業(yè)布置1.完成課本“練一練”第1、2題（判斷正比例）。2.找一找生活中的正比例例子（如“每分鐘打字個數(shù)一定，打字總數(shù)與時間”），并說明理由。**第3課時：正比例的圖像**（一）教學(xué)目標(biāo)1.認(rèn)識正比例圖像的特點(diǎn)（直線）。2.能從正比例圖像中獲取信息（如對應(yīng)值、預(yù)測）。3.體會“數(shù)形結(jié)合”的思想。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：認(rèn)識正比例圖像的直線特征。難點(diǎn)：從圖像中獲取信息（如“3小時行駛多少千米”）。（三）教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入：正比例的意義（5分鐘）出示“汽車行駛路程”表格（時間1小時→路程60千米，時間2小時→路程120千米，時間3小時→路程180千米）。提問：“路程與時間成正比例嗎？為什么？”（引導(dǎo)學(xué)生說出“比值一定”）。2.探究新知：繪制正比例圖像（15分鐘）（1）描點(diǎn)（5分鐘）出示坐標(biāo)系（橫軸：時間/小時，縱軸：路程/千米）。引導(dǎo)學(xué)生將表格中的數(shù)據(jù)（1,60）、（2,120）、（3,180）描在坐標(biāo)系中。（2）連線（5分鐘）提問：“把這些點(diǎn)連起來，會是什么形狀？”（學(xué)生動手連線，發(fā)現(xiàn)是直線）。（3）分析圖像（5分鐘）提問：“這條直線表示什么？（路程與時間的正比例關(guān)系）”“從圖像中能看出‘2.5小時行駛多少千米’嗎？（引導(dǎo)學(xué)生從橫軸2.5小時處向上作垂線，與直線交點(diǎn)的縱軸值即為路程，約150千米）”3.鞏固應(yīng)用：解讀正比例圖像（15分鐘）出示“購買蘋果”的圖像（橫軸：數(shù)量/kg，縱軸：總價/元，直線經(jīng)過（1,8）、（2,16）等點(diǎn)）。提問：“（1）1.5kg蘋果的總價是多少？（2）總價32元能買多少kg蘋果？”（引導(dǎo)學(xué)生用“垂線法”從圖像中找答案：1.5kg對應(yīng)12元，32元對應(yīng)4kg）。4.總結(jié)提升（5分鐘）提問：“正比例圖像有什么特點(diǎn)？它能告訴我們什么？”小結(jié)：“正比例圖像是一條直線，它能直觀表示‘變量之間的對應(yīng)關(guān)系’，還能預(yù)測未給出的數(shù)據(jù)（如2.5小時的路程）?！保ㄋ模┌鍟O(shè)計(jì)正比例的圖像特點(diǎn)：直線（表示比值一定）。作用：直觀表示對應(yīng)關(guān)系（如時間→路程、數(shù)量→總價）；預(yù)測未給出的數(shù)據(jù)（如2.5小時行駛150千米）。（五）作業(yè)布置1.完成課本“練一練”第3題（繪制正比例圖像并解讀）。2.用“每分鐘打字60個”的情境，繪制“打字總數(shù)與時間”的正比例圖像，并回答：“10分鐘能打多少字？打900字需要多少分鐘？”**第4課時：反比例的意義**（一）教學(xué)目標(biāo)1.理解反比例的意義（兩個相關(guān)聯(lián)的量，乘積一定）。2.能判斷兩個量是否成反比例（如磚的面積與數(shù)量、速度與時間）。3.對比正比例與反比例，突出兩者的本質(zhì)差異。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解反比例的意義（乘積一定）。難點(diǎn)：判斷兩個量是否成反比例（與正比例區(qū)分）。（三）教學(xué)過程1.情境導(dǎo)入：鋪地問題（5分鐘）出示情境：“教室要鋪地面，用邊長為2dm的磚，需要360塊；用邊長為3dm的磚，需要多少塊？”（引導(dǎo)學(xué)生說出“磚越大，需要的塊數(shù)越少”）。2.探究新知：反比例的意義（20分鐘）（1）計(jì)算乘積，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（10分鐘）出示表格（磚的邊長/dm→2→3→4→6；磚的面積/dm2→4→9→16→36；需要的塊數(shù)→360→160→90→60）。提問：“磚的面積與需要的塊數(shù)的乘積是多少？（4×360=1440，9×160=1440，16×90=1440）”小結(jié)：“磚的面積×塊數(shù)=鋪地面積（一定），像這樣，兩個相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，如果它們的乘積一定，那么這兩個量成反比例?！保?）舉例驗(yàn)證：反比例的意義（10分鐘）出示“汽車行駛路程”情境（路程一定，速度與時間的關(guān)系：速度60km/h→時間6小時；速度80km/h→時間4.5小時；速度90km/h→時間4小時）。提問：“速度與時間的乘積是多少？（60×6=360，80×4.5=360，90×4=360）”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：“速度×?xí)r間=路程（一定），所以速度與時間成反比例?！?.鞏固應(yīng)用：判斷反比例（10分鐘）出示練習(xí)：“判斷下列量是否成反比例：①長方形的面積一定，長與寬；②小明的身高與體重；③總路程一定，速度與時間?！币螅骸跋日f出‘相關(guān)聯(lián)的量’，再計(jì)算‘乘積是否一定’，最后判斷是否成反比例?！保ㄈ纰匍L×寬=面積（一定），所以成反比例；②身高與體重的乘積不一定，所以不成反比例）。4.總結(jié)提升（5分鐘）提問：“什么是反比例？它與正比例有什么不同？”小結(jié)：“反比例的關(guān)鍵是‘相關(guān)聯(lián)的量+乘積一定’；正比例是‘同增同減’，反比例是‘一增一減’（如磚的面積越大，塊數(shù)越少）。”（四）板書設(shè)計(jì)反比例的意義定義：兩個相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，乘積一定。舉例：磚的面積×塊數(shù)=鋪地面積（一定）→磚的面積與塊數(shù)成反比例；速度×?xí)r間=路程（一定）→速度與時間成反比例。（五）作業(yè)布置1.完成課本“練一練”第1、2題（判斷反比例）。2.找一找生活中的反比例例子（如“每筐蘋果的重量一定，筐數(shù)與總重量？不，等一下，應(yīng)該是“總重量一定，每筐重量與筐數(shù)”），并說明理由。**第5課時：綜合練習(xí)（正反比例對比）**（一）教學(xué)目標(biāo)1.鞏固正反比例的意義，能準(zhǔn)確判斷兩個量是否成比例（正比例/反比例/不成比例）。2.能用正反比例的知識解決實(shí)際問題（如行程、購物、鋪地）。3.對比正反比例，深化對“變量關(guān)系”的理解。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：準(zhǔn)確判斷正反比例。難點(diǎn)：用正反比例解決實(shí)際問題。（三）教學(xué)過程1.回顧整理：正反比例的區(qū)別（10分鐘）出示表格：類型相關(guān)聯(lián)的量變化趨勢關(guān)鍵特征正比例是同增同減比值一定反比例是一增一減乘積一定提問：“請舉例說明正比例與反比例的區(qū)別（如‘總價與數(shù)量’是正比例，‘磚的面積與塊數(shù)’是反比例）?！?.綜合練習(xí)：判斷與應(yīng)用（25分鐘）（1）判斷：成什么比例？（10分鐘）出示題目：①圓的周長與直徑（正比例，因?yàn)橹荛L÷直徑=π一定）；②長方形的周長一定，長與寬（不成比例，因?yàn)殚L+寬=周長÷2，和一定，不是比值或乘積一定）；③一本書的總頁數(shù)一定，已看頁數(shù)與未看頁數(shù)（不成比例，和一定）；④工作效率一定，工作總量與工作時間（正比例，工作總量÷工作時間=工作效率一定）；⑤路程一定，車輪的周長與轉(zhuǎn)數(shù)（反比例，周長×轉(zhuǎn)數(shù)=路程一定）。要求：“先說出‘相關(guān)聯(lián)的量’，再分析‘變化趨勢’，最后判斷‘成什么比例’?！保?）應(yīng)用：解決實(shí)際問題（15分鐘）出示問題1（正比例）：“小明買蘋果，每kg8元，買5kg需要40元，買8kg需要多少元？”（引導(dǎo)學(xué)生用“比值一定”解決：總價÷數(shù)量=8，所以總價=8×8=64元）。出示問題2（反比例）：“鋪教室地面，用邊長2dm的磚需要360塊，用邊長3dm的磚需要多少塊？”（引導(dǎo)學(xué)生用“乘積一定”解決：磚的面積×塊數(shù)=2×2×360=1440，所以塊數(shù)=1440÷（3×3）=160塊）。3.拓展提升：思維訓(xùn)練（5分鐘）出示問題：“一輛汽車從A地到B地，去時速度60km/h，用了4小時；返回時速度80km/h，用了多少小時？”（反比例，因?yàn)槁烦桃欢?，速度×?xí)r間=60×4=240，所以時間=240÷80=3小時）。4.總結(jié)提升（5分鐘）提問：“今天的練習(xí)中，你有什么收獲？判斷正反比例的關(guān)鍵是什么？”小結(jié)：“判斷正反比例的關(guān)鍵是‘看變化趨勢+找關(guān)鍵特征’（比值一定→正比例，乘積一定→反比例）；用正反比例解決問題時，要先確定‘不變量’（如單價、鋪地面積、路程）?！保ㄋ模┌鍟O(shè)計(jì)正反比例綜合練習(xí)正反比例的區(qū)別：正比例（比值一定，同增同減）；反比例（乘積一定，一增一減）。解決問題步驟：①確定不變量（如單價、路程）；②判斷成什么比例（比值一定→正比例，乘積一定→反比例）；③列算式解決（如總價=單價×數(shù)量，塊數(shù)=鋪地面積÷磚的面積）。（五）作業(yè)布置1.完成課本“練習(xí)四”第1-5題（綜合練習(xí)）。2.選做：“用正反比例解決生活中的一個問題（如‘媽媽買米，每kg5元，買10kg需要50元，買15kg需要多少元？’或‘洗照片，每張0.5元，洗20張需要10元，洗30張需要多少元？’不，等一下，洗照片是正比例，或者‘裝水，用大杯裝，每杯500ml，需要8杯；用小杯裝，每杯200ml，需要多少杯？’這是反比例）?！蔽?、單元評價設(shè)計(jì)（一）過程性評價（占40%）課堂參與：觀察學(xué)生在探究活動中的表現(xiàn)（如是否積極發(fā)言、是否主動描點(diǎn)連線）。探究記錄：檢查學(xué)生的“變化的量”觀察記錄、“正比例圖像”繪制過程。（二）形成性評價（占40%）作業(yè)完成情況：檢查課本練習(xí)、家庭作業(yè)的正確率（如判斷正反比例的準(zhǔn)確性、解決問題的步驟是否規(guī)范）。課堂練習(xí)：通過隨堂測試（如“判斷10個量是否成比例”），了解學(xué)生對正反比例意義的掌握情況。（三）總結(jié)性評價（占20%）單元測試：涵蓋“變化的