八年級數(shù)學(xué)因式分解重點練習(xí)一、引言因式分解是八年級數(shù)學(xué)的核心能力模塊，它是整式乘法的逆運算，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分式化簡、一元二次方程解法、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)。掌握因式分解的方法，不僅能提高運算效率，還能培養(yǎng)逆向思維和邏輯推理能力。本文將針對因式分解的重點題型（提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法），結(jié)合方法總結(jié)與針對性訓(xùn)練，幫助同學(xué)們夯實基礎(chǔ)、突破難點。二、重點題型突破（一）提公因式法：因式分解的“第一步”方法步驟：1.找公因式：系數(shù)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取各項相同的字母，指數(shù)取各項相同字母的最低次冪；2.提公因式：將公因式提到括號外，括號內(nèi)為各項除以公因式后的結(jié)果；3.檢查：括號內(nèi)的多項式是否還能繼續(xù)分解（若能，需繼續(xù)分解）。例題：分解因式\(3x^2y-6xy^2+9xy\)解析：系數(shù)最大公約數(shù)：3；相同字母：\(x\)、\(y\)，最低次冪分別為\(x^1\)、\(y^1\)；公因式：\(3xy\)；提公因式后：\(3xy(x-2y+3)\)（括號內(nèi)無法繼續(xù)分解）。針對性訓(xùn)練：1.\(2a^2b-4ab^2\)；2.\(-5x^3+10x^2-15x\)；3.\(4(x-y)^2+2(x-y)\)。（二）公式法：利用乘法公式逆向分解公式法是因式分解的核心工具，需熟練掌握以下兩個公式：1.平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)特征：兩項式；兩項符號相反；兩項均為平方形式（可含系數(shù)或多項式）。例題：分解因式\(4x^2-9y^2\)解析：\(4x^2=(2x)^2\)，\(9y^2=(3y)^2\)，符合平方差公式，故分解為\((2x+3y)(2x-3y)\)。針對性訓(xùn)練：1.\(a^2-16\)；2.\((3m+2n)^2-(m-n)^2\)；3.\(-25x^2+4y^2\)。2.完全平方公式：\(a^2±2ab+b^2=(a±b)^2\)特征：三項式；有兩個平方項（符號相同）；中間項是兩平方項底數(shù)乘積的兩倍（符號可正可負(fù)）。例題：分解因式\(x^2+6x+9\)解析：\(x^2=a^2\)，\(9=3^2=b^2\)，中間項\(6x=2\cdotx\cdot3=2ab\)，符合完全平方和公式，故分解為\((x+3)^2\)。針對性訓(xùn)練：1.\(y^2-8y+16\)；2.\(4a^2-12ab+9b^2\)；3.\((x+1)^2+4(x+1)+4\)（提示：將\(x+1\)視為整體）。（三）十字相乘法：解決二次三項式的“利器”適用范圍：二次三項式\(x^2+px+q\)（二次項系數(shù)為1）。方法步驟：尋找兩個整數(shù)\(a\)、\(b\)，滿足：\(a+b=p\)（一次項系數(shù)）；\(a\cdotb=q\)（常數(shù)項）；則\(x^2+px+q=(x+a)(x+b)\)。例題：分解因式\(x^2+5x+6\)解析：需找兩個數(shù)，和為5，積為6。嘗試得\(2+3=5\)，\(2\times3=6\)，故分解為\((x+2)(x+3)\)。針對性訓(xùn)練：1.\(x^2-7x+12\)；2.\(x^2+2x-8\)；3.\(x^2-3x-10\)（提示：積為負(fù)數(shù)時，兩數(shù)符號相反，絕對值大的數(shù)與和同號）。（四）分組分解法：“化整為零”的技巧適用范圍：四項及以上的多項式。核心思想：將多項式分成若干組，每組能提公因式或用公式，再將各組的公因式提出來。1.類型1：兩兩分組（分組后每組有公因式）例題：分解因式\(ax+ay+bx+by\)解析：分組為\((ax+ay)+(bx+by)\)，提公因式得\(a(x+y)+b(x+y)\)，再提公因式\((x+y)\)，結(jié)果為\((a+b)(x+y)\)。針對性訓(xùn)練：1.\(mn+m-n-1\)；2.\(2x+2y+ax+ay\)。2.類型2：一三分組（分組后用完全平方+平方差）例題：分解因式\(x^2+2xy+y^2-1\)解析：前三項用完全平方公式分解為\((x+y)^2\)，原式變?yōu)閈((x+y)^2-1\)，再用平方差公式分解為\((x+y+1)(x+y-1)\)。針對性訓(xùn)練：1.\(a^2-2ab+b^2-4\)；2.\(x^2-6x+9-y^2\)。三、綜合運用提升：多方法組合因式分解的難點在于多種方法的綜合運用，通常先提公因式，再用公式或十字相乘法。例題1：分解因式\(2x^2-8\)解析：先提公因式\(2\)，得\(2(x^2-4)\)；再用平方差公式，得\(2(x+2)(x-2)\)。例題2：分解因式\(3x^3-12x^2+12x\)解析：先提公因式\(3x\)，得\(3x(x^2-4x+4)\)；再用完全平方公式，得\(3x(x-2)^2\)。針對性訓(xùn)練：1.\(4a^3b-16ab^3\)；2.\(x^3+2x^2+x\)；3.\(2a^2-8a+8\)。四、易錯點警示：避免常見錯誤1.提公因式未提盡：如\(6x^2+3x\)，正確結(jié)果是\(3x(2x+1)\)，而非\(x(6x+3)\)（未提盡系數(shù)3）。2.公式法符號錯誤：如\(-a^2+b^2\)，正確結(jié)果是\((b-a)(b+a)\)，而非\(-(a+b)(a-b)\)（雖等價，但應(yīng)直接用平方差公式）。3.十字相乘法找錯因數(shù)：如\(x^2+3x-4\)，需找積為\(-4\)、和為\(3\)的數(shù)（\(4\)和\(-1\)），結(jié)果為\((x+4)(x-1)\)，而非\((x+2)(x-2)\)（和為0，不符合）。4.分組分解法分組不當(dāng)：如\(x^2+xy-2x-2y\)，正確分組為\((x^2+xy)+(-2x-2y)=x(x+y)-2(x+y)=(x+y)(x-2)\)，而非強行分成兩組無法提公因式的情況。五、答案與解析（一）提公因式法練習(xí)1.\(2ab(a-2b)\)；2.\(-5x(x^2-2x+3)\)；3.\(2(x-y)(2x-2y+1)\)。（二）公式法練習(xí)平方差：1.\((a-4)(a+4)\)；2.\((4m+n)(2m+3n)\)（解析：\((3m+2n+m-n)(3m+2n-m+n)\)）；3.\((2y-5x)(2y+5x)\)。完全平方：1.\((y-4)^2\)；2.\((2a-3b)^2\)；3.\((x+3)^2\)（解析：將\(x+1\)視為整體，\((x+1)^2+4(x+1)+4=(x+1+2)^2\)）。（三）十字相乘法練習(xí)1.\((x-3)(x-4)\)；2.\((x+4)(x-2)\)；3.\((x-5)(x+2)\)。（四）分組分解法練習(xí)類型1：1.\((m+1)(n-1)\)（解析：\((mn+m)+(-n-1)=m(n+1)-1(n+1)\)）；2.\((2+a)(x+y)\)。類型2：1.\((a-b-2)(a-b+2)\)；2.\((x-3-y)(x-3+y)\)。（五）綜合運用練習(xí)1.\(4ab(a-2b)(a+2b)\)（解析：先提\(4ab\)，再用平方差）；2.\(x(x+1)^2\)（解析：先提\(x\)，再用完全平方）；3.\(2(a-2)^2\)（解析：先提\(2\)，再用完全平方）。六、總結(jié)因式分解的關(guān)鍵是“觀察結(jié)構(gòu)，選擇方法”：有公因式先提公因式；兩項式考慮平方差公式；三項式考慮完全平方公式或十字相乘法；四項及以上考慮分組分解法。通過針對性訓(xùn)練與易錯點規(guī)避，同學(xué)們能逐步掌握因式分解的技巧，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實基