3.4對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)（精講）一．對數(shù)的概念（1）一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)把log10N記為lgN自然對數(shù)將以無理數(shù)e＝2．71828…為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)把logeN記為lnN二．對數(shù)的性質與運算性質(1)對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM．(2)對數(shù)的性質：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad．三．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)四.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱．對數(shù)運算1.將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡．2.將同底對數(shù)的和、差、倍合并．3.利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用．二．對數(shù)函數(shù)的圖象如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內從左到右底數(shù)逐漸增大．三．比較對數(shù)值大小的方法單調性法在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底過渡法尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”圖象法根據(jù)圖象觀察得出大小關系四．簡單對數(shù)不等式1.解決簡單的對數(shù)不等式，應先利用對數(shù)的運算性質化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性轉化為一般不等式求解．2.對數(shù)函數(shù)的單調性和底數(shù)a的值有關，在研究對數(shù)函數(shù)的單調性時，要按0<a<1和a>1進行分類討論．3.某些對數(shù)不等式可轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解．五．盤點易錯易混1．對數(shù)的底數(shù)含字母時易忽視對底數(shù)的討論；2．涉及對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)問題，一定要確保真數(shù)大于0，樹立定義域優(yōu)先的思想．考法一對數(shù)的運算【例11】（2023·廣東潮州）求值：(1)；(2)(3)；(4).【例12】已知log23＝a，3b＝7，則log3eq\r(7)2eq\r(21)的值為________．【一隅三反】1．（2023廣東湛江）計算：(1)；(2)(3)(4)(5)．(6)已知，，求的值．考法二對數(shù)函數(shù)的三要素及定點【例21】（1）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．（2）（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【例22】（1）（2023春·云南保山）函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（2023·全國·高三專題練習）設，則值域是_______（2023·山東）已知函數(shù)若存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是【例23】（2023·山東德州）函數(shù)的圖象恒過點P，若角的終邊經(jīng)過點P，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)恒過定點，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（

）A．或 B．C． D．3．（2023·湖北）已知函數(shù)（，且）在上的值域為，則實數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江）已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．考法三對數(shù)函數(shù)的單調性及應用【例31】（2023·安徽）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為_________【例32】（1）（2023春·云南）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）（2023·山西）函數(shù)在上是單調遞增的，則此函數(shù)在上是（

）A．單調遞增 B．單調遞減 C．先增后減 D．先減后增（3）（2023·北京）若函數(shù)對任意都有，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例33】（1）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知，，，則a，b，c大小為（

）A． B．C． D．（2）（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【例34】（2023春·湖南·高二臨澧縣第一中學校聯(lián)考期中）已知，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·河南·）已知函數(shù)，則的單調增區(qū)間為_______.2．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為______．3．（2023·河北）已知在上單調遞減，則的取值范圍是__________．4．（2023·北京·高三專題練習）設，，，則（

）A． B．C． D．5．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．6．（2023·河南）已知，則（

）A． B． C． D．考法四對數(shù)函數(shù)的奇偶性及應用【例4】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【一隅三反】1．（2023·湖南長沙·周南中學校考三模）“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）若為奇函數(shù)，則（

）3．（2023·甘肅）已知函數(shù)，則______．考法五對數(shù)函數(shù)的圖像問題【例5】8（2023·全國·模擬預測）函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．2（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）函數(shù)的大致圖象是（

）．A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象可能是（

）．A．B．C．D．考法六對數(shù)函數(shù)的綜合運用【例61】（2023·四川涼山）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質構造復雜，時常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無法準確預報地震，但科學家通過多年研究，已經(jīng)對地震有了越來越清晰的認識與了解．例如：地震時釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級之間的關系為，年月日，我州會理市發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍【例62】（2023春·湖北）（多選）已知函數(shù),下列說法正確的是(

)A．若定義域為R,則 B．若值域為R,則C．若最小值為0,則 D．若最大值為2,則【一隅三反】1．（2023春·四川宜賓）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解．例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為：．年月日，我國汶川發(fā)生了里氏級大地震，它所釋放出來的能量約是年月日我國瀘定發(fā)生的里氏級地震釋放能量的（

）倍．（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．2．（2023·廣東清遠）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為B．的單調遞減區(qū)間為C．是增函數(shù)