考點06函數(shù)的概念及其表示（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.了解函數(shù)的含義.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應用．【知識點】1．函數(shù)的概念一般地，設A，B是，如果對于集合A中的一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：、、．(2)如果兩個函數(shù)的相同，并且完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有、圖象法和．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．常用結(jié)論1．直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個交點．2．在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集．3．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．【核心題型】題型一函數(shù)的定義域(1)無論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若復合函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則函數(shù)f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域．【例題1】（2024高三·全國·專題練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·河北衡水·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·模擬預測）若集合，，則集合的真子集的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．題型二函數(shù)的解析式函數(shù)解析式的求法(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法．【例題2】（2023·重慶·模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．B． C． D．【變式1】（2023·河南·模擬預測）已知函數(shù)對定義域內(nèi)的任意實數(shù)滿足，則.【變式2】（2023·山東·模擬預測）已知二次函數(shù)的最大值是，且它的圖像過點，求函數(shù)的解析式．【變式3】（2024·山東濟南·一模）已知集合，函數(shù).若函數(shù)滿足：對任意，存在，使得，則的解析式可以是.（寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可）題型三分段函數(shù)分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．【例題3】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù)，則的值為.【變式1】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數(shù)，若，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)，則（

）A．8 B．12 C．16 D．24【變式3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學考試）已知函數(shù)的最小值為-1，則.【課后強化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2024·陜西西安·一模）已知全集，集合，，則（

）．A． B． C． D．2．（2024·山西運城·一模）已知符號函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·四川成都·模擬預測）給出下列個函數(shù)，其中對于任意均成立的是（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高三下·河南·階段練習）已知非常數(shù)函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B．或C．是上的增函數(shù) D．是上的增函數(shù)6．（2023·江蘇連云港·模擬預測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，則下列選項中可以作為實數(shù)取值范圍的有（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2024·北京懷柔·模擬預測）函數(shù)的定義域是.8．（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知函數(shù)在上可導，且，則．四、解答題9．（2023·江西九江·模擬預測）若的定義域為，求的定義域．10．（2023·河南信陽·一模）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若，，且，求滿足條件的整數(shù)的所有取值的和.11．（2024·陜西·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．12．（2023·浙江溫州·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，其中為正整數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.綜合提升練一、單選題1．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．22．（2023·吉林長春·模擬預測）已知函數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為2 B．C．的最大值為2 D．3．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)滿足，則可能是（

）．A． B．C． D．4．（2024·山東棗莊·一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若，則的值為（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或6．（2024·全國·模擬預測）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（23-24高三上·四川遂寧·期中）函數(shù)的圖象恒過點，函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江溫州·二模）已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于對稱C．在單調(diào)遞增 D．有最小值二、多選題9．（2022·安徽合肥·模擬預測）下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)B．若是奇函數(shù)，則一定有C．已知函數(shù)

在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是D．若的定義域為，則的定義域為10．（2024·湖南·模擬預測）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，是定義域為的奇函數(shù)，且.函數(shù)在上的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在實數(shù)集單調(diào)遞減C． D．或11．（23-24高三上·黑龍江大慶·階段練習）對于函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A．任取，都有B．函數(shù)有2個零點C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．若關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實根，則．三、填空題12．（2024·北京平谷·模擬預測）函數(shù)的定義域是13．（2023·湖南婁底·模擬預測）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意，，均有，則的一個解析式為．14．（2024·遼寧·一模）已知集合，，則，.四、解答題15．（2023·山東·模擬預測）已知函數(shù)的圖像過點．(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明．16．（2023·四川遂寧·模擬預測）已知集合，函數(shù)的定義域為集合．(1)當時，求；(2)設命題p：，命題q：，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．17．（2023·河南·模擬預測）已知為定義在上的偶函數(shù)，，且．(1)求函數(shù)，的解析式；(2)求不等式的解集．18．（23-24高三下·青海海南·開學考試）已知，函數(shù).(1)當時，解不等式;(2)若的圖象與軸圍成的面積小于，求的取值范圍.19．（2023·河北衡水·模擬預測）已知函數(shù)，其中(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)求方程的零點個數(shù).拓展沖刺練一、單選題1．（2023·四川成都·模擬預測）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，將輸出的看成輸入的的函數(shù)，得到函數(shù)，若，則（

）

A． B． C．或 D．12．（2023·全國·模擬預測）設，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．63．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題6．（2023·河南·模擬預測）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞減7．（2023·海南·模擬預測）已知符號函數(shù)，函數(shù)則下列說法正確的是（

）A．的解集為B．函數(shù)在上的周期為C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D．方程的所有實根之和為8．（2024·全國·一模）已知函數(shù)的定義域為，且滿足①；②；③當時，，則（

）A． B．若，則C． D．在區(qū)間是減函數(shù)三、填空題9．（2023·廣東佛山·模擬預測）寫出一個同時具備下列性質(zhì)①②③的函數(shù).①定義城為，②導函數(shù)；③值域為10．（2023·上海徐匯·三模）函數(shù)的定義域為.四、解答題11．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數(shù)．(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)設函數(shù)的最大值為，若正實數(shù)，，滿足，求的最小值．12．（23-24高三上·河北·期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構(gòu)成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的