考點(diǎn)33復(fù)數(shù)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．【知識點(diǎn)】1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位．(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b0，,虛數(shù)b0當(dāng)a0時為純虛數(shù).))(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作或，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對應(yīng)),\s\do5())復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對應(yīng)),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝.常用結(jié)論1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓【核心題型】題型一復(fù)數(shù)的概念解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．【例題1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·遼寧·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B． C．1 D．1或【變式2】（2023·江蘇·三模）設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式3】（2024·山東日照·二模）設(shè)為虛數(shù)單位．若集合，，且，則．題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．【例題2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位)，若且，則（

）A．2 B． C． D．【變式1】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（

）A．1 B． C． D．【變式2】（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，，則（

）A．的最小值是1 B．的最大值是2C．的最大值是3 D．的最大值是4【變式3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知是復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且，則的值為．題型三復(fù)數(shù)的幾何意義由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀【例題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【變式1】（2024·海南?？凇ざ＃┰趶?fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2】（2024·湖南長沙·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則.【變式3】（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，求面積的取值范圍．【課后強(qiáng)化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．實(shí)軸正半軸 B．實(shí)軸負(fù)半軸 C．虛軸正半軸 D．虛軸負(fù)半軸2．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B．i C． D．4．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，則的虛部為（

）A．2i B． C． D．2二、多選題5．（2024·湖南·二模）已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)，則B．若，則C．若，則D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的軌跡是一個橢圓6．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，，則為純虛數(shù)三、填空題7．（2024·山西·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)，則的虛部為．9．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為.四、解答題10．（2022·湖南·模擬預(yù)測）國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）是世界數(shù)學(xué)教育規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會議，第十四屆大會將在上海召開，其會標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，主畫面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標(biāo)明的ICME—14下方的“”是用中國古代八進(jìn)制的計數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3744，也可以讀出其二進(jìn)制碼（0）11111100100，換算成十進(jìn)制的數(shù)是n，求及的值．11．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且.(1)求的最大值；(2)從①②中任選一個作答.若選擇多個分別作答.按第一個解答計分.①為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，求面積的最小值.②為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，求面積的取值范圍.【綜合提升練】一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù),則的虛部是（

）A． B． C． D．2．（2024·河北·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C．或 D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A．i B． C． D．4．（2024·江西·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．6．（2024·山西運(yùn)城·三模）設(shè)，則（

）A． B． C． D．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C． D．8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，若四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A．2 B． C．1 D．二、多選題9．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．（2024·廣東江門·一模）下列說法正確的是（

）A．，B．C．若，，則的最小值為1D．若是關(guān)于x的方程的根，則11．（2024·河南·三模）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，若，則可能是（

）A． B． C． D．三、填空題12．（2023·天津南開·一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).13．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的值為.14．（2024·福建廈門·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則.四、解答題15．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知關(guān)于得二次方程：.(1)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求方程實(shí)數(shù)根的取值范圍.16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）在正三棱臺中，是邊長為的等邊三角形，且.已知，，，分別是線段，的中點(diǎn)，當(dāng)直線上一動點(diǎn)在射線上時，，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)連接，，已知點(diǎn)在平面投影是，平面是一個分別以，作為，軸的復(fù)平面，.當(dāng)時，請直接寫出的虛部（不要求寫出過程）.17．（2021·上?！つM預(yù)測）已知關(guān)于的方程的虛數(shù)根為、.（1）求的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.18．（2021·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）對于無窮數(shù)列，我們稱（規(guī)定）為無窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．(1)證明：；(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱為伯努利數(shù)．證明：．且．【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則“”是“”的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（

）.A．復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù) B．C．復(fù)數(shù)為純虛數(shù) D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則且C．若，則D．若，且，則在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上二、多選題5．（2024·遼寧丹東·二模）已知復(fù)數(shù)的虛部與的實(shí)部均為2，則下列說法正確的是（

）A．是虛數(shù)B．若，則C．若，則與對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對稱D．若是純虛數(shù)，則6．（2024·山東青島·一模）已知復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是（

）A．若，則z為實(shí)數(shù) B．若，則C．若，則的最大值為2 D．若，則z為純虛數(shù)三、填空題7．（2024·上海普陀·二模）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.8．（2023·北京海淀·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為，則．9．（2024·上海楊浦·二模）設(shè)復(fù)數(shù)與所對應(yīng)的點(diǎn)為與，若，，則.四、解答題10．（2022·甘肅蘭州·一模）實(shí)數(shù)取什么值時，復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？11．（2024·貴州黔南·二模）