第十三章立體幾何初步（壓軸題專練）題型一基本立體圖形的概念【例1】下列說法正確的是()A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點思維升華此類問題的解法是主要掌握好棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球的概念和幾何特征，以及它們的展開圖的形狀，從而正確的得到結(jié)論．鞏固訓練如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A．左邊是三棱臺，右邊是圓柱B．左邊是三棱柱，右邊是圓柱C．左邊是三棱臺，右邊是長方體D．左邊是三棱柱，右邊是長方體題型二空間中的共點、共線、共面問題【例2】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)GE與HF的交點在直線AC上．思維升華鞏固訓練在四邊形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面α相交于點E，F(xiàn)，G，H.求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．題型三直線與平面平行的綜合應用【例3】如圖所示，已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M為線段PC上一點．(1)設平面PAB∩平面PDC＝l，證明：AB∥l；(2)在棱PC上是否存在點M，使得PA∥平面MBD，若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由．思維升華證明直線與平面平行的實質(zhì)是證明直線與直線平行，將線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行；而證明直線與平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；實現(xiàn)了線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化．鞏固訓練如圖所示，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別為AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：BC∥l；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．題型四平行關系的綜合應用【例4】在正方體ABCDA1B1C1D1中，如圖．(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC.思維升華兩個平面平行的判定定理與性質(zhì)定理實現(xiàn)了直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行的相互轉(zhuǎn)化．鞏固訓練如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．題型五垂直關系的綜合應用【例5】如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.思維升華垂直關系的轉(zhuǎn)化在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關系如下：鞏固訓練如圖，在四棱錐A1-BCED中，DE∥BC，A1D＝BD＝A1E＝CE＝eq\r(5)，O為DE的中點，2DE＝BC＝4.F為A1C的中點，平面A1DE⊥平面BCED.(1)求證：平面A1OB⊥平面A1OC；(2)線段OC上是否存在點G，使得OC⊥平面EFG？說明理由．題型六平行、垂直關系【例6】如圖，已知在直角梯形ABCD中，E為CD邊中點，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.(1)求證：AE⊥平面CDE；(2)求證：FG∥平面BCD；(3)在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由．思維升華(1)平行、垂直關系的相互轉(zhuǎn)化(2)證明空間線面平行或垂直需注意三點①由已知想性質(zhì)，由求證想判定；②適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一；③用定理時要先明確條件，再由定理得出相應結(jié)論．鞏固訓練已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，∠ABC＝60°，M是線段AB的中點．(1)求證：CM⊥平面PAB；(2)已知點N是線段PB的中點，試判斷直線CN與平面PAD的位置關系，并證明你的判斷．題型七空間角的計算【例7】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2eq\r(3)，PD＝CD＝2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2)求證：平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．思維升華空間角的求法(1)找異面直線所成角的三種方法①利用圖中已有的平行線平移；②利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；③補形平移．(2)線面角：求斜線與平面所成的角關鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足．通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形．(3)二面角：利用幾何體的特征作出所求二面角的平面角，再把該平面角轉(zhuǎn)化到某三角形或其他平面圖形中求解．鞏固訓練如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形．(1)求證：BD⊥PC；(2)求二面角B-PC-D的大小．題型八空間圖形的表面積和體積【例8】如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周．求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．思維升華空間幾何體表面積、體積的求法(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應用．(3)求復雜幾何體的體積時，常用割補法和等體積法求解．鞏固訓練某廣場設置了一些多面體形或球形的石凳供市民休息．如圖(1)的多面體石凳是由圖(2)的正方體石塊截去八個相同的四面體得到，且該石凳的體積是eq\f(160000,3)cm3.(1)求正方體石塊的棱長；(2)若將圖(2)的正方體石塊打磨成一個球形的石凳，求此球形石凳的最大表面積．題型九側(cè)面積、表面積在實際中的應用【例9】要用鐵板制作一個正四棱錐形的冷水塔塔頂(不包括棱錐的底面)，已知塔頂高為0.85m，底面邊長為1.5m，制造這個塔頂需要多少平方米鐵板(結(jié)果精確到0.01m2)?思維升華首先將實際問題轉(zhuǎn)化到空間圖形中，然后對應是求直棱柱、正棱錐和正棱臺的側(cè)面積還是求圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積，一定要注意是求側(cè)面積還是求全面積．鞏固訓練1.如圖是一個圓臺形的紙簍(有底無蓋)，它的母線長為50cm，兩底面直徑分別為40cm