能力專題5抽象概括能力考向考向一對抽象函數(shù)的研究【典例精講】例1.(2023·江西省·聯(lián)考題)對于定義在R上的函數(shù)f(x)，如果存在實數(shù)m，使得f(m+x)?f(m?x)=1對任意實數(shù)x∈R恒成立，則稱f(x)為關于m的“δ函數(shù)”.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是關于0和1的“δ函數(shù)”，且當x∈[0,1]時，f(x)的值域為[1,2]，則當x∈[?2,2]時，f(x)的值域為(

)A.[12,2] B.[12,1]【拓展提升】練11.(2023·浙江省·模擬題)（多選）已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，且關于點(a,b)與(b,a)對稱(a≠b)，則(

)A.存在非零實數(shù)T使f(x+T)=f(x) B.函數(shù)y=f(x)必有零點

C.存在實數(shù)t使f(t)=t D.存在實數(shù)t使f(t)=?t練12.(2023·北京市·模擬題)對于定義域為R的函數(shù)y=g(x)，設關于x的方程g(x)=t，對任意的實數(shù)t總有有限個根，記根的個數(shù)為fg(t)，給出下列命題：

①存在函數(shù)y=g(x)滿足：fg(t)>0，且y=g(x)有最小值；

②設h(x)=|g(x)|，若fh(t)=fg(t)，則g(x)≥0；

③若fg(t)=1，則y=g(x)為單調函數(shù)；

④設h(x)=g(x+a)(a∈R)，則fg(t)=f考向考向二數(shù)學建模應用型問題【典例精講】例2.(2023·全國·聯(lián)考)中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人的幾率.對改善發(fā)熱、咳嗽、乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對肺部炎癥的吸收和病毒轉陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護人員對確診患者進行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復的概率都為1315，B組3人康復的概率分別為910，34，34．

(1)設事件C表示A組中恰好有1人康復，事件D表示B組中恰好有1人康復，求P(CD);

(2)若服藥一個療程后，每康復1人積2分，假設認定：積分期望值越高藥性越好，請問甲、乙兩種中藥哪種藥性更好?【拓展提升】練21.(2023·湖南省·期末考試)新寧崀山景區(qū)是世界自然遺產(chǎn)?國家5A級景區(qū)，其中“八角寨”景區(qū)和“天下第一巷”景區(qū)是新寧崀山景區(qū)的兩張名片.為了合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽“八角寨”景區(qū)且尚未游覽“天下第一巷”景區(qū)的游客進行隨機調查，若不游覽“天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽“天下第一巷”景區(qū)記4分，假設每位游客選擇游覽“天下第一巷”景區(qū)的概率均為13，游客之間選擇意愿相互獨立．(1)從游客中隨機抽取2人，記總得分為隨機變量X

，求X

的數(shù)學期望；(2)(i)記pkk∈N?表示“從游客中隨機抽取k

人，總分恰為2k

分”的概率，求(ii)在對游客進行隨機問卷調查中，記ann∈N?表示“已調查過的累計得分恰為2n

分”的概率，探求an練22.(2022·湖北省武漢市·聯(lián)考)2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6:5驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．

(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有12的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望;

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1=1，p2=0．

?①試證明{pn?14}為等比數(shù)列;

?②設第【答案解析】例1.解：若函數(shù)f(x)是關于0和1的“δ函數(shù)”，

則f(x)?f(?x)=1，f(1+x)?f(1?x)=1，

則f(x)≠0，

即f(2+x)?f(?x)=1，

即f(2+x)?f(?x)=1=f(x)?f(?x)，

則f(2+x)=f(x)，

即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，

當x∈[1,2]時，2?x∈[0,1],

∴f(x)=1f(?x)=1f(2?x)∈[1練11.解：由f(x)關于點(a,b)與(b,a)對稱(a≠b)，

則f(a+x)+f(a?x)=2b，

f(b+x)+f(b?x)=2a，

則f(x)+f(2a?x)=2b，

f(x)+f(2b?x)=2a，

則f(2a?x)?f(2b?x)=2b?2a，

即f(x)?f(2b?2a+x)=2b?2a，

即f(x)=f(x+2b?2a)+2b?2a，

∵a≠b，∴2b?2a≠0，

∴不存在非零實數(shù)T使f(x)=f(x+T)，故A錯誤；

∵a≠b，不妨設a<b，

則A(a,b)在直線y=x上方，B(b,a)在直線y=x下方，

又定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，

故f(x)與y=x必有交點，

故存在實數(shù)t使得f(t)=t，故C正確；

∵f(x)關于點A(a,b)、B(b,a)對稱，且A，B在直線x+y=a+b上，

∴f(x)的對稱點均在直線x+y=a+b上，且有無窮個，在直線AB上等距離的均勻分布，

又直線x+y=a+b與x軸必存在交點，

所以必存在對稱點在x軸下方，則f(x)與x軸必有交點，

即函數(shù)y=f(x)必有零點，故B正確．

由上面的分析可知f(x)的對稱點在直線x+y=a+b上，

故f(x)與y=?x不一定有交點，

故不一定存在t使f(t)=?t，故D錯誤．故選BC.練12.解：①由題意可得，g(x)=t，對任意的實數(shù)t總有有限個根，

∵t∈R，

∴g(x)∈R，即g(x)不存在最小值，故①錯誤，

②h(x)=|g(x)|，可得h(x)≥0，

設?x1

使得g(x1)<0，

則t=f(x1)，fh(t)=0，fg(t)>0，

∵fh(t)≠fg(t)，故g(x)<0不成立，

∴g(x)≥0，故②正確，

③fg(t)=1，說明g(x)=t只有一個根，不能推出函數(shù)單調，

例y=f(x)=1x,x≠00,x=0，該函數(shù)在(?∞,0)，(0,+∞)上分別單調，

但是在整個區(qū)間R上不單調，故③錯誤，

④h(x)=g(x+a)=t(a∈R)，由函數(shù)的左加右減原則，

例2.解：(1)依題意有，P(C)=C31×1315×(1?1315)2=521125，

P(D)=910×14×14+110×C21×14×34=332．

又事件C與D相互獨立，則P(CD)=P(C)P(D)=521125×332=133000，

所以P(CD)=133000Y0123P1156381所以E(Y1)=0×1160+1×15160+2×63160+3×81160=384160=練21.解：(1)X可能取值為4，6，8

，PX=4PX=6PX=8∴X

的數(shù)學期望

EX(2)(i)“總分恰為2k

分”的概率為

23∴

數(shù)列

pk

是以首項為

23

，公比為

23

的等比數(shù)列，記前n則前4項和

S4(ii)方法一：“已調查過的累計得分恰為2n

分”的概率為

an得不到2n

分的情況只有先得2n?2

分，再得4分，概率為

13所以

1?an=∴a∴數(shù)列

an?34

是以

∴a∴方法二：得分2n

分可以先得

2n?2

分，再得2分，也可以先得

2n?4

分，再得4分，“已調查過的累計得分恰為2n

分”的概率為

an

，則“得

2n?2

分”的概率為

an?1

，“得

2n?4

分”的概率為

an?2所以

an由

an=23a∴a∴a(后面同方法一)另解：由

an=2∴a∴a當n?2時，

a==34+14?13n

，

練22.解：(1)依題意可