第3章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.1概述3.2周期信號的頻譜3.3非周期信號的頻譜3.4傅里葉變換性質(zhì)3.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析3.6MATLAB語言在頻域分析中的應(yīng)用小結(jié)習(xí)題3

3.1概述

連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析方法實(shí)際就是傅里葉分析方法。

傅里葉分析法的創(chuàng)始人是法國數(shù)學(xué)家傅里葉，他對數(shù)學(xué)、科學(xué)以及當(dāng)代生活的影響是不可估量的。

線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的一個(gè)基本任務(wù)是求解系統(tǒng)對任意激勵(lì)信號的響應(yīng)，基本方法是將信號分解為多個(gè)基本信號元。

3.2周期信號的頻譜

從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。

若有n個(gè)函數(shù)j1(t)，j2(t)，…，jn(t)在區(qū)間(t1,t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間，則任一函數(shù)f(t)可用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似表示，即

(3-1)也就是說，函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)，均方誤差為零，此時(shí)為完備正交函數(shù)集。

例如，三角函數(shù)集{1，cos(mΩt)，sin(nΩt)，m，n=1，2，…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}，就是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)上的完備正交函數(shù)集。其中Ω=2π/T,為信號的基波角頻率。3.2.1周期信號的三角級數(shù)表示及指數(shù)級數(shù)表示

1.周期信號的三角級數(shù)表示

1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。

如前所述，三角函數(shù)集{1，cos(Ωt)，cos(2Ωt)，…，cos(mΩt)，…，sin(Ωt)，sin(2Ωt)，…，sin(nΩt)…，

m,n=1，2，…}在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。這是因?yàn)樵O(shè)周期信號f(t)的周期為T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角形式的傅里葉級數(shù)，即

(3-5)式中，

(3-6)

(3-7)式(3-5)稱為f(t)的三角形式的傅里葉級數(shù)展開式。其中，

為f(t)的直流分量，系數(shù)an和bn稱為傅里葉系數(shù)，代表各個(gè)余弦分量和正弦分量的幅度。可見，an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。

根據(jù)三角函數(shù)的數(shù)學(xué)知識，若將同頻率項(xiàng)合并，上式還可寫為

(3-8)式中，系數(shù)an、bn和幅值(或傅里葉系數(shù))An、相位jn之間的關(guān)系如下：式(3-8)表明，周期信號可分解為直流分量和許多余弦分量之和。為直流分量；A1cos(Ωt－j1)稱為基波或一次諧波，頻率與原周期信號相同；A2cos(2Ωt－j2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nΩt－jn)稱為n次諧波，其頻率是基波的n倍。

例3-1

將圖3-1所示方波信號展開成三角級數(shù)。

解因?yàn)閳D3-1方波信號所以

圖3-2給出了一個(gè)周期的方波構(gòu)成情況。圖3-2(a)為基波，圖3-2(b)為基波加三次諧波，圖3-2(c)為基波加三次諧波再加五次諧波，從近似后的合成波形可見，波形所包含的諧波分量越多，越接近原方波信號。實(shí)際上，當(dāng)諧波次數(shù)趨于無窮大時(shí)，在均方意義上的合成波形與原方波信號的真值之間沒有區(qū)別。圖3-2對方波信號近似示意圖

例3-2

求圖3-3周期鋸齒波函數(shù)的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。

解

圖3-3周期鋸齒波信號所以周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為

由數(shù)學(xué)知識易知，本例中的周期鋸齒波信號為奇函數(shù)，其展開式中直流分量為0，第二項(xiàng)為基波，第三項(xiàng)為二次諧波，……，且不包含余弦分量。實(shí)際上，當(dāng)把一周期性奇函數(shù)信號分解為其諧波分量時(shí),其中只包含正弦分量,a0=an=0。同樣，當(dāng)把一周期性偶函數(shù)信號分解為其諧波分量時(shí)，其中只包含余弦分量，bn=0，當(dāng)函數(shù)的平均值不為零時(shí)還存在直流分量。

2.周期信號的指數(shù)級數(shù)表示

三角級數(shù)形式的傅里葉級數(shù)含義比較明確，但運(yùn)算很不方便，因此經(jīng)常采用指數(shù)級數(shù)的傅里葉級數(shù)。如同三角函數(shù)集那樣，虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}在一個(gè)周期內(nèi)也是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。這是因?yàn)?/p>

(3-9)于是，任意周期信號f(t)在區(qū)間(t0，t0+T)內(nèi)也可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和，即

(3-10)上式稱為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，其中，系數(shù)

稱為復(fù)傅里葉系數(shù)。利用歐拉公式且考慮到An是n或頻率的偶函數(shù)，jn是奇函數(shù)，可從式(3-8)直接導(dǎo)出

(3-11)式中可見且易得

(3-12)

從以上分析可見，周期信號的三角級數(shù)表示是實(shí)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，它將f(t)分解為直流分量和一系列諧波分量的和；周期信號的指數(shù)級數(shù)表示是復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，它將f(t)分解為直流分量和一系列虛指數(shù)的和。二者實(shí)際上只是同一信號f(t)的兩種不同的數(shù)學(xué)表示形式。3.2.2周期信號的單邊譜及雙邊譜

1.周期信號的單邊譜

周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波的幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系。將An~ω和jn~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為幅度頻譜圖(簡稱幅度譜)和相位頻譜圖(簡稱相位譜)。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。

下面以周期性矩形脈沖為例，說明周期信號頻譜的特點(diǎn)。設(shè)幅度為1，脈沖寬度為τ，周期為T的矩形脈沖如圖3-4所示。圖3-4周期性矩形脈沖令式(3-12)中可求得

(3-13)令稱為取樣函數(shù)或抽樣函數(shù)，它在通信理論中有重要作用。則

(3-14)

令上式中的n=0，可求其極限得直流分量

T=5τ,τ=1時(shí),周期矩形脈沖信號的單邊譜如圖3-5所示。圖3-5T=5時(shí)的單邊譜圖中的每條豎線表示該頻率分量的幅度，稱為譜線。連接各條譜線頂點(diǎn)的虛線反映了各個(gè)頻譜分量的幅度隨頻率變化的趨勢，稱為包絡(luò)線，它是取樣函數(shù)。包絡(luò)線為零值的點(diǎn)稱為過零點(diǎn)。由圖3-5可知周期信號的頻譜有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

(1)離散性：周期信號的頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量。所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。

(2)諧波性：譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍，即頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上，即含有Ω的各次諧波分量，而決不含有非Ω的諧波分量。

(3)收斂性：頻譜的各條譜線的高度雖然隨nΩ的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨nΩ的增大而減小的，即各次諧波的振幅總是隨著諧波次數(shù)的增大而逐漸減小。當(dāng)諧波次數(shù)

無限增大時(shí)，諧波分量的振幅也就趨于無限小。

此外，第一個(gè)過零點(diǎn)集中了信號絕大部分能量(平均功率)。由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系可概括為：若T一定，τ變小，則譜線間隔Ω不變，第一個(gè)過零點(diǎn)的頻率增大，相鄰兩個(gè)過零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多；若τ一定，T增大，則Ω減

小，頻譜變密，幅度減小。

T=10τ,τ=1時(shí)，頻譜圖如圖3-6所示。

T=20τ,τ=1時(shí)，頻譜圖如圖3-7所示。圖3-6T=10τ時(shí)的單邊譜圖3-7T=20τ時(shí)的單邊譜如果T無限增長而成為非周期信號，那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜，各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。

在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個(gè)過零點(diǎn)作為信號的頻帶寬度，它與脈寬成反比關(guān)系。記為

(3-15)

2.周期信號的雙邊譜

對于周期信號，也可畫Fn~ω和φn~ω之間的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn。對于雙邊頻譜，負(fù)頻率的引入只有數(shù)學(xué)意義，而沒有實(shí)際物理意義。因?yàn)閒(t)是實(shí)函數(shù)，將它分解成虛指數(shù)時(shí)，必須有共軛對ejnΩt和e－jnΩt才能保證f(t)的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。

例3-3

已知f(t)=1+sinω1t+2cosω1t+cos

畫出其幅度譜和相位譜。

解先將原式展開為

三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)的值如圖3-8所示。圖3-8例3-3的單邊頻譜圖指數(shù)級數(shù)表示的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)的值如圖3-9所示。圖3-9例3-3的雙邊頻譜圖

3.3非周期信號的頻譜

3.3.1傅里葉變換定義

如前所述，當(dāng)周期信號的周期趨于無限大時(shí)，相鄰譜線的間隔趨于無限小，從而譜線密集變成連續(xù)譜，各頻率分量的幅度也趨于無限小。此時(shí)，雖然各頻譜幅度無限小，但相

對大小仍有區(qū)別，于是引入頻譜密度函數(shù)F(ω)以示這種區(qū)別。其推導(dǎo)過程如下。

將式(3-12)兩邊同乘以，則當(dāng)周期T趨于無窮大時(shí)，這個(gè)極限量可以不趨于零，用F(ω)表示。周期T→∞時(shí)，Ω→dω，nΩ→ω，則

(3-16)

F(ω)稱為f(t)的傅里葉正變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。F(ω)一般是復(fù)函數(shù)，還可寫為

(3-17)

其中，|F(ω)|是頻譜函數(shù)的模，或稱幅度譜。j(ω)是頻譜函數(shù)的相位，或稱相位譜。R(ω)是實(shí)部，X(ω)是虛部。又由式(3-11)可知，一個(gè)周期信號可以展開為指數(shù)傅里葉級數(shù)，令式(3-12)中并將代入式(3-11)得

當(dāng)周期T→∞時(shí)，Ω→dω,nΩ→ω,故

(3-18)

f(t)稱為F(ω)的傅里葉反(逆)變換或原函數(shù)。式(3-16)和

(3-18)可重寫為以下一對傅里葉變換，

f(t)和F(ω)的對應(yīng)關(guān)系也可簡記為

(3-21)

或

(3-22)需要說明的一點(diǎn)是，前面的推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？赏ㄟ^數(shù)學(xué)知識證明，函數(shù)f(t)傅里葉變換存在的充分條件是滿足絕對可積，即

(3-23)

但它不是必要條件。也就是說，凡是滿足上式的信號f(t)，其頻譜函數(shù)必然存在，但是頻譜函數(shù)存在的信號，未必滿足上式。3.3.2常用非周期信號的頻譜

1.矩形脈沖信號的頻譜

矩形脈沖函數(shù)又稱門函數(shù)，如圖3-10所示，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3-24)圖3-10門函數(shù)的波形圖代入傅里葉變換的定義式(3-19)，可得頻譜密度函數(shù)

(3-25)

于是由圖3-11可見，頻譜圖中第一個(gè)過零點(diǎn)對應(yīng)的角頻率為2π/τ。當(dāng)矩形脈沖寬度變窄時(shí)，第一個(gè)過零點(diǎn)的的頻率也會(huì)相應(yīng)增大。因?yàn)殚T函數(shù)gτ(t)的頻帶寬度為Bf=1/τ，故脈沖寬度越窄，其占有的頻帶越寬。圖3-11門函數(shù)的頻譜圖

2.單邊指數(shù)信號的頻譜

圖3-12所示為單邊指數(shù)信號波形。令單邊指數(shù)函數(shù)為

(3-26)圖3-12單邊指數(shù)信號波形代入式(3-19)，可得頻譜密度函數(shù)

(3-27)

于是其幅度譜和相位譜分別為

圖3-13、3-14分別為單邊指數(shù)信號的幅度頻譜圖和相位頻譜圖。圖3-13單邊指數(shù)信號幅度頻譜圖圖3-14單邊指數(shù)信號相位頻譜圖

3.單位沖激信號的頻譜

將單位沖激函數(shù)δ(t)代入式(3-19)，可得頻譜密度函數(shù)

(3-28)

于是

由頻譜3-15圖可見，單位沖激信號的頻譜是“均勻譜”，其在無窮區(qū)間的值處處相等。圖3-15單位沖激函數(shù)及其頻譜

4.單位直流信號的頻譜

幅度等于1的直流信號稱做單位直流信號，定義為

f(t)=1,－∞<t<∞

(3-29)

該函數(shù)不滿足絕對可積的條件，直接用傅里葉變換定義式不好求解，但其傅里葉變換卻存在。構(gòu)造雙邊指數(shù)信號

則代入式(3-19)，可得頻譜密度函數(shù)

于是可見，它是一個(gè)以ω為自變量的沖激函數(shù)。其沖激強(qiáng)度為

于是

(3-30)

圖3-16所示為單位直流信號及其頻譜。圖3-16單位直流信號及其頻譜此外，求單位直流信號的頻譜的另一種方法如下。

將δ(t)1代入傅里葉反變換定義式，則

將ω?fù)Q為－t，t換為－ω，則

再根據(jù)式(3-20)，得

5.單位階躍信號的頻譜

為了推導(dǎo)的方便，先介紹符號函數(shù)的概念及其頻譜函數(shù)，符號函數(shù)的定義為

(3-31)顯然，該函數(shù)也不滿足絕對可積的充分條件，可看做是下述函數(shù)在α趨近0時(shí)的一個(gè)特例:

由于其中

于是

(3-32)

圖3-17所示為符號函數(shù)及其頻譜。圖3-17符號函數(shù)及其頻譜我們知道，單位階躍函數(shù)和符號函數(shù)之間存在如下關(guān)系：

而

于是

(3-33)

常用信號的傅里葉變換如表3-1所示。

3.4傅里葉變換性質(zhì)

3.4.1線性性質(zhì)

傅里葉變換的線性性質(zhì)包含兩個(gè)內(nèi)容：齊次性和可加性。如果系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)為線性的。即如果

那么

(3-34)

實(shí)際上，前述利用符號函數(shù)來求單位階躍信號的頻譜時(shí)，已經(jīng)利用了這一性質(zhì)。

例3-4

如圖3-18所示，已知f(t)=f1(t)－g2(t)，求f(t)的傅里葉變換F(ω)。

解因?yàn)?/p>

所以圖3-18例3-4圖3.4.2時(shí)移與頻移

1.時(shí)移特性

傅里葉變換的時(shí)移特性是指，如果信號f(t)在時(shí)域中延時(shí)t0，那么在頻域中它的所有頻率分量的相位均落后ωt0，同時(shí)幅度保持不變。這一性質(zhì)也稱做延時(shí)特性，即如果

那么

(3-35)證明：

令x=t－t0則

例3-5

求移位沖激函數(shù)δ(t－t0)的頻譜函數(shù)。

解因?yàn)?/p>

所以

例3-6

求圖3-19所示階梯脈沖信號f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解因?yàn)閒(t)可以表示為f1(t)和f2(t)之和，根據(jù)時(shí)移特性有

所以圖3-19例3-6圖

2.頻移特性

傅里葉變換的頻移特性是指，如果信號f(t)在時(shí)域中乘以因子那么在頻域中對應(yīng)于將整個(gè)頻譜搬移ω0。這一性質(zhì)也稱做調(diào)制特性，即如果

那么

(3-36)

證明：

例3-7

求正弦信號sinω0t和余弦信號cosω0t的頻譜。

解因?yàn)橛深l移特性得

所以

同理可得

例3-8

求圖3-20所示高頻矩形調(diào)幅信號f(t)=Egτ(t)cos(ω0t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解設(shè)

其中因?yàn)?/p>

根據(jù)頻移特性，得圖3-20例3-8圖3.4.3尺度變換

傅里葉變換的尺度變換性質(zhì)揭示了信號在時(shí)域中的壓縮、擴(kuò)展，與其頻譜函數(shù)在頻域中的擴(kuò)展、壓縮的對應(yīng)關(guān)系，即如果

那么

(3-37)其中，a是任意非零實(shí)常數(shù)。顯然，若|a|>1，表明f(t)壓縮；若0<|a|<1，表明f(t)展寬。如果信號f(t)在時(shí)域中的持續(xù)時(shí)間增加a倍，變化慢了，那么信號在頻域中的頻帶將壓縮為原來的，且各分量的幅度上升a倍；反之，如果持續(xù)時(shí)間縮短為原來的，變化快了，那么信號在頻域中的頻帶將展寬a倍，各分量的幅度下降為原來的。圖3-21表示對于脈沖信號f(t)，a分別取1/2和2時(shí)頻譜的變化情況。圖3-21脈沖信號f(t)的頻譜變化

例3-9

已知f(t)F(ω)，求f(at－b)對應(yīng)的傅里葉變換。

解因?yàn)?/p>

且所以3.4.4對稱性質(zhì)

傅里葉變換的對稱性質(zhì)是指，如果函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)為F(ω)，那么時(shí)間函數(shù)F(t)的頻譜函數(shù)是2πf(－ω)，即如果

那么

(3-38)

例3-10

求的頻譜函數(shù)F(ω)。

解由于

當(dāng)α=1時(shí)，所以3.4.5卷積性質(zhì)

傅里葉變換的卷積性質(zhì)在信號與系統(tǒng)分析中的作用非常重要。它是指兩個(gè)時(shí)間信號在時(shí)域相卷積，對應(yīng)于它們的頻譜函數(shù)在頻域相乘；反之，兩個(gè)時(shí)間信號在時(shí)域相乘，對應(yīng)

于它們的頻譜函數(shù)在頻域卷積。

1.時(shí)域卷積性質(zhì)

如果

那么

(3-39)

證明：因?yàn)?/p>

所以

2.頻域卷積性質(zhì)

如果

那么

(3-40)

例3-11

求圖3-22所示三角形脈沖f(t)的傅里葉變換F(ω)。

解三角形脈沖f(t)可看做是兩個(gè)相同寬度的門函數(shù)gτ(t)在時(shí)域的卷積。圖3-22時(shí)域卷積運(yùn)算因?yàn)?/p>

所以

門函數(shù)及三角形脈沖對應(yīng)的的頻譜函數(shù)波形如圖3-23

所示。圖3-23頻域相乘運(yùn)算3.4.6微分與積分

1.時(shí)域的微分和積分

1)時(shí)域微分

如果

那么

(3-41)證明：根據(jù)傅里葉變換定義，有

兩端對t求微分得

此性質(zhì)還可推廣到f(t)的n階導(dǎo)數(shù)，即

(3-42)該性質(zhì)表明，在時(shí)域中對信號f(t)求導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)于頻域中用jω乘f(t)的頻譜函數(shù)。如果應(yīng)用此性質(zhì)對微分方程兩端求傅里葉變換，即可將微分方程變換成代數(shù)方程。從理論上講，這就為微分方程的求解找到了一種新的方法。

一個(gè)簡單的例子，我們知道δ(t)1，利用時(shí)域微分性質(zhì)顯然有

2)時(shí)域積分

如果

那么

(3-43)其中，當(dāng)f(t)的波形在t軸上、下對稱時(shí)，則有F(0)=0，因而

(3-44)

時(shí)域積分性質(zhì)多用于F(0)=0的情況，表明f(t)的頻譜函數(shù)中直流分量的頻譜密度為零。證明：由于

應(yīng)用時(shí)域卷積定理，有

例3-12

已知求f(t)的頻譜函數(shù)。

解因?yàn)樗?/p>

例3-13

已知f(t)如圖3-24(a)，求f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解因?yàn)?/p>

所以所以

其頻譜函數(shù)如圖3-24(b)、圖3-24(c)所示。圖3-24例3-13圖

2.頻域的微分和積分

1)頻域微分

如果

那么

(3-45)

2)頻域積分

如果

那么

(3-46)其中，如果f(0)=0，則

(3-47)

例3-14

已知f(t)=tε(t)，求f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解因?yàn)樗?/p>

即

傅里葉變換的性質(zhì)如表3-2所示。

3.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析

3.5.1連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)

在前述線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析中，我們已經(jīng)指出，一般信號f(t)作用于線性時(shí)不變系統(tǒng)，且系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)為激勵(lì)f(t)與沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分，即

yzs(t)=h(t)*f(t)假設(shè)

根據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的頻譜函數(shù)為

(3-48)

即

(3-49)

H(ω)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Yzs(ω)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(ω)之比。它反映了系統(tǒng)的頻域特性，而其傅里葉反變換h(t)則反映了系統(tǒng)的時(shí)域特性。H(ω)又可以寫為

(3-50)易得其幅頻特性|H(ω)|和相頻特性θ(ω)如下:

(3-51)

若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(ω)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)。3.5.2理想低通濾波器

我們知道，信號“無失真?zhèn)鬏敗笔侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型具有如下的形式

(3-52)

td為延遲時(shí)間。不失真?zhèn)鬏敃r(shí)，系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)波形如圖

3-25所示。圖3-25不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)波形顯然，輸出信號頻譜和輸入頻譜之間的關(guān)系為

(3-53)

由上式可見，為使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)沖激函數(shù)h(t)，頻率函數(shù)H(ω)的要求是

(3-54)即系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的模和相位分別為

(3-55)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻和相頻特性還可以用圖3-26所示的曲線來表示。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號時(shí)，只要在信號占有的頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足式(3-56)即可。理想低通濾波器就滿足該條件，它具有如圖3-27所示的矩形幅度特性和線性相移特性。ωc稱為截止角頻率，在0至ωc的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為

(3-56)

此時(shí)的H(ω)可看做是在頻域中寬度為2ωc，幅度為K的門函數(shù)。下面分別討論理想低通濾波器的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。圖3-26無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率特性圖3-27理想低通濾波器的頻率特性單位沖激信號δ(t)通過理想低通濾波器時(shí)的響應(yīng)為

(3-57)理想低通濾波器對單位沖激信號的響應(yīng)波形如圖3-28所示?？梢姡憫?yīng)的時(shí)間比激勵(lì)滯后td，而且輸出信號在輸入信號建立之前和之后都有，且向±∞延伸和振蕩。由此可知，早在t=0時(shí)刻以前，無信號輸入的情況下就已有信號輸出，這顯然違背了自然界的因果律。因而它實(shí)際上是物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。圖3-28理想低通濾波器對單位沖激信號的響應(yīng)波形當(dāng)單位階躍信號ε(t)通過理想低通濾波器時(shí)的響應(yīng)s(t)為

經(jīng)過推導(dǎo)，可得

(3-58)函數(shù)的定積分稱為正弦積分，用Si(x)表示。理想低通濾波器對單位階躍信號的響應(yīng)波形如圖3-29所示。階躍信號的響應(yīng)不像階躍信號那樣陡直，而是傾斜的，這說明輸出信號的建立需要一定的時(shí)間。一般以階躍響應(yīng)中幅度由0到1所經(jīng)歷的時(shí)間td作為計(jì)算建立時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，稱為上升時(shí)間，它與系統(tǒng)的帶寬成反比關(guān)系。圖3-29理想低通濾波器對單位階躍信號的響應(yīng)波形由階躍響應(yīng)s(t)的波形可見，它也是一種物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。

實(shí)際上，理想低通濾波器在物理上都是不可實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，只能盡量逼近理想低通濾波器所要求的頻率響應(yīng)。就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0，即h(t)=0，也就是說響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前就出現(xiàn)。此外，就頻域特性來說，對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。3.5.3信號通過線性時(shí)不變系統(tǒng)頻域表示

首先給出信號通過線性時(shí)不變的時(shí)域與頻域分析示意圖

3-30。具體進(jìn)行分析時(shí)，關(guān)鍵要先找出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)=F［h(t)］，然后利用Yzs(ω)=H(ω)F(ω)，求出Yzs(ω)，最后得yzs(t)=F－1［Yzs(ω)］。圖3-30信號通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域與頻域分析示意圖

例3-15

已知某系統(tǒng)的微分方程為

求f(t)=e－tε(t)時(shí)的響應(yīng)yzs(t)。

解對微分方程兩邊取傅里葉變換

得又因

所以

所以

3.6MATLAB語言在頻域分析中的應(yīng)用

調(diào)用函數(shù)F=FOURIER(f)，求函數(shù)f的傅里葉變換F。

例3-16

求單邊指數(shù)信號的傅里葉變換，并畫出對應(yīng)的頻譜圖。

解代碼如下：

symsxri；%聲明符號變量，用空格分隔；

x=1/2*exp(-2*t)*sym(′Heaviside(t)′)；

%sym(′變量名′)，創(chuàng)建符號變量

F=fourier(x)；%求傅里葉變換

subplot(3，1，1)；

ezplot(x)；%繪制f(t)的圖形

ylabel(′f(t)波形′)；subplot(3，1，2)；

ezplot(abs(F))； %計(jì)算，繪制幅度譜

ylabel(′幅度′)；

subplot(3，1，3)；

r=real(F)； %求實(shí)部

i=imag(F)； %求虛部

ezplot(atan(i/r))； %計(jì)算，繪制相位譜

xlabel(′角頻率