第1章信號與系統(tǒng)的基本概念1.1概述1.2信號的分類和運算1.3系統(tǒng)1.4信號與系統(tǒng)分析方法概述1.5MATLAB語言簡介小結(jié)習題1.1概述

信號與系統(tǒng)理論包括信號理論和系統(tǒng)理論兩個方面。

1.2信號的分類和運算

1.2.1信號的概念和分類

廣義地說，信號(Signal)是隨時間變化的反映某種信息的物理量，如光、電、聲、位移、速度、加速度、力、溫度等。

1.確定信號與隨機信號

確定信號(DeterminateSignal)是指能夠以確定的時間函數(shù)表示的信號，在其定義域內(nèi)任意時刻都有確定的函數(shù)值。例如電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號等。隨機信號

(Randomsignal)不能預知它隨時間變化的規(guī)律，不是時間的

確定函數(shù)。

2.連續(xù)時間信號與離散時間信號

連續(xù)時間信號是指在信號的定義域內(nèi)，任意時刻都有確定的函數(shù)值的信號，如圖1-1所示，通常用f(t)表示。連續(xù)時間信號最明顯的特點是自變量t在其定義域上除有限個間斷點外，其余是連續(xù)可變的。僅在離散時刻點上有定義的信號稱為離散時間信號，如圖1-2所示。這里“離散”一詞表示自變量只取離散的數(shù)值，相鄰離散時刻點的間隔可以是相等的，也可以是不相等的。在這些離散時刻點以外，信號無定義。信號的值域可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。定義在等間隔離散時刻點上的離散信號也稱為序列，通常用f(nTs)來表示，簡記為f(n)，其中n為序號，Ts為相鄰離散時刻點的間隔。圖1-1連續(xù)信號圖1-2離散時間信號

3.周期信號與非周期信號

確定信號又可分為周期信號(PeriodicSignal)與非周期信號(AperiodicSignal)。

周期信號是每隔一定的時間間隔重復變化的信號，如圖

1-3所示。連續(xù)周期信號與離散周期信號的數(shù)學表達式分別為

f(t)=f(t+nT)n=0,±1,±2,…,±∞,-∞<t<∞

(1-1)

f(n)=f(n+mN)m＝0，±1，±2，…，n取整數(shù)

(1-2)

式中，T和N分別稱為信號的周期。周期信號有兩個要素：重復性和無限性。非周期信號是不具有重復性的信號，實際信號一般都是非周期信號。圖1-3周期信號

4.能量信號與功率信號

若將信號f(t)設為電壓或電流，則加載在1Ω電阻上產(chǎn)生的瞬時功率為f2(t)，在一定的時間區(qū)間［－t0,t0］內(nèi)會消耗一定的能量當t0→∞時，總能量為

(1-3)

平均功率為

(1-4)應用上述兩式計算信號在1Ω電阻上的總能量和平均功率時，可能有兩種情況：一種是總能量有限而平均功率趨于零，即0<E<∞和P→0；另一種是總能量趨于無限大而平均功率為有限值，即E→∞和0<P<∞。前者稱為能量信號，后者稱為功率信號。一般，周期信號都是功率信號；非周期信號則可以是能量信號，也可以是功率信號。屬于能量信號的非周期信號稱為脈沖信號，它在有限的時間內(nèi)有一定的數(shù)值，當|t|→∞時數(shù)值為零，如圖1-4所示。屬于功率信號的非周期信號是當|t|→∞時仍為有限值的一類信號，如圖1-5所示。還有一些既非功率信號又非能量信號的非周期信號，即當|t|→∞時，它為無窮大，如圖1-6所示。圖1-4非周期能量信號圖1-5非周期功率信號圖1-6非功率非能量信號1.2.2幾種常用的基本信號

1.單位斜變信號

斜變信號是指從某一時刻開始隨時間成正比例增加的信號。斜變信號也稱斜坡信號。若斜變信號增長的變化率為1，斜變的起始點發(fā)生在t=0時刻，就稱其為單位斜變信號(如圖

1-7所示)，其數(shù)學表達式為

(1-5)圖1-7單位斜變信號

2.單位階躍信號和單位階躍序列

單位階躍信號定義為

(1-6)

在t=0處，函數(shù)值未定義。單位階躍信號是對某些物理對象從一個狀態(tài)瞬間突變到另一狀態(tài)的描述。如圖1-8(a)所示，在t=0時刻對某一電路接入1V的直流電壓源，并且無限持續(xù)下去，這個電路獲得電壓信號的過程可以用單位階躍信號ε(t)來描述，如圖1-8(b)所示。圖1-8單位階躍信號如果接入電源的時間推遲t0時刻(t0>0)，如圖1-9(a)所示，這時就可以用一個延時的單位階躍信號來表示

(1-7)

其波形如圖1-9(b)所示。圖1-9延遲t0的單位階躍信號用階躍函數(shù)的組合可以表示分段信號。例如圖1-10所示的脈沖寬度為τ的單位矩形脈沖信號可以用階躍信號的組合表示為

單位斜變信號r(t)與單位階躍信號ε(t)之間有下列微積分的關系：

(1-8a)

(1-8b)圖1-10單位矩形脈沖信號同樣地，離散時間的單位階躍序列定義為

(1-9)

其波形如圖1-11所示。圖1-11單位階躍序列

3.單位沖激信號和單位序列

單位沖激信號記為δ(t)，其工程定義為

(1-10)

式中表示δ(t)所包圍的面積(強度)為1，這就是在δ(t)的名稱前面冠以“單位”兩字的意義。式(1-10)只是δ(t)的工程定義而不是嚴格的數(shù)學定義。δ(t)是一個廣義函數(shù)，而不是一個普通函數(shù)，為了對δ(t)有一個直觀的認識，可以將δ(t)看成是某些普通函數(shù)的極限情況，例如門函數(shù)

的極限，即

如圖1-12所示。圖1-12單位沖激信號為門函數(shù)的極限盡管單位沖激函數(shù)δ(t)十分抽象，它不同于普通函數(shù)，但它對于集中于一瞬間(或一點)出現(xiàn)的物理量卻是最好的數(shù)學描述。例如，一個1V的理想電壓源對一個1F的理想電容器進行充電，如圖1-13所示。在開關S接通的瞬間(t=0)，充電電流i(t)→∞，但是充電電流的積分值：

(1-11)圖1-13單位沖激電流的產(chǎn)生根據(jù)δ(t)函數(shù)的定義，可以建立單位階躍函數(shù)ε(t)和單位沖激函數(shù)δ(t)的確切關系。由于δ(t)只在t=0時存在，因此

故有

根據(jù)ε(t)的定義，應有

(1-12)上式表明，單位沖激信號的積分為單位階躍信號；反過來，單位階躍信號的導數(shù)應為單位沖激函數(shù)，即

(1-13)

應當指出，當t=0時，ε(t)不連續(xù)，普通意義上函數(shù)在該點無導數(shù)。而上式表明單位沖激函數(shù)可表示函數(shù)在不連續(xù)點的導數(shù)。

在理論分析中，還經(jīng)常用到δ(t)的導數(shù)，即

(1-14)

它可看做是位于原點的極窄矩形脈沖的導數(shù)極限，因而δ′(t)的波形可認為是由兩個分別出現(xiàn)在0-和0+的強度相等的正負沖激函數(shù)組成，如圖1-14所示。通常把δ′(t)稱為沖激偶。

下面研究沖激函數(shù)δ(t)的性質(zhì)。圖1-14沖激偶信號

1)偶對稱性質(zhì)

δ(t)=δ(－t)

(1-15)

因為δ(t)是門函數(shù)gΔ(t)當Δ→0時的極限，而gΔ(t)是偶函數(shù)，不難想象δ(t)也是偶函數(shù)。

2)采樣(篩選)性質(zhì)

若函數(shù)f(t)在t=0時連續(xù)，由于δ(t)只在t=0時存在，則有

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

(1-16)

若f(t)在t=t0時連續(xù)，則有

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

(1-17)對上面兩式取積分，可得到下面兩個重要的積分結(jié)果:

(1-18)

(1-19)

式(1-19)說明，δ(t)函數(shù)可以把信號f(t)在某時刻的值采樣(篩選)出來，這就是δ(t)的篩選性。同樣地，在離散信號中，單位序列(如圖1-15所示)定義為

(1-20)

單位序列δ(n)與單位階躍序列ε(n)的關系為

(1-21)

(1-22)

從式(1-22)可見ε(n)是由無窮多個單位序列疊加而成的。圖1-15單位序列

例1-1

試分別化簡下列各信號的表達式：

解根據(jù)沖激函數(shù)的性質(zhì)進行化簡可得：

4.指數(shù)信號

指數(shù)信號的一般數(shù)學表達式為

f(t)=Aest

(1-23)

根據(jù)式中s的不同取值，可以分下列兩種情況討論：

(1)s=σ時，此時為實指數(shù)信號，即

f(t)=Aeσt

(1-24)

當σ>0時，信號呈指數(shù)規(guī)律增長；當σ<0時，信號隨指數(shù)規(guī)律衰減；當σ=0時，指數(shù)信號變成恒定不變的直流信號，如圖1-16所示。圖1-16實指數(shù)信號

(2)s=σ+jω，此時為復指數(shù)信號。利用歐拉公式，可以進一步表示為

(1-25)

可見，復指數(shù)信號的實部和虛部都是振幅按指數(shù)規(guī)律變化的正弦振蕩，當σ>0(σ<0)時，其實部和虛部的振幅按指數(shù)規(guī)律增長(衰減)；當σ=0時，復指數(shù)信號變?yōu)樘撝笖?shù)信號

(1-26)

此時信號的實部和虛部都是等幅振蕩的正弦波。復指數(shù)信號虛部的波形如圖1-17所示。圖1-17復指數(shù)信號虛部的波形利用歐拉公式，可以把正弦和余弦信號用虛指數(shù)信號的組合表示：

(1-27a)

(1-27b)復指數(shù)信號est是連續(xù)時間信號與系統(tǒng)分析中使用的基本信號，其中復頻域s中的實部σ絕對值的大小反映了信號增長或衰減的速率，虛部ω的大小反映了信號振蕩的頻率。雖然

實際中不能產(chǎn)生復指數(shù)信號，但是可以利用復指數(shù)信號來描述各種基本信號，如指數(shù)信號，正弦、余弦信號，直流信號等。指數(shù)信號的重要性還在于它的微積分結(jié)果仍然是同冪的指數(shù)信號。

5.抽樣信號

抽樣信號的數(shù)學表達式為

(1-28)

其波形如圖1-18所示。它在t＝0時取得最大值，在t=±kπ時

為零。圖1-18抽樣信號Sa(t)1.2.3信號的基本運算

下面分別討論信號的幾種基本運算及其對應的波形。

1.加法運算

任一瞬間的和信號值y(t)或y(n)等于同一瞬間相加信號瞬時值的和，即

y(t)=f1(t)+f2(t)

(1-29)

或

y(n)=f1(n)+f2(n)

(1-30)

2.乘法運算

任一瞬時的乘積信號值y(t)或y(n)等于同一瞬時相乘信號瞬時值的積，即

y(t)=f1(t)·f2(t)

(1-31)

y(n)=f1(n)·f2(n)

(1-32)

3.數(shù)乘(標量乘)

信號f1(t)或f1(n)和一個常數(shù)a相乘的積，即

y(t)=a·f1(t)

(1-33)

y(n)=a·f1(n)

(1-34)

數(shù)乘表示信號通過一個放大倍數(shù)為a的放大器。

4.微分

信號的微分是指信號對時間的導數(shù)?？杀硎緸?/p>

(1-35)

圖1-19是信號微分的一個例子。圖1-19信號的微分

5.積分

信號的積分是指信號在區(qū)間(－∞,t)上的積分。可表示為

(1-36)

圖1-20是信號積分的一個例子。圖1-20信號的積分

6.信號的時移

信號時移±t0(t0為大于零的常數(shù))可表示成f(t±t0)。從波形上看，時移信號f(t+t0)的波形比f(t)的波形在時間軸上超前t0，即f(t)的波形向左移動t0；時移信號f(t－t0)的波形比f(t)的波形在時間軸上滯后t0，即f(t)的波形向右移動t0。信號的時移例子如圖1-21所示。圖1-21信號的時移

7.信號的反轉(zhuǎn)

以變量－t代替f(t)中的獨立變量t，可得反轉(zhuǎn)信號f(－t)，它是f(t)以縱軸(t=0)為轉(zhuǎn)軸作180°反轉(zhuǎn)而得到的信號波形。同理，以變量－n代替f(n)中的獨立自變量n，可得反轉(zhuǎn)信號

f(－n)，它是f(n)以縱軸(n=0)為轉(zhuǎn)軸作180°反轉(zhuǎn)而得到的信號波形。信號的反轉(zhuǎn)波形如圖1-22所示。圖1-22連續(xù)時間信號的反轉(zhuǎn)

8.展縮(尺度變換)

以變量at代替f(t)中的獨立變量t可得f(at)，它是f(t)沿時間軸展縮(尺度變換)而成的一個新的信號函數(shù)或波形。在信號f(at)中，a為常數(shù)，|a|>1時表示f(t)沿時間軸壓縮；|a|<1時表示f(t)沿時間軸展寬。例如圖1-23分別表示f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形。

信號展縮的一個例子是：如果f(t)表示錄制在磁帶上的語音信號，則f(2t)表示放音速度要比原來錄制的高一倍；f(t/2)表示放音速度要比原來錄制的慢一倍。圖1-23信號的展縮

9.綜合變換

以變量at+b代替f(t)中的獨立變量t，可得一新的信號函數(shù)f(at+b)。當a>0時，它是f(t)沿時間軸展縮、平移后的信號波形；當a<0時，它是f(t)沿時間軸展縮、平移和反轉(zhuǎn)后的信號波形，下面舉例說明其變換過程。

例1-2

已知信號f(t)的波形如圖1-24(a)所示，試畫出

f(－2－t)的波形。

解

f(t)→f(－2－t)=f(－(t+2))可分解為

信號反轉(zhuǎn)、平移后的波形如圖1-24(b)、(c)所示。圖1-24信號的反轉(zhuǎn)、平移

例1-3

已知信號f(t)的波形如圖1-25(a)所示，試畫出

f(2－2t)的波形。

解

f(t)→f(2－2t)=f(－2(t－1))可分解為

信號反轉(zhuǎn)、展縮、平移后的波形如圖1-25(b)、(c)、(d)所示。圖1-25信號的反轉(zhuǎn)、展縮和平移值得注意的是，已知信號f(t)的波形求f(at+b)的波形時，一定要把t前面的系數(shù)a提出來，使t前的系數(shù)為1。信號波形的變換總是對t而言的。信號波形的變換一般按照：反轉(zhuǎn)→展縮→平移的順序進行。

1.3系統(tǒng)

1.3.1系統(tǒng)的概念

系統(tǒng)(System)是一個較為廣義的概念。從一般意義上來說，系統(tǒng)是由若干個相互關聯(lián)的單元組成的且具有一定功能的有機整體。系統(tǒng)的種類很多，如通信系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等。系統(tǒng)的規(guī)模可大可小，視實際需要而定。例如通信系統(tǒng)，它的功能是傳送消

息，它一般由七個子系統(tǒng)依次連接，如圖1-26所示。各個子系統(tǒng)的功能分別是：

(1)消息源——產(chǎn)生語言、文字、圖像、數(shù)據(jù)等消息的人或設備。

(2)輸入轉(zhuǎn)換器——把消息轉(zhuǎn)換為信號的裝置。

(3)發(fā)送器——把輸入轉(zhuǎn)換器輸出的信號轉(zhuǎn)換為另一種形式的信號，以便于信號傳輸。

(4)信道——信號傳輸?shù)耐ǖ馈?/p>

(5)接收器——接收由信道傳來的信號，并把它的形式轉(zhuǎn)換為適合于輸出轉(zhuǎn)換器工作的裝置。

(6)輸出轉(zhuǎn)換器——把接收器輸出的信號轉(zhuǎn)換為消息的裝置。

(7)消息用戶——接收消息的人或設備。圖1-26通信系統(tǒng)的組成系統(tǒng)的功能隨其結(jié)構(gòu)形式而定。系統(tǒng)的功能雖然不盡相同，但其輸入與輸出的關系卻可以簡單地用框圖表示出來，并有普遍的規(guī)律性。若系統(tǒng)的輸入(激勵)信號f(t)和輸出信號y(t)均只有一個，這樣的系統(tǒng)稱為單輸入—單輸出系統(tǒng)，表示方法如圖1-27(a)所示。若系統(tǒng)的輸入信號有多個，如f1(t)、f2(t)、…、fn(t)，輸出信號也有多個，如y1(t)、y2(t)、

…、ym(t)，則稱這樣的系統(tǒng)為多輸入—多輸出系統(tǒng)，表示方法如圖1-27(b)所示。單輸入—單輸出系統(tǒng)是基礎，本書主要討論單輸入—單輸出系統(tǒng)。圖1-27系統(tǒng)的表示1.3.2系統(tǒng)的分類

1.連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)

輸入和輸出均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。輸入和輸出均為離散時間信號的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。例如，常見的由R、L、C元件組成的電路是連續(xù)時間系統(tǒng)，而

計算機系統(tǒng)則為離散時間系統(tǒng)。

連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程，離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型是差分方程。

2.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

線性(Linearity)包含兩個重要概念，即齊次性和疊加性。若系統(tǒng)輸入增加k倍，輸出也增加k倍，這就是齊次性，如圖

1-28(a)所示。若有幾個輸入同時作用于系統(tǒng)，則系統(tǒng)總的輸出等于每一個輸入單獨作用系統(tǒng)引起的輸出之和，這就是疊加性，如圖1-28(b)所示。同時具有齊次性和疊加性便是線性，如圖1-28(c)所示。圖1-28齊次性和疊加性用式子表示：

若

則

(1-37)

式中，k1、k2為任意常數(shù)。一個系統(tǒng)的輸出不僅與輸入有關，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，可以將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看做是系統(tǒng)的一種激勵。這樣，對于一個線性系統(tǒng)，其總響應必然是由外部激勵與初始狀態(tài)分別產(chǎn)生的響應之疊加。設系統(tǒng)僅有外部激勵而初始狀態(tài)為零時的響應為yzs(t)，稱為零狀態(tài)響應；僅有初始狀態(tài)而外部激勵為零時的響應為yzi(t)，稱為零輸入響應。當系統(tǒng)既有外部激勵又同時有初始狀態(tài)時，若下式成立

(1-38)

則稱系統(tǒng)具有可分解性，y(t)稱為完全響應。因此，判斷一個系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，應從三個方面來判斷：

(1)可分解性，即系統(tǒng)滿足式(1-38)。

(2)零輸入線性，即當系統(tǒng)有多個初始狀態(tài)時，零輸入響應yzi(t)對每一個初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性。

(3)零狀態(tài)線性，即當系統(tǒng)有多個激勵時，其零狀態(tài)響應yzs(t)對每一個激勵呈現(xiàn)線性。

滿足上述三個條件的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，不滿足上述條件的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。同理，對于具有線性特性的離散時間系統(tǒng)，也應具有可分解性和線性，即

則

(1-39)

式中k1、k2為常數(shù)。同樣，系統(tǒng)的完全響應可表示為

(1-40)

例1-4

判斷下列輸出響應所對應的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)(其中y(0)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，f(t)為系統(tǒng)的外部激勵，y(t)為系統(tǒng)的響應)。

解判斷一個系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，只需根據(jù)系統(tǒng)的完全響應是否滿足可分解性、零輸入線性和零狀態(tài)線性。

(1)滿足可分解性，且yzi(t)=5y(0)與yzs(t)＝4f(t)都具有線性特性，故為線性系統(tǒng)。

(2)滿足可分解性，yzi(t)=2y(0)具有線性特性，但yzs(t)=6f2(t)為非線性，故為非線性系統(tǒng)。

(3)不滿足可分解性，故為非線性系統(tǒng)。

(4)滿足可分解性，yzi(t)＝2t2y(0)為線性(注：應以y(0)為考察對象，而不是t，t只是一個變系數(shù))，

仍為線性(注：微分運算為線性運算)，故為線性系統(tǒng)。

(5)滿足可分解性，yzi(t)＝4y(0)為線性，

仍為線性(注：積分運算仍為線性運算)，故為線性系統(tǒng)。在判斷系統(tǒng)的零輸入響應yzi(t)是否為線性時，應以y(0)為自變量，而不能以其他變量(如t)作為自變量。同樣，在判斷系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)時，應以激勵f(t)為自變量，而不能以其他變量(如t)作為自變量。這一點非常重要。

例1-5

已知某線性系統(tǒng)，當其初始狀態(tài)y(0)=2時，系統(tǒng)的零輸入響應yzi(t)=6e－4t(t>0)。而在初始狀態(tài)y(0)＝8時以及激勵f(t)共同作用下產(chǎn)生的系統(tǒng)完全響應y(t)=3e－4t+5e－t,t>0。試求：

(1)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)；

(2)系統(tǒng)在初始狀態(tài)y(0)=1以及激勵為3f(t)共同作用下的完全響應。

解

(1)由于y(0)=2時yzi(t)=6e－4t(t>0)，故有y(0)=8時yzi(t)=24e－4t(t>0)。因此

yzs(t)=y(t)－yzi(t)=3e－4t+5e－t－24e－4t

=5e－t－21e－4t，t>0

(2)同理，當y(0)=1和3f(t)作用下，有

y(t)=0.5·(6e－4t)+3·(5e－t－21e－4t)

=15e－t－60e－4t，t>0

例1-6

試證明方程

y′(t)+ay(t)=f(t)

所描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。式中a為常數(shù)。

證明不失一般性，設輸入有兩個分量，且

則有相加得

即

可見

即滿足疊加性。齊次性是顯而易見的。故系統(tǒng)為線性。線性系統(tǒng)有三個重要的特性，即微分特性、積分特性和頻率保持特性。

(1)微分特性。如果線性系統(tǒng)的輸入f(t)引起的響應為y(t)，則當輸入為f(t)的導數(shù)時，其響應變?yōu)閥(t)的導數(shù)

(2)積分特性。如果線性系統(tǒng)的輸入f(t)引起的響應為y(t)，則當輸入為f(t)的積分時，其響應變?yōu)閥(t)

的積分

上述線性系統(tǒng)的直觀描述如圖1-29所示。圖1-29線性系統(tǒng)的微分、積分特性

(3)頻率保持性。如果線性系統(tǒng)的輸入信號含有ω1，ω2，…，ωn的成分，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應也只含有ω1，ω2，…，ωn的成分(其中有些頻率成分的大小可能為零)。

換言之，信號通過線性系統(tǒng)后不會產(chǎn)生新的頻率分量。

3.時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)

系統(tǒng)可分為時不變系統(tǒng)(TimeInvariantSystem)和時變系統(tǒng)(TimevaryingSystem)。一個系統(tǒng)，如果在零狀態(tài)條件下，系統(tǒng)的輸出波形僅取決于輸入波形而與輸入的起始時刻無關，就稱為時不變系統(tǒng)，這一特性可直觀地用圖1-30描述。

不滿足上述特性的系統(tǒng)就稱為時變系統(tǒng)。時不變系統(tǒng)可表示為

f(t)→yzs(t)

則

f(t－t0)→yzs(t－t0)

(1-41)同理，對于時不變離散系統(tǒng)，可表示為

f(n)→yzs(n)

則

f(n－m)→yzs(n－m)

(1-42)

式中，n、m為任意整數(shù)。圖1-30時不變系統(tǒng)的響應如果一個系統(tǒng)的元件參數(shù)不隨時間而變化，例如圖1-31所示的RLC串聯(lián)電路，對常參數(shù)RLC有方程

而且該方程的各系數(shù)都是常數(shù)，故該系統(tǒng)是時不變(或稱非時變)系統(tǒng)。只要有一個元件為時變的，如R(t)或C(t)，系統(tǒng)即為時變的。同理，時不變離散系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)也應為常數(shù)。圖1-31時不變系統(tǒng)的例子

例1-7

試判斷以下系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)：

(1)yzs(t)=acos［f(t)］，t≥0;

(2)yzs(t)=f(2t)，t≥0。

輸入輸出方程中f(t)和yzs(t)分別表示系統(tǒng)的激勵和零狀態(tài)響應，a為常數(shù)。

解

(1)已知

設則其零狀態(tài)響應為

顯然

故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。

(2)這個系統(tǒng)代表一個時間上的尺寸壓縮，系統(tǒng)輸出yzs(t)波形是輸入f(t)在時間上壓縮1/2后得到的波形。設

相應的零狀態(tài)響應為而

由于

故該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。

4.因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)

如果把激勵看成是引起系統(tǒng)響應的原因，即響應看成是激勵作用于系統(tǒng)的結(jié)果，那么，我們還可以從因果關系方面來研究系統(tǒng)的特性。

一個系統(tǒng)，如果激勵在t<t0(或n<n0)時為零，相應的零狀態(tài)響應在t<t0(或n<n0)時也恒為零，就稱該系統(tǒng)具有因果性，并稱這樣的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；否則，為非因果系統(tǒng)。在因果系統(tǒng)中，原因決定結(jié)果，結(jié)果不會出現(xiàn)在原因之前。因此，系統(tǒng)在任一時刻的響應只與該時刻以及該時刻以前的激勵有關，而與該時刻以后的激勵無關。所謂激勵可以是當前輸入，也可以是歷史輸入或等效的初始狀態(tài)。由于因果系統(tǒng)沒有預測未來輸入的能力，因而也常稱為不可測系統(tǒng)。例如，對于以下兩個系統(tǒng)：

由于任一時刻的零狀態(tài)響應均與該時刻以后的輸入無關，因此都是因果系統(tǒng)。而對于輸入輸出方程為

yzs(t)=f(t+1)

的系統(tǒng)，其任一時刻的響應都與該時刻以后的激勵有關。例如，令t=0時，就有yzs(0)=f(1)，即t=0時刻的響應取決于t=1時刻的激勵，響應在先，激勵在后，因此，該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。這種系統(tǒng)不是真實系統(tǒng)，在物理系統(tǒng)中是不可能實現(xiàn)的，只是一種理想系統(tǒng)。以后要討論的理想濾波器就是屬于這一類系統(tǒng)。

1.4信號與系統(tǒng)分析方法概述

這一節(jié)簡要地概述信號與系統(tǒng)分析的一些主要方法，給讀者提供一個概貌。

信號與系統(tǒng)分析包括信號分析和系統(tǒng)分析兩大部分。

1.5MATLAB語言簡介

1.5.1MATLAB語言基本知識

在科學研究和工程應用中，往往需要大量的數(shù)學運算，其中包括矩陣運算。

1.MATLAB的基本組成和典型應用

1)MATLAB系統(tǒng)的基本組成

(1)開發(fā)環(huán)境：這是幫助用戶使用MATLAB函數(shù)和文件的一套工具。許多這樣的工具都有圖形化的用戶界面，包括MATLAB桌面環(huán)境和命令窗口、命令歷史記錄、編輯/調(diào)試器、幫助文件瀏覽器、工作空間、文件及搜索路徑。

(2)MATLAB數(shù)學函數(shù)庫：這是一個巨大而廣泛的計算算法的集合庫，從基本的函數(shù)(如求和、正弦、余弦和復數(shù)運算等)到更加復雜(如求逆矩陣、求矩陣的特征值、貝塞爾函數(shù)和快速傅里葉變換等)。

(3)MATLAB語言：這是一種高級矩陣語言，包括流程控制語句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入/輸出和面向?qū)ο蟮木幊烫匦?。它既允許小型編程，又允許大型編程，能編制出大型的、復雜的應用程序。

(4)繪圖功能：MATLAB具有將矢量和矩陣顯示成圖形的工具，也可以對這些圖形進行標注和打印。包括可用于二維和三維數(shù)據(jù)可視化繪圖、圖像處理、動畫和圖形演示的高級函數(shù)，也包括可以允許用戶完全定制圖形外觀，為用戶的MATLAB應用程序建立復雜的圖形用戶界面的底層函數(shù)。

(5)MATLAB應用程序接口(API)：這是一個允許用戶編寫C語言和FORTRAN語言程序來與MATLAB進行交互的接口庫。

另外，MATLAB系統(tǒng)中還包含一系列附加的、針對特定應用求解的工具箱(Toolbox)。它是MATLAB函數(shù)(M文件)的綜合性的集合，可延伸MATLAB環(huán)境來解決特定領域的問題，包括信號處理、控制系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡、小波分析、科學仿真等等。

2)MATLAB的典型應用

(1)數(shù)學計算(包括數(shù)值運算和符號運算)。

(2)科學算法開發(fā)。

(3)數(shù)據(jù)采集和信號處理。

(4)建模及原型仿真。

(5)數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)可視化。

(6)科學與工程繪圖。

(7)應用程序開發(fā)(包括建立圖形化用戶界面)。

2.MATLAB所需的軟硬件環(huán)境

1)MATLAB系統(tǒng)運行需要的硬件環(huán)境

(1)CPU最好是PentiumⅢ或更高。

(2)內(nèi)存至少為128MB，推薦256MB以上。

(3)硬盤空間至少需要120MB，若安裝幫助文檔則需要260MB硬盤空間，如果安裝其他工具箱，則需要更大的硬盤空間。

(4)16位、24位或32位支持OpenGL的圖形適配卡。

2)MATLAB運行的軟件環(huán)境

(1)操作系統(tǒng)為Windows98/NT/2000或WindowsXP等版本。

(2)為了運行MATLABNotebook、MATLABExcelBuilder、ExcelLink、DatabaseToolbox及MATLABWebSever組件，需要安裝Office97或Office2000、OfficeXP。

(3)如果用戶想完全閱讀MATLAB的幫助信息，需預先安裝MicrosoftIE4.0或更高版本和AdobeAcrobatReader3.0或更高版本。

3.MATLAB的桌面環(huán)境

在運行MATLAB之前首先要在自己的操作系統(tǒng)中安裝MATLAB，如果讀者使用Windows操作系統(tǒng)，則建議使用Windows2000或者WindowsXPProfessional版本作為MATLAB的運行平臺。運行MATLAB時，可以雙擊MATLAB的圖標，或者在命令行提示符(控制臺方式)下鍵入指令：matlab，這時將啟動MATLAB的圖形桌面工具環(huán)境。

MATLAB的桌面環(huán)境可以包含多個窗口，這些窗口分別為歷史命令窗口(CommandHistory)、命令行窗口(CommandWindow)、當前目錄瀏覽器(CurrentDirectoryBrowser)、

工作空間瀏覽器(WorkspaceBrowser)、目錄分類窗口(LaunchPad)、數(shù)組編輯器(ArrayEditor)、M文件編輯器/調(diào)試器(Editor/Debugger)、超文本幫助瀏覽器(HelpNavigator

/Browser)，它們都可以內(nèi)嵌在MATLAB主窗口中，組成MATLAB的用戶界面。當MATLAB安裝完畢并首次運行時，展示在用戶面前的界面為MATLAB運行時的缺省界面

窗口，如圖1-32所示。圖1-32MATLAB的缺省界面

例1-8

用MATLAB計算如下算術表達式：

解只要直接在MATLAB的命令行窗口中鍵入

>>－5/(4.8+5.32)∧2↙

系統(tǒng)將直接計算表達式的結(jié)果，并且給出答案：

ans=

－0.0488說明：這里的符號“>>”為MATLAB的命令行提示符；“↙”表示鍵入表達式之后按回車鍵；計算得到的結(jié)果顯示為ans(英文單詞“answer”的縮寫)，它是MATLAB默認的系統(tǒng)變量。所有MATLAB的計算結(jié)果和數(shù)值都默認使用雙精度類型顯示。MATLAB的數(shù)學運算符(如*、/等)與其他的計算機高級語言(例如C語言)類似。1.5.2MATLAB程序設計基礎

1.MATLAB的基本運算單位

MATLAB的基本運算單位就是矩陣和向量，而M語言本身就是以向量化運算為基礎的編程語言。從編程語言的角度上看，向量也就是一維數(shù)組。

在MATLAB中創(chuàng)建向量可以使用不同的方法，最直接也最簡單的方法就是逐個輸入向量的元素，還有使用冒號(：)

運算符、使用函數(shù)linspace和logspace創(chuàng)建向量等方法。創(chuàng)建

矩陣的方法也類似，如用直接輸入矩陣元素的方法創(chuàng)建矩陣“>>A=［123；456；789］”。訪問向量的元素只要使用相應元素的索引即可，如訪問向量的最后四個元素時輸入“>>A(［end-3：end］)”，按一定規(guī)則訪問矩陣元素的方式見表1-1?？梢酝ㄟ^訪問元素的方法，對具體的元素賦值，如“>>A(3)=-3”。訪問矩陣的元素也需要使用矩陣元素的索引。注意，MATLAB的矩陣元素的排列以列元素優(yōu)先，與C語言的二維數(shù)組元素的排列不同。

2.M文件和M函數(shù)簡介

MATLAB提供了完整的編寫應用程序的能力，這種能力通過一種被稱為M語言的高級語言來實現(xiàn)。M語言是一種解釋性語言，利用該語言編寫的代碼僅能被MATLAB接受，

被MATLAB解釋、執(zhí)行。其實，一個M文件就是由若干MATLAB的命令組合在一起構(gòu)成的。與C語言類似，M文件的結(jié)構(gòu)也有流程控制，包括選擇結(jié)構(gòu)(使用if語句或者switch語句)、循環(huán)結(jié)構(gòu)(while循環(huán)和for循環(huán))等。和C語言類似，M語言文件都是標準的純文本格式的文件，利用任何一種純文本編輯器都可以編寫相應的文件，其文件的擴展名為.m。為了方便編輯M文件，MATLAB提供了一個編輯器，叫作Meditor，它也是系統(tǒng)默認的M文件編輯器，如圖1-33所示。在MATLAB命令行窗口中鍵入指令“edit”，就可以打開Meditor。

在MATLAB中，M文件有兩類：腳本(Script)文件和函數(shù)(Function)文件。這兩類文件的命名必須以字母開頭，其余部分可以是字母、數(shù)字或下劃線(不能是漢字)。圖1-33MATLAB的M文件編輯器(Meditor/Debugger)

1)M腳本文件

所謂腳本文件，就是由一系列的MATLAB指令和命令組成的純文本格式的M文件。腳本文件的主要用途是使輸入更加簡化，如果用戶需要重復輸入許多指令，即可將這些指令放在一個腳本文件中?？梢哉f，腳本文件就是將用戶在MATLAB指令窗口中輸入的一組指令用另外一個名稱(文件名)來代替。在程序設計中，指令文件常作為主程序來設計。

2)M函數(shù)文件

函數(shù)文件的主要用途是擴充MATLAB的應用范圍和滿足用戶不同的實際應用需求。M函數(shù)文件和腳本文件不同，M函數(shù)文件不僅可以有一個輸入?yún)?shù)和一個返回值，還可以為M語言函數(shù)文件定義多個輸入?yún)?shù)和多個輸出參數(shù)。除了輸入變量和輸出變量以外，在函數(shù)文件內(nèi)部的其他變量通常為該函數(shù)文件的局部變量，只在本函數(shù)的工作區(qū)內(nèi)有效，一旦退出該函數(shù)，即為無效變量。而腳本文件中定義或使用的變量都是全局變量，在退出文件后仍是有效變量，且保留在工作空間中，其他腳本文件和函數(shù)可以共享這些變量。

3)M函數(shù)

M函數(shù)主要有兩類：一類被稱為內(nèi)建(Buildin)函數(shù)，這類函數(shù)是由MATLAB的內(nèi)核提供的，能夠完成基本的運算，例如三角函數(shù)、矩陣運算的函數(shù)等；另外一類函數(shù)就是利用高級語言開發(fā)的函數(shù)文件，這里的函數(shù)文件既包括用C語言開發(fā)的MEX函數(shù)文件，又包含M函數(shù)文件。MATLAB的功能是通過大量的M語言函數(shù)或者MATLAB內(nèi)建的指令來完成的，在命令行窗口中，調(diào)用這些函數(shù)的方法就是直接鍵入函數(shù)或者指令，并且根據(jù)不同的函數(shù)提供相應的參數(shù)列表。

M函數(shù)文件的文件名必須以關鍵詞“Function”開頭，第一行為函數(shù)說明語句，其格式為

Function［返回變量1，返回變量2，…］＝函數(shù)名(輸入變量1，輸入變量2，…)

其中函數(shù)名由用戶自己定義，一般推薦將函數(shù)名稱用小寫的英文字母表示。其存儲文件的文件名與函數(shù)名最好一致。若不一致，則在調(diào)用時應使用文件名。

M語言函數(shù)文件由下面幾部分組成：

·函數(shù)定義行。

·在線幫助。

·注釋行。

·M語言代碼。例1-9

函數(shù)文件：average.m示例。

解

MATLAB程序如下：在上面程序中，每行最前面的數(shù)字編號(行號)是編輯器固有的，不用輸入。在MATLAB命令行中，鍵入下面的指令運行例1-9的代碼：

>>z=1：99；

>>y=average(z)

y=

50

上例中的M文件存盤“average.m”文件即得“average”函數(shù)。

M文件的注釋行需要使用%定義符，在%之后的所有文本都認為是注釋文本，不過，M文件的注釋定義符僅能影響一行代碼。給程序添加適當?shù)淖⑨屖橇己玫木幊塘晳T，希望讀者

能夠在日常編程中多多使用。

同一個M函數(shù)文件中可以包含多個函數(shù)。如果在同一個M函數(shù)文件中包含了多個函數(shù)，那么出現(xiàn)在文件中的第一個

M函數(shù)稱為主函數(shù)(primaryfunction)，其余的函數(shù)稱為子函數(shù)(subfunction)。1.5.3MATLAB語言在信號與系統(tǒng)中的應用

“信號與系統(tǒng)”是電子信息類專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎課，其特點是理論性強，對學生的數(shù)學知識要求較高，理論計算繁瑣，系統(tǒng)分析時出現(xiàn)的時域圖和頻域圖較多，在傳統(tǒng)學習中學生要將大量時間花在手工計算和繪圖中。MATLAB軟件是由美國Mathworks公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的科學計算系統(tǒng)環(huán)境，它集高效的數(shù)值分析、完備的信號和圖形處理、功能豐富的應用工具箱為一體，構(gòu)成了一個方便且界面友好的用戶環(huán)境，是一