專題06預(yù)備知識六：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1、掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡單的問題．2、進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實數(shù)的大?。R點一：不等式的概念在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.自然語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號語言知識點二：實數(shù)大小的比較1、如果是正數(shù)，那么；如果等于，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過來也對.2、作差法比大?。孩?；②；③3、不等式性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變知識點三：不等式的探究一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.知識點四：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價于）傳遞性（推出）可加性（等價于可乘性注意c的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性a，b同為正數(shù)對點特訓(xùn)一：比較兩個代數(shù)式的大小角度1：由不等式比較數(shù)（式）的大小典型例題例題1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知實數(shù)、滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．例題2．（多選）（23-24高一下·湖南長沙·期中）如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．例題3．（多選）（23-24高一上·廣東·期末）下列命題是真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則精練1．（2024高二下·山東）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．3．（多選）（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．角度2：利用作差法比較大小典型例題例題1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，則、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定例題2．（23-24高一上·河南洛陽·期末）今年某地因天氣干旱導(dǎo)致白菜價格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價格分別為元斤、元斤，王大媽每周購買元的白菜，李阿姨每周購買斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買白菜的平均價格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定例題3．（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定精練1．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，求證：.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為正實數(shù)．求證：.角度3：利用作商法比較大小典型例題例題1．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．例題2．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.精練1．（2024高一·上?！ｎ}練習(xí)），則的大小關(guān)系為．2．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，比較與的大小3．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）若，求證：．對點特訓(xùn)二：利用不等式的性質(zhì)證明不等式典型例題例題1．（23-24高一上·河北石家莊·期中）（1）比較與的大?。?）已知，求證：；例題2．（23-24高一上·寧夏·階段練習(xí)）（1）比較下列兩個代數(shù)式的大?。号c；（2）若，，求證：.精練1．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）若，，求證：.2．（23-24高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：(1)已知，求證：；(2)已知，求證：.對點特訓(xùn)三：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍典型例題例題1．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知且滿足，則的取值范圍是.例題3．（23-24高一上·云南玉溪·階段練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）已知，求的取值范圍；（3）已知，求的取值范圍．精練1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是，的取值范圍是.3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若實數(shù)，滿足，則的取值范圍為.一．單選題1．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎?，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024·上海楊浦·二模）已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）下列命題中真命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（23-24高一上·重慶長壽·期末）下列命題為真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海兩人同時相約兩次到同一水果店購買葡萄，小港每次購買50元葡萄，小海每次購買3千克葡萄，若這兩次葡萄的單價不同，則（

）A．小港兩次購買葡萄的平均價格比小海低 B．小海兩次購買葡萄的平均價格比小港低C．小港與小海兩次購買葡萄的平均價格一樣 D．丙次購買葡萄的平均價格無法比較8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)教育家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).下列關(guān)于不等式的命題，正確的是（

）A．如果，，那么B．如果，那么C．若，，則D．如果，，，那么三、填空題11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關(guān)系為．12．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知對于實數(shù)x，y，滿足，，則的最大值為．四、解答題13．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）（1）已知，比較與的大??；（2）設(shè)x，y是不全為零的實數(shù)，試比較與的大小，并說明理由．14．（21-22高一上·湖北十堰·階段練習(xí)）（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.專題06預(yù)備知識六：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1、掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡單的問題．2、進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實數(shù)的大?。R點一：不等式的概念在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.自然語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號語言知識點二：實數(shù)大小的比較1、如果是正數(shù)，那么；如果等于，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過來也對.2、作差法比大?。孩?；②；③3、不等式性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變知識點三：不等式的探究一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.知識點四：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價于）傳遞性（推出）可加性（等價于可乘性注意c的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性a，b同為正數(shù)對點特訓(xùn)一：比較兩個代數(shù)式的大小角度1：由不等式比較數(shù)（式）的大小典型例題例題1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知實數(shù)、滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，由不等式的基本性質(zhì)可得，，故.故選：C.例題2．（多選）（23-24高一下·湖南長沙·期中）如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由不等式的性質(zhì)即可判斷ABC，舉反例即可判斷D.【詳解】因為，所以，，，故ABC正確，取，則，故D錯誤.故選；ABC.例題3．（多選）（23-24高一上·廣東·期末）下列命題是真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)和作差法即可做出判斷.【詳解】對于選項A，當(dāng)時，不等式顯然不成立，A錯誤；對于選項B，由糖水不等式可得B正確；對于選項C，因為，所以，則，C正確；對于選項D，因為，所以，所以，D正確.故選：BCD.精練1．（2024高二下·山東）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可解.【詳解】由，可得，又因為，所以.故選：B2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷A，舉反例排除BCD，從而得解.【詳解】對于A，因為，，所以，故A正確；對于B，取，，則，故B錯誤；對于C，取，則，故C錯誤；對于D，取，，則，故D錯誤.故選：A.3．（多選）（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】舉例說明判斷AC；利用不等式性質(zhì)推理判斷BD.【詳解】對于A，取，滿足，取，有，A錯誤；對于B，由，得，而，因此，B正確；對于C，取，，C錯誤；對于D，由，得，因此，D正確.故選：BD角度2：利用作差法比較大小典型例題例題1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，則、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】由作差法比較大小.【詳解】已知.則，所以，，因此，.故選:C.例題2．（23-24高一上·河南洛陽·期末）今年某地因天氣干旱導(dǎo)致白菜價格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價格分別為元斤、元斤，王大媽每周購買元的白菜，李阿姨每周購買斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買白菜的平均價格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】C【分析】由題意可知，，再利用作差法比較大小即可．【詳解】由題意可得，，，，，，，．故選：C．例題3．（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】A【分析】利用作差法分析判斷.【詳解】因為，所以.故選：A.精練1．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用作差法，得出的等價條件，再分析充分性和必要性，即可得出結(jié)論.【詳解】由于，則成立，等價于成立，充分性：若，且，則，則，所以成立，滿足充分性；必要性：若，則成立，其中，且，則可得成立，即成立，滿足必要性；故選：C.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，求證：.【答案】證明見解析【分析】利用作差法比較大小即可證明.【詳解】，因為，所以，所以.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為正實數(shù)．求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證.【詳解】證明：因為，又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.角度3：利用作商法比較大小典型例題例題1．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．【答案】【分析】由均大于0，可用作商法，再化簡后與1作大小比較，即可得出答案.【詳解】∵，即.又，.故答案為：>.例題2．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比較法，結(jié)合分母有理化即可求解；方法2：先計算，從而可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（方法1）因為，所以.所以.因為，所以，即；（方法2）所以，又，所以,所以.精練1．（2024高一·上?！ｎ}練習(xí)），則的大小關(guān)系為．【答案】≥【分析】用作商法比較的大小關(guān)系，化簡即可得結(jié)果.【詳解】因為，則由所以故答案為：2．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，比較與的大小【答案】【分析】先判斷兩個式子的符號，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【詳解】，，，.3．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）若，求證：．【答案】證明見解析【分析】作商法證明不等式.【詳解】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．對點特訓(xùn)二：利用不等式的性質(zhì)證明不等式典型例題例題1．（23-24高一上·河北石家莊·期中）（1）比較與的大小．（2）已知，求證：；【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用作差比較法來比較大小；（2）利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】（1），所以.（2）因為，所以，所以，所以，即.例題2．（23-24高一上·寧夏·階段練習(xí)）（1）比較下列兩個代數(shù)式的大?。号c；（2）若，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】利用作差法結(jié)合不等式的性質(zhì)即得.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，，所以，故.精練1．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）若，，求證：.【答案】證明見解析．【分析】利用作差法即可證明．【詳解】∵，，∴，∴．2．（23-24高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：(1)已知，求證：；(2)已知，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明；（2）利用作差法證明即可.【詳解】（1），即，，則.（2），，，則，對點特訓(xùn)三：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍典型例題例題1．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，，所以.故選：D.例題2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知且滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法得到，再結(jié)合同向不等式的可加性求解即可.【詳解】設(shè)，可得，解得，，因為可得，所以.故答案為：.例題3．（23-24高一上·云南玉溪·階段練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）已知，求的取值范圍；（3）已知，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)可證明該不等式.（2）先求出的范圍，從而可求的取值范圍.（3）根據(jù)可求的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以,則．（2）因為，所以，所以，所以.（3）已知，因為，所以精練1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計算求解.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是，的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以.又，所以，所以，即的取值范圍是.因為所以，即，所以的取值范圍是答案：,3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若實數(shù)，滿足，則的取值范圍為.【答案】【分析】由不等式的加法性質(zhì)可求.【詳解】由，，，則，，，又，所以,所以的取值范圍為.故答案為：.一．單選題1．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎?，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特值或不等式的性質(zhì)可得答案.【詳解】對于A，，而，A不成立；對于B，，而，B不成立；對于C，，因為，所以，，即，C不成立；對于D，，因為，所以，即，D成立.故選：D2．（2024·上海楊浦·二模）已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.【詳解】對于ABD，取，滿足，顯然，，，ABD錯誤；對于C，，則，C正確.故選：C3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）下列命題中真命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定選項即可.【詳解】對于A，若，顯然不能得出，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則，故C錯誤；對于D，若，則，故D正確.故選：D4．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】因為，當(dāng)時，有，則成立，即充分性成立；當(dāng)時，，即成立，而，即不成立，進(jìn)而必要性不成立.所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．（23-24高一上·重慶長壽·期末）下列命題為真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，如果，那么，故B正確；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤.故選：B.6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充要條件的概念即可求解.【詳解】當(dāng)時，或，則，即充分性成立；當(dāng)時，，則，即必要性成立；綜上可知，“”是“”的充要條件.故選：C.7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海兩人同時相約兩次到同一水果店購買葡萄，小港每次購買50元葡萄，小海每次購買3千克葡萄，若這兩次葡萄的單價不同，則（

）A．小港兩次購買葡萄的平均價格比小海低 B．小海兩次購買葡萄的平均價格比小港低C．小港與小海兩次購買葡萄的平均價格一樣 D．丙次購買葡萄的平均價格無法比較【答案】A【分析】根據(jù)題意計算出兩人兩次購買葡萄的平均價格，作差比較大小即可.【詳解】設(shè)兩次葡萄的單價分別為元/千克和元/千克，且，則小海兩次均購買3千克葡萄，平均價格為元/千克，小港兩次均購買50元葡萄，平均價格為元．因為，所以小港兩次購買葡萄的平均價格比小海低．故選：A.8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對A、D，可借助特殊值法舉出反例即可得；對B、C，借助不等式的基本性質(zhì)即可得.【詳解】對A，令，，有，故A錯誤；對B，由，故，故B錯誤；對C，，即只需，，由，故，故C正確；對D，令，有，故D錯誤.故選：C.二、多選題9．（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合