2.1.1指數(shù)與指數(shù)第的運算

教學(xué)目標(biāo)：1.理解n次方根、根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)基的概念；

2.正確運用根式運算性質(zhì)和有理指數(shù)索的運算性質(zhì)；

3.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識、接受新事「物和用聯(lián)系觀點看問題的能力。

教學(xué)重點：根式的概念、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的概念和運算性質(zhì)

教學(xué)難點：根式概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)轅概念的理解

教學(xué)方法工.學(xué)導(dǎo)式

教學(xué)過程：

第一課時

引例：填空

(1)￡M)：a°=l(awO)：a~n=—(a0,neN*)

,-----~'/

(2)aH,-an=a,,,+n(m.nGZ)；(/')〃="〃"(m,nEZ)；(而)〃"(n￡Z)

(3)柄=；-V9=；Vo=_______

(4)(Va)2=>0)；Va^"=

(II)講授新課

1.引入：

(1)填空(1),(2)復(fù)習(xí)了整數(shù)指數(shù)基的概念和運算性質(zhì)(其中：因為〃”二優(yōu)可看作。叫。一〃,

所以":優(yōu)=可以歸入性質(zhì)又因為(號"可看作所以

b

,lnn

r(￡)"二/可以，歸入性質(zhì)(ab)=ab(nez)),這是為下面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的概念和性

質(zhì)做準(zhǔn)備。為了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，先要學(xué)習(xí)n次根式(nwND的概念。

(2)填空(3),(4)復(fù)習(xí)了平方根、立方根這兩個概念。如：

2=4,(-2)=4=>2,-2叫4的平方根

2=8=>2叫8的立方根：(-2)3=—8=—2叫一8的立方根

2=32=>2叫32的5次方根…2r，=a=>2叫a的n次方根

分析：若2:4,則2叫4的平方根；若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,則2叫做32的

5次方根，類似地，若2"=a,則2叫a的n次方根。由此，可有：

2.ri次方根的定義：(板書)

一般地，如果x”=〃，那么x叫做a的n次方根(〃throot),其中〃>1,且ftwN*。

問題1：n次方根的定義給出了，x如何用a表示呢？x=或是否正確？

分析過程：

例1.根據(jù)n次方根的概念，分別求出27的3次方根，-32的5次方根，個的3次方根。(要

求完整地敘述求解過程)

解：因為3?=27,所以3是27的3次方根；因為（―2尸=-32,所以-2是-32的5次方根;

因為缶2尸二a。，所乂a?是個的3次方根。

結(jié)論1：當(dāng)n為奇數(shù)時（跟立方根一樣），有下列性質(zhì)：正數(shù)的n次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的n

次方根是負(fù)數(shù)，任何一個數(shù)的方根都是唯一的。此時，a的n次方根可表示為*=或。

從而有：V27=3,戶^=一2,Va?=a2

例2.根據(jù)n次方根的概念，分別求討16的4次方根，-81的4次方根。

解：因為2,=16,（—2尸=16,所以2和-2是16的4次方根；

因為任何實數(shù)的4次方都是非負(fù)數(shù)，不會等于-81,所以-81沒有4次方根。

結(jié)論2：當(dāng)n為偶數(shù)時（跟平方根一樣），有下列性質(zhì)：正數(shù)的n次方根有兩個且互為相反

數(shù)，負(fù)數(shù)沒有n次方根。此時正數(shù)a的n次方根可表示為：土或（a>0）

其中或表示a的正的n次方根，-或表示a的負(fù)的n次方根。

例3.根據(jù)n次方根的概念，分別求出。的3次方根，。的4次方根。

解:因為不論n為奇數(shù)，還是偶數(shù)，都有（）”=（）,所以0的3次方根，0的4次方根均為0。

結(jié)論3：0的n次方根是0,記作知6=0,即g當(dāng)a=0時也有意義。

這樣，可在實數(shù)范圍內(nèi)，得到n次方根的性質(zhì)：

3.n次方根的性質(zhì)：（板書）

啊2=2"+1/6乂*）其中校叫根式，n叫根指數(shù)，2叫被開方數(shù)。

土qa,n=2k

注意：根式是n次方根的一種表示形式，并且，由n次方根的定義，可得到根式的運算性質(zhì)。

4.根式運算性質(zhì)：（板書）

①（爪）"=〃，即一個數(shù)先開方，再乘方（同次），結(jié)果仍為被開方數(shù)。

問題2：若對一個數(shù)先乘方，再開方（同次），結(jié)果又是什a?

例4：求在②7，逆，療，斤界"

由所得結(jié)果，可有：（板書）

叱二卜，〃為奇數(shù)；

[|。|,〃為偶數(shù)

性質(zhì)的推導(dǎo)如下：

性質(zhì)①推導(dǎo)過程：

當(dāng)n為奇數(shù)時，x=y/a,由x"=a得(底)"=a

當(dāng)n為偶數(shù)時，工=±加,由爐=4得(標(biāo))〃=々

綜上所述，可知：如)』

性質(zhì)②推導(dǎo)過程：

當(dāng)n為奇數(shù)時，由n次方根定義得：

當(dāng)n為偶數(shù)時，由n次方根定義得：a=±^

則|〃|=|±后|=標(biāo)

a,n為奇數(shù)

綜上所述:必尸=.

|a|,n為偶數(shù)

注意：性質(zhì)②有一定變化，大家應(yīng)重點掌握。

(HI)例題講解

例1.求下列各式的值:

(1)班及(2)7(-10)2(3)4(3—力4(4)7(a-b)2(a>b)

注意：根指數(shù)n為奇數(shù)的題,目較易處理，要側(cè)重于根指數(shù)n為偶數(shù)的運算。

(HD課堂練習(xí)：求下列各式的值

(1)V^32(2)7(-3)4⑶4陋一孫2⑷,5-2新

(IV7課時小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要能在理解根式概念的基礎(chǔ)上，正確運用根式的運算性質(zhì)解題。

(V)課后作業(yè)

1、書面作業(yè)：「

a.求下列各式的值

三)2

(DV-27⑵府(3)J(兀一4>⑷M

b.書P69習(xí)題2.1A組題第1題。

2、預(yù)習(xí)作業(yè)：

a.預(yù)習(xí)內(nèi)容,：課本%—Pb2。

b.預(yù)習(xí)提綱：

(1)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕有何關(guān)系？

(2)整數(shù)指數(shù)塞運算性質(zhì)推廣后有何變化？

第二課時

1.填空

-

一兩=____*

(1)V64=____j/32=___L(2)一

(3)(V3)4=—___(V6)5=一_;⑷湎:一_阿=一?

—米-3)7=_

(5)#(-2)5=_一；⑹0(7)6=_—療=―?

（II）講授新課

25,o2

分析：對于“填空”中的第四題，既可根據(jù)n次方根的概念來解：V（a）=a,/.v^=a；

也可根據(jù)n次方根的性質(zhì)來解：V^'=V（a12）35=a2o

問題1：觀察湎=a2,瘠=a3,結(jié)果的指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)，根指數(shù)有什么關(guān)系？

1012

n?&6=aM=a2,V^=a3=a4,BP：當(dāng)根指數(shù)的坡開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，

根式可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)帚的形式。

問題2：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)號的形

式？如：癢二a：是否可行？

22

分析：假設(shè)幕的運算性質(zhì)（am）n=amn對于分?jǐn)?shù)指數(shù)寤也適用，那么（a§）3=ar=a2,這

2

說明小也是a?的3次方根，而它也是個的3次方根（由于這里n=3,a?的3次方根唯一）,

_2_2

于是這說明=可行。

由此可有：

1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)惠的意義：＜板書）

aH=也"（。＞0,tn,neN*，且〃＞1）

注意兩點:一是分?jǐn)?shù)指數(shù)界是根式的另一種表示形式；二是要注意被開方數(shù)a"的幕指數(shù)n與

根式的根指數(shù)n的一致性，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)寡可以進(jìn)行互化。

問題3：在上述定義中，若沒有“a〉0”這個限制，行不行？

1102

分析：正例：（—8*=V7S=-2，V（-2）10=（-2P=（-2）2=4,（—2戶=#（—2＞等等;

12____12

反例：（-8*=戶=-2,（-8）%=在可7二工而實際上一二一；又如：

36

4（-8"=（-8）：=（-8居收一8＞2=嬌=^^7=83。這樣就產(chǎn)生了混亂，因此

“a〉0”這個限制不可少。至于（-8"="二一2,這是正確的，但此時（-8）3不能理解

12

為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，一不能代表有理數(shù)(因為不能改寫為一)「，這只表示一種上標(biāo)。而

36

102

5/(-2)3=(-2)5,(-2)3=3/(-2)2,那是因為(一2尸=2,0,(-2)2=22,負(fù)號內(nèi)部消化了。

問題4：如何定義正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指,數(shù)鼎和0的分?jǐn)?shù)指數(shù)基？

分析：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義與負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義相仿；0的分?jǐn)?shù)指數(shù)哥與0的非()

整數(shù)暴的意義相仿。

2.負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：〈板書〉

--1

an=——(。>0,m,nsN*，且"1)

肅

3.0的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：(板書)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴無意義(為什么？)。

說明：(L)分?jǐn)?shù)指數(shù)耗的意義只是一種規(guī)定，前面所舉的例子只表示這種規(guī)定的合理性；

(2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)；

(3)可以驗證整數(shù)指數(shù)扉的運算性質(zhì)，對于有理數(shù)幕也同樣適用，即(板書)

rsr+s

aa=a(a>OyrysGQ)；

(o'),=a"(a>0,seQ)

(ab)r=ab'\a>(),/?>0,reQ)

(4)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)轅可以進(jìn)行互化：分式指數(shù)箱可以直接化成根式計算，也可利用

mm

gn)\=am來計算；反過來，根式也可化成分?jǐn)?shù)指數(shù)轅來計算。

(5)同樣可規(guī)定aP(p>0,p是無理數(shù))的意義：

①a"表示一個確定的實數(shù)；

②上述有理指數(shù)基的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)累都適用，有關(guān)念和證明從略；

③指數(shù)概念可以擴充到實數(shù)指數(shù)(為下一小節(jié)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)作鋪墊)。

(IH)例題講解(投影2)

1-11]6--

例2.求值：83,1002,(1)-3,(二)4

481

分析：此題主要運用有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)。

I13」-1-12x(」)1

83=(23)3=23=22=4；1002=(102)2=](T2=10-'=—；

解：：,10

116--24x(--)227

(與-3=(2-2尸=2-)"3)=26=64；(U)4=(±)4(4=心尸=4。

481338

例3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式表示下列各式：

a2?y/a,‘J.^a\[a(式中a)0)

分析：此題應(yīng)結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)幕意義與有理指數(shù)幕運算性質(zhì)。

解:

LL1

a~2-\Jra=a"2a2=a2+2=a2;

,-22II

a3?\Ja^=/.涼=。3=。3；

----\_JI3

\jayfa-(a-a^)2-(a2)2=a”.

(IV)課堂練習(xí)

課木以練習(xí)：1、2、3-.4

(V)課時小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化，熟練運用

有理指數(shù)基的運算性質(zhì)。

(V)課后作業(yè)

1、書面作業(yè):課本P69習(xí)題2.深組題第2,3,4.

2、預(yù)習(xí)作業(yè)

(1)預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P6I例題5。

(2)預(yù)習(xí)提綱：

a.根式的運算如何進(jìn)行？

b.利用理指數(shù)哥運算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值，有哪些常用技巧？

教學(xué)后記.

第三課時

教學(xué)目標(biāo)....................

1.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的互化:

2.熟練運用有理指數(shù)哥運算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值;

3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

教學(xué)重點工.有理指數(shù)尋運算性質(zhì)運用。

教學(xué)難點工.化簡、求值的技巧

教學(xué)方加…啟發(fā)引導(dǎo)式

教學(xué)過程.................

(I)復(fù)習(xí)回顧

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的概念，以及有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕概念有理指數(shù)基運算性質(zhì)

〃'f—

/二"arax=ar+s(a>(\r,seQ)；

m_[

1K

(a)=(a>0,r,sGQ)

rrr

t(a>0,m,nGN*,且〃>1)(ab)=ab(a>0,/?>0,r€Q)

2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉表示下列各式（a>0,x>0）

1收

.(如3

（II）講授新課

例1.計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）

2j\_2j513

⑴(2a'b2)(-6a2b3)+(-3a%b%);(2)(m，n-&)8.

分析：（1）題可以仿照單項式乘除法進(jìn)行，首先是系數(shù)相乘除，然后是同底數(shù)暴相乘除，「并

且要注意符號。（2）題先按積的乘方計算，后按累的乘方計算，等熟練后可簡化計算步驟。

對于計算的結(jié)果不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,沒有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)轅的形式表示。

如果有特殊要求，可根據(jù)要求給出結(jié)果，但：

①結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)；②不能同時含有分母和負(fù)指數(shù)；

③根式需化成最簡根式。

⑴(2a3b2)(-6a3b3)+(-3a%b%)(2)(加58)8

21111s23

++++

解：=[2X(-6)-(-3)]a326b236二(〃7，)8"#)3

=4ab°=4a;_3

tn?〃=-

例2.計算下列各式:

a2*

(1)(a>0);(2)(V25-V125)-V5

VaVa^"

分析：（1）題把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式，再計算。

（2）題先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的最簡形式，然后計算。

解: