第26頁（共26頁）2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之雙曲線（一）一．選擇題（共11小題）1．（2025?北京）雙曲線x2﹣4y2＝4的離心率為（）A．32 B．52 C．54 2．（2025?新高考Ⅰ）若雙曲線C的虛軸長為實軸長的7倍，則C的離心率為（）A．2 B．2 C．7 D．223．（2025?上海）已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2﹣y2＝1（x≥1，y≥0）上，則△ABC的面積（）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值4．（2024?全國）已知雙曲線C：x2a2-yA．y＝±3x B．y＝±2x C．y=±135．（2024?甲卷）已知雙曲線的兩個焦點分別為F1（0，4），F(xiàn)2（0，﹣4），點（﹣6，4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．4 B．3 C．2 D．26．（2024?天津）雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，點A．x22-y2C．x28-y7．（2023?甲卷）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的離心率為5，其中一條漸近線與圓（x﹣2）2+（A．15 B．55 C．2558．（2023?甲卷）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為5，C的一條漸近線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1A．55 B．255 C．359．（2023?乙卷）設(shè)A，B為雙曲線x2-y29=A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）10．（2023?天津）雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知|PF2A．x28-y24=C．x24-y2211．（2022?天津）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2＝45x的準(zhǔn)線l經(jīng)過F1，且l與雙曲線的一條漸近線交于點A．x216-y24=C．x24-y2＝1 D．x二．多選題（共1小題）（多選）12．（2025?新高考Ⅱ）雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A1，A2，以F1F2為直徑的圓與曲線C的一條漸近線交于A．∠A1MA2=πB．|MA1|＝2|MA2| C．C的離心率為13 D．當(dāng)a=2時，四邊形NA1MA2的面積為8三．填空題（共7小題）13．（2025?上海）已知雙曲線x2a2-y26-a2=1（a＞0）的左、右焦點分別為F1、F2．通過F2且傾斜角為π3的直線與雙曲線交于第一象限的點A，延長AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F214．（2024?上海）三角形三邊長為5，6，7，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為．15．（2024?新高考Ⅰ）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝13，|AB|＝1016．（2024?北京）若直線y＝k（x﹣3）與雙曲線x24-y2=1只有一個公共點，則k的一個取值為17．（2023?新高考Ⅰ）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A→⊥18．（2023?北京）已知雙曲線C的焦點為（﹣2，0）和（2，0），離心率為2，則C的方程為．19．（2023?全國）若雙曲線C焦點在x軸上，漸近線為y=±52x，則C離心率為四．解答題（共1小題）20．（2023?新高考Ⅱ）已知雙曲線C中心為坐標(biāo)原點，左焦點為（﹣25，0），離心率為5．（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（﹣4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于P，證明P在定直線上．

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之雙曲線（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）題號1234567891011答案BDAACADDDDD二．多選題（共1小題）題號12答案ACD一．選擇題（共11小題）1．（2025?北京）雙曲線x2﹣4y2＝4的離心率為（）A．32 B．52 C．54 【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出a、b、c的值，即得離心率的值．【解答】解：雙曲線x2﹣4y2＝4即x2∴a＝2，b＝1，∴c=5∴e=c故選：B．【點評】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的突破口．2．（2025?新高考Ⅰ）若雙曲線C的虛軸長為實軸長的7倍，則C的離心率為（）A．2 B．2 C．7 D．22【考點】雙曲線的實軸和虛軸；求雙曲線的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得2b=7×2所以ba所以雙曲線C的離心率為ca故選：D．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．3．（2025?上海）已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2﹣y2＝1（x≥1，y≥0）上，則△ABC的面積（）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值【考點】由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)．【專題】計算題；方程思想；定義法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知AB的方程為y＝x+1，故AB與雙曲線的漸近線平行，從而可確定△ABC的面積無最小值，當(dāng)點C位于（1，0）時，△ABC的面積有最大值．【解答】解：因為過點A（0，1），B（1，2）的直線AB的方程為y＝x+1，曲線Γ：x2﹣y2＝1（x≥1，y≥0）的漸近線為y＝x，所以AB與漸近線平行，故當(dāng)點C無限逼近漸近線時，△ABC在AB上的高無限逼近漸近線與AB的距離，故△ABC的面積無最小值，當(dāng)點C位于（1，0）時，使得△ABC在邊AB上的高最大，此時△ABC的面積有最大值．故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題．4．（2024?全國）已知雙曲線C：x2a2-yA．y＝±3x B．y＝±2x C．y=±13【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】A【分析】利用雙曲線的離心率，得到a，b關(guān)系式，然后求解雙曲線的漸近線方程．【解答】解：雙曲線C：x2a2可得ca=10，即a2雙曲線C的漸近線方程為：y＝±3x．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．5．（2024?甲卷）已知雙曲線的兩個焦點分別為F1（0，4），F(xiàn)2（0，﹣4），點（﹣6，4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．4 B．3 C．2 D．2【考點】求雙曲線的離心率．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】由已知結(jié)合雙曲線的定義及性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為F1（0，4），F(xiàn)2（0，﹣4），點P（﹣6，4）在該雙曲線上，所以|F1F2|＝8，|PF2|=36+(4+4)2=10，|PF1所以e=故選：C．【點評】本題主要考查了雙曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?天津）雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，點A．x22-y2C．x28-y【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】A【分析】設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m﹣n＝2a，由△PF1F2是面積為8的直角三角形，可得m2+n2＝（2c）2，12mn=8，由直線PF2的斜率為2，可得tan∠F1F2P=mn=2，即m＝2n，從而求出m，【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m﹣n＝2a，因為△PF1F2是面積為8的直角三角形，所以m2+n2＝（2c）2＝4c2，12mn因為直線PF2的斜率為2，所以tan∠F1F2P=mn所以m＝2n，聯(lián)立m=2n1所以2a＝m﹣n＝22，即a=2所以4c2＝m2+n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2﹣a2＝10﹣2＝8，所以雙曲線的方程為x22故選：A．【點評】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．7．（2023?甲卷）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的離心率為5，其中一條漸近線與圓（x﹣2）2+（A．15 B．55 C．255【考點】雙曲線的幾何特征；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】利用雙曲線的離心率，求解漸近線方程，然后求解圓的圓心到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解|AB|即可．【解答】解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a可得c=5a，所以b＝2a所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±2x，一條漸近線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B兩點，圓的圓心（2，3），半徑為1，圓的圓心到直線y＝2x的距離為：|4-3|1+4所以|AB|＝21-故選：D．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．8．（2023?甲卷）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為5，C的一條漸近線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1A．55 B．255 C．35【考點】雙曲線的幾何特征；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】利用雙曲線的離心率，求解漸近線方程，然后求解圓的圓心到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解|AB|即可．【解答】解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a可得c=5a，所以b＝2a所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±2x，一條漸近線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B兩點，圓的圓心（2，3），半徑為1，圓的圓心到直線y＝2x的距離為：|4-3|1+4所以|AB|＝21-故選：D．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．9．（2023?乙卷）設(shè)A，B為雙曲線x2-y29=A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)抽象；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)點差法分析可得k×kAB＝9，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為M（x0，y0），x1①﹣②得k×kAB＝9，對于選項A：可得k＝1，kAB＝9，則AB：y＝9x﹣8，聯(lián)立方程y=9x-8x2-y29=1，消去y得72此時Δ＝（﹣2×72）2﹣4×72×73＝﹣288＜0，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得k＝﹣2，kAB=-92，則AB：聯(lián)立方程y=-92x-52x2-y此時Δ＝（2×45）2﹣4×45×61＝﹣4×45×16＜0，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得k＝3，kAB＝3，則AB：y＝3x，由雙曲線方程可得a＝1，b＝3，則AB：y＝3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：k＝4，kAB=94，則AB：y聯(lián)立方程y=94x-74x2-y29此時Δ＝1262+4×63×193＞0，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，是中檔題．10．（2023?天津）雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知|PF2A．x28-y24=C．x24-y22【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】結(jié)合點到直線的距離公式先求出b，聯(lián)立漸近線方程及PF2所在直線方程可求P，進(jìn)而表示出直線PF1的斜率，結(jié)合已知可求a，b，進(jìn)而可求雙曲線方程．【解答】解：因為過F2（c，0）作一條漸近線y=bax則|PF2|=bca2+所以b＝2①，聯(lián)立y=baxy=-ab(x-c)因為直線PF1的斜率abc整理得2（a2+c2）＝4ab②，①②聯(lián)立得，a=2，b＝2故雙曲線方程為x22故選：D．【點評】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)在雙曲線方程求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．11．（2022?天津）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2＝45x的準(zhǔn)線l經(jīng)過F1，且l與雙曲線的一條漸近線交于點A．x216-y24=C．x24-y2＝1 D．x【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】先由拋物線方程的準(zhǔn)線方程，得雙曲線的半焦距c，再聯(lián)立拋物線準(zhǔn)線方程與雙曲線的漸近線方程解得|yA|，接著由∠F1F2A=π4，可得|yA|＝|F1F2|，從而得b＝2a，最后再通過c2＝a2+b【解答】解：由題意可得拋物線的準(zhǔn)線為x=-5，又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點F∴c=5，聯(lián)立x=-cy=-bax，可得|yA|∴|yA|＝|F1F2|，∴bca=2c，∴b＝2a，∴b2＝4又c2＝a2+b2，∴5＝a2+4a2，∴a2＝1，b2＝4，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：D．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共1小題）（多選）12．（2025?新高考Ⅱ）雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A1，A2，以F1F2為直徑的圓與曲線C的一條漸近線交于A．∠A1MA2=πB．|MA1|＝2|MA2| C．C的離心率為13 D．當(dāng)a=2時，四邊形NA1MA2的面積為8【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意作出圖形，由對稱性可知，四邊形NA1MA2為平行四邊形，可判斷A；根據(jù)OM＝ON＝c，以及漸近線方程，可得M（a，b），N（﹣a，﹣b），根據(jù)正弦定理可判斷B；由A、B選項分析，可得ba，可求出離心率，判斷C；由前述分析，可得平行四邊形MA1NA2面積，判斷D【解答】解：如圖，不妨設(shè)M在第一象限，漸近線為y=對于A，由對稱性可知，四邊形NA1MA2為平行四邊形，所以∠A1MA2＝π﹣∠NA1M=π6，故對于B，由已知，OM＝ON＝c，可得MA2和NA1垂直于x軸，所以∠MA1A2=5由正弦定理得，|MA1對于C，由前述分析知，2ab=對于D，由前述分析，平行四邊形MA1NA2面積S=2ab=4故選：ACD．【點評】本題主要考查直線與雙曲線的綜合，屬于中檔題．三．填空題（共7小題）13．（2025?上海）已知雙曲線x2a2-y26-a2=1（a＞0）的左、右焦點分別為F1、F2．通過F2且傾斜角為π3的直線與雙曲線交于第一象限的點A，延長AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2【考點】雙曲線的焦點三角形．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】3．【分析】由題意作圖，根據(jù)三角形面積公式以及直線方程，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案．【解答】解：已知x2則b2＝6﹣a2＞0，解得0＜又c=則F1(-6設(shè)B（xB，yB），又△BF1F2的面積為36則S△解得yB＝﹣3，由題意可得直線AB的斜率tanπ則方程為y=將yB＝﹣3代入上式，則-3=解得xB由題意可得|A易知a=故答案為：3．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線的定義，屬中檔題．14．（2024?上海）三角形三邊長為5，6，7，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為3．【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】3．【分析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式即可得出結(jié)論．【解答】解：由雙曲線的定義，2c＝6，2a＝2，解得c＝3，a＝1，∴e=ca故答案為：3．【點評】本題考查了雙曲線的定義、離心率的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?新高考Ⅰ）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝13，|AB|＝10【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】對應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意求出|F1A|，|F2A|，利用雙曲線的定義求出a和b2、c，即可求出雙曲線C的離心率．【解答】解：由題意知，|F1A|＝13，|F2A|=12|AB|＝所以|F1A|﹣|F2A|＝2a＝8，解得a＝4；又x＝c時，y=b2a，即|F2A|所以b2＝5a＝20，所以c2＝a2+b2＝16+20＝36，所以c＝6，所以雙曲線C的離心率為e=c故答案為：32【點評】本題考查了雙曲線的定義與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．16．（2024?北京）若直線y＝k（x﹣3）與雙曲線x24-y2=1只有一個公共點，則k的一個取值為【考點】由直線與雙曲線位置關(guān)系及公共點個數(shù)求解方程或參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)已知條件，設(shè)出直線方程，再與雙曲線方程聯(lián)立，再分類討論，并結(jié)合判別式，即可求解．【解答】解：聯(lián)立x24-y2=1y=k(x-3)，化簡可得（1﹣4k2）x2因為直線y＝k（x﹣3）與雙曲線x2故1﹣4k2＝0，或Δ＝（24k2）2+4（1﹣4k2）（36k2+4）＝0，解得k=±12當(dāng)k=±故答案為：12（或-【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．17．（2023?新高考Ⅰ）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A→⊥【考點】雙曲線與平面向量．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（法一）設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），B（0，n），根據(jù)題意可得點A的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到F1A→=(83c，-23n)，（法二）易知|F2A→||F2B→|=23，設(shè)|F2【解答】解：（法一）如圖，設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），B（0，n），設(shè)A（x，y），則F2又F2A→=-2又F1A→⊥F則F1A→?F1B→又點A在C上，則259c2代n2＝4c2，可得25c2a解得e2=9故e=（法二）由F2A→設(shè)|F2A則|A設(shè)∠F1AF2＝θ，則sinθ=所以cosθ=45=2所以|A在△AF1F2中，由余弦定理可得cosθ=即5c2＝9a2，則e=故答案為：35【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．（2023?北京）已知雙曲線C的焦點為（﹣2，0）和（2，0），離心率為2，則C的方程為x22-【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，建立方程，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)所求方程為x2a2-y2b2=1又c=2ca=2b2=c2-a∴所求方程為x2故答案為：x2【點評】本題考查雙曲線的方程的求解，方程思想，屬基礎(chǔ)題．19．（2023?全國）若雙曲線C焦點在x軸上，漸近線為y=±52x，則C離心率為【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】32【分析】先根據(jù)漸近線方程求得ba，再由e【解答】解：因為雙曲線C焦點在x軸上，一條漸近線方程為y=52所以雙曲線C的離心率為e=故答案為：32【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共1小題）20．（2023?新高考Ⅱ）已知雙曲線C中心為坐標(biāo)原點，左焦點為（﹣25，0），離心率為5．（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（﹣4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于P，證明P在定直線上．【考點】由雙曲線的焦點焦距求解雙曲線方程或參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）證明：過點（﹣4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，則可設(shè)直線MN的方程為x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），記C的左，右頂點分別為A1，A2，則A1（﹣2，0），A2（2，0），聯(lián)立x=my-44x2-y2=16，化簡整理可得，（4m2﹣故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，y1+y直線MA1的方程為y=y1x1+2(故x=m=m=-故x+2x-2=-所以xP＝﹣1，故點P在定直線x＝﹣1上運動．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解；（2）設(shè)出直線MN的方程，并與雙曲線C聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定理，推得x1+x2=32m4m【解答】解：（1）雙曲線C中心為原點，左焦點為（﹣25，0），離心率為5，則c2=a故雙曲線C的方程為x2（2）證明：過點（﹣4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，則可設(shè)直線MN的方程為x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），記C的左，右頂點分別為A1，A2，則A1（﹣2，0），A2（2，0），聯(lián)立x=my-44x2-y2=16，化簡整理可得，（4m2﹣故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，y1+y直線MA1的方程為y=y1x1+2(故x=m=m=-故x+2x-2=-所以xP＝﹣1，故點P在定直線x＝﹣1上運動．【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．

考點卡片1．直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由Ax+①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．2．由雙曲線的焦點焦距求解雙曲線方程或參數(shù)【知識點的認(rèn)識】已知雙曲線的焦點位置和焦距2c，可以求解a和b，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程．【解題方法點撥】1．計算a和b：由焦距和焦點位置計算a和b．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定焦點和焦距，求解雙曲線的方程或參數(shù)．﹣利用焦點和焦距計算標(biāo)準(zhǔn)方程．3．由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)【知識點的認(rèn)識】已知雙曲線的漸近線方程可以確定a和b，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解題方法點撥】1．計算a和b：由漸近線方程的斜率計算．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定漸近線方程，求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)．﹣利用漸近線方程計算標(biāo)準(zhǔn)方程．4．雙曲線的幾何特征【知識點的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y5．雙曲線的實軸和虛軸【知識點的認(rèn)識】雙曲線的實軸是通過兩個頂點的線段，虛軸是與雙曲線相交的漸近線的距離．對于雙曲線x2a2-y2b【解題方法點撥】1．計算實軸長度：由a計算實軸長度．2．計算虛軸長度：由b計算虛軸長度．【命題方向】﹣給定雙曲線方程，求實軸和虛軸的長度．﹣利用參數(shù)計算實軸和虛軸的長度．6．雙曲線的離心率【知識點的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥