冀教版9年級下冊期末試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題20分）一、單選題（10小題，每小題2分，共計20分）1、拋物線的函數(shù)表達式為，若將y軸向左平移3個單位長度，將x軸向下平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．2、一個正多邊形的半徑與邊長相等，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．83、下列事件中，屬于必然事件的是（）A．經(jīng)過路口，恰好遇到紅燈 B．367人中至少有2人的生日相同C．打開電視，正在播放動畫片 D．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上4、如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線，有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，是拋物線上兩點，且，則實數(shù)的取值范圍是．其中正確結(jié)論是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤5、已知二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋1的圖象與x軸有公共點，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)＜4且a≠0 D．a(chǎn)≤4且a≠06、下列事件中是必然事件的是（）A．平移后的圖形與原來的圖形對應(yīng)線段相等 B．同位角相等C．隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上 D．－a是負數(shù)7、在“愛國、愛黨”主題班會上，小穎特別制作了一個正方體玩具，其表面展開圖如圖所示，則原正方體中與“有”字相對的字是（）A．少 B．年 C．有 D．國8、如圖，一把直尺，60°的直角三角板和一個量角器如圖擺放，A為60°角與刻度尺交點，刻度尺上數(shù)字為4，點B為量角器與刻度尺的接觸點，刻度為7，則該量角器的直徑是（）A．3 B． C．6 D．9、一個布袋里裝有1個紅球，4個黃球和5個白球，除顏色外其它都相同．攪勻后任意摸出一個球，是黃球的概率為（）A． B． C． D．10、一個球從地面豎直向上彈起時的速度為8米/秒，經(jīng)過秒時球的高度為米，和滿足公式：?=v0t?12gt2v0表示球彈起時的速度，表示重力系數(shù)，取米/秒A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒第Ⅱ卷（非選擇題80分）二、填空題（10小題，每小題2分，共計20分）1、如圖，拋物線與軸交于點，，若對稱軸為直線，點的坐標為（-3，0），則不等式的解集為______．2、已知圓O的半徑為10cm，OP＝8cm，則點P和圓O的位置關(guān)系是________．3、一個幾何體的表面展開圖如圖所示，則這個幾何體是__________．4、如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0）與（7，0）．對于坐標平面內(nèi)的一動點P，給出如下定義:若∠APB＝45°，則稱點P為線段AB的“等角點.”①若點P為線段AB在第一象限的“等角點”，且在直線x＝4上，則點P的坐標為__________________；②若點P為線段AB的“等角點”，并且在y軸上，則點P的坐標為__________________．5、二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為______．6、圓錐的底面周長為3，母線長為5cm，該圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角是________°．7、如圖，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以點A為圓心作圓弧，與BC相切于點D，且分別交邊AB，AC于點EF，則扇形AEF的面積為_____．（結(jié)果保留π）8、如圖，在矩形中，是邊上的點，經(jīng)過，，三點的與相切于點．若，，則的半徑是__________．9、有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是__________．10、如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，若OA＝2，∠APB＝60°，則PB＝________．三、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、為了迎接2022年春節(jié)，我縣古城風(fēng)景區(qū)內(nèi)開發(fā)了冰上滑雪運動項目，某體育用品商店抓住這一商機購進一批滑雪板，若每件進價為50元，售價為66元，每星期可賣出40件．為了鼓勵大家多參加冰上滑雪運動，同時降低庫存，商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，每件降價1元，每星期可多賣出4件．(1)若設(shè)每件滑雪板降價x元，每星期的銷售量為y件，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，（不用標出x的取值范圍）；(2)降價后，商家要使每星期的利潤最大，應(yīng)將售價定為每件多少元？最大銷售利潤多少？2、已知函數(shù)與函數(shù)，定義“和函數(shù)”．(1)若，則“和函數(shù)”；(2)若“和函數(shù)”為，則，；(3)若該“和函數(shù)”的頂點在直線上，求．3、在一次綜合復(fù)習(xí)能力檢測中，愛國同學(xué)的填空題的答卷情況如下，他的得分是_______分．姓名：愛國得分：____________填空題（每題2分，共10分）1．已知，則的值為（）．2．已知扇形的圓心角為，半徑為1，則扇形的弧長為（）．3．兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比是2∶3，那么這兩個三角形面積的比是（2∶3）．4．一元二次方程的一個根為2，則p的值為（）．5．在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外其余都相同．小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子里可能有（9）個紅球．4、（1）回歸教材：北師大七年級下冊P44，如圖1所示，點P是直線m外一點，，點O是垂足，點A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？最短線段是______，于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，______．（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點P為AB邊上一動點，則CP的最小值為______．（3）嘗試應(yīng)用：如圖3所示是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE．①請直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．（4）拓展提高：如圖4，頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，連接AE．．，，請求出AE的最小值．5、小君根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗對函數(shù)y=|ax2+bx+c|進行了探究．(1)寫出該函數(shù)自變量的取值范圍；(2)下列表示y與x的幾組對應(yīng)值．x…﹣1012345…y…50343m5…則m=；(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出以上對各對對應(yīng)值為坐標的點．根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；(4)請根據(jù)圖象，寫出：①當0≤x≤4時，y的最大值是；②當z＜x＜z+1時，y隨x的增大而增大，則z的取值范圍是．6、如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．(1)求拋物線的解析式；(2)點D在拋物線的對稱軸上，當ACD的周長最小時，點D的坐標為．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】此題可以轉(zhuǎn)化為求將拋物線“向右平移3個單位長度，向上平移3個單位長度”后所得拋物線解析式，將拋物線直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，∴將拋物線向右平移3個單位長度，向上平移3個單位長度后得到的拋物線頂點坐標為，∴將拋物線向右平移3個單位長度，向上平移3個單位長度后得到的拋物線的解析式為，∴將y軸向左平移3個單位長度，將x軸向下平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數(shù)表達式為．故選：C【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確掌握平移規(guī)律——左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．2、C【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系即可得．【詳解】解：如圖，由題意得：，是等邊三角形，，則這個正多邊形的邊數(shù)為，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3、B【解析】【分析】必然發(fā)生的事件是必然事件，根據(jù)定義解答．【詳解】解：A.經(jīng)過路口，恰好遇到紅燈是隨機事件，故該項不符合題意；B.367人中至少有2人的生日相同是必然事件，故該項符合題意；C.打開電視，正在播放動畫片是隨機事件，故該項不符合題意；D.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上是隨機事件，故該項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了必然事件的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】【分析】根據(jù)開口方向，對稱軸，以及與軸負半軸的交點位置判斷的符號即可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知時的函數(shù)值與的函數(shù)值相等，進而可得，即可判斷②，根據(jù)對稱軸為以及頂點坐標公式即可判斷③，根據(jù)二次函數(shù)圖象與軸有兩個交點，則，即可判斷④，根據(jù)對稱性可得時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等，進而根據(jù)拋物線的開口方向以及，即可判斷，根據(jù)頂點位置的函數(shù)值最小，進而即可判斷⑤【詳解】解：∵拋物線的開口朝上，則，對稱軸，可得，根據(jù)拋物線與軸交于負半軸，則∴故①正確；∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則當時，對稱軸為直線，則時的函數(shù)值與的函數(shù)值相等，時，即故②不正確對稱軸為直線，∴，即故③正確；∵二次函數(shù)圖象與軸有兩個交點，則即故④錯誤；對稱軸為直線，則時的函數(shù)值與的函數(shù)值相等，，是拋物線上兩點，且，拋物線開口向上，故⑤正確故正確的是①③⑤故選C【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及與各系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)圖象判斷方程的根的情況，二次函數(shù)的對稱性，掌握二次根式圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5、D【解析】【分析】由二次函數(shù)的定義得a≠0，再由二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋1的圖象與x軸有公共點得到Δ≥0，解不等式即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋1的圖象與x軸有公共點，∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，解得：a≤4，且a≠0．故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與x軸的交點，關(guān)鍵是Δ＝b2?4ac決定拋物線與x軸交點的個數(shù)．6、A【解析】【分析】根據(jù)必然事件和隨機事件的定義解答即可．【詳解】解：A.平移后的圖形與原來的圖形對應(yīng)線段相等是必然事件；B.∵兩直線平行同位角相等，∴同位角相等是隨機事件；C.∵隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后可能正面朝上，也可能反面朝向，∴隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上是隨機事件；D.∵當a=0時，-a=0，0既不是負數(shù)，也不是正數(shù)，∴－a是負數(shù)是隨機事件；故選A．【點睛】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．7、B【解析】【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，則“有”與“年”相對．故選：B．【點睛】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．8、D【解析】【分析】如圖所示，連接OA，OB，OC，利用切線定理可知△AOC與△AOB為直角三角形，進而可證明Rt△AOC≌Rt△AOB，根據(jù)三角板的角度可算出∠OAB的度數(shù)，借助三角函數(shù)求出OB的長度．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，OC，∵三角板的頂角為60°，∴∠CAB=120°，∵AC，AB，與扇形分別交于一點，∴AC，AB是扇形O所在圓的切線，∴OC⊥AC，OB⊥AB，在Rt△AOC與Rt△AOB中，∴Rt△AOC≌Rt△AOB，∴∠OAC=∠OAB=60°，由題可知AB=7－4=3，∴OB=AB?tan60°=，∴直徑為，故選：D．【點睛】本題考查，圓的切線定理，全等三角形的判定，三角函數(shù)，在圖中構(gòu)造適合的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．9、C【解析】【分析】用黃色小球的個數(shù)除以總個數(shù)可得．【詳解】解：攪勻后任意摸出一個球，是黃球的概率為=．故選：C．【點睛】本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．10、A【解析】【分析】根據(jù)已知得到函數(shù)關(guān)系式，將h=3代入，求出t值的差即為答案．【詳解】解：由題意得，當h=3時，，解得，∴球不低于3米的持續(xù)時間是1-0.6=0.4（秒），故選：A．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解一元二次方程，正確理解題中各字母的值，代入求出函數(shù)解析式解決問題是解題的關(guān)鍵．二、填空題1、【解析】【分析】函數(shù)的對稱軸為直線，與軸交點，則另一個交點，進而求解．【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為直線，與軸交點，則另一個交點，觀察函數(shù)圖象知，不等式的解集為：，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．2、點P在圓內(nèi)【解析】【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，設(shè)點與圓心的距離d，則d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．【詳解】解：∵點P到圓心的距離OP=8cm，小于⊙O的半徑10cm，∴點P在圓內(nèi)．故答案為：點P在圓內(nèi)．【點睛】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．3、三棱柱【解析】【分析】根據(jù)三棱柱的側(cè)面展開圖得出答案，兩個底面為三角形，側(cè)面展開為長方形．【詳解】解：如圖所示：這個幾何體是三棱柱．故答案為：三棱柱．【點睛】此題主要考查了幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的平面展開圖的特征是解決此類問題的關(guān)鍵．4、①，②或【解析】【分析】①根據(jù)P在直線x＝4上畫圖1，作△APB的外接圓C，連接AC，BC，可知：AB＝6，⊙C的半徑為3，最后計算PD的長可得點P的坐標；②同理作△APB的外接圓C，計算OP和OP1的長，可得點P的坐標，注意不要丟解．【詳解】解：①如圖1，作△APB的外接圓，設(shè)圓心為C，連接AC，BC，∵點A與點B的坐標分別是（1，0）與（7，0），∴AB＝7?1＝6，∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2＝AB2∴AC＝BC＝3，∴PC＝3，∵點P在直線x＝4上，∴AD＝4?1＝3，∴AD＝BD，∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝3，∴P（4，3＋3）；故答案為：（4，3＋3）；②如圖2，同理作△APB的外接圓，設(shè)圓心為C，過C作CD⊥x軸于D，作CE⊥OP于E，連接PC，P1C，在y軸上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，則①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，由勾股定理得：PE＝，∴PO＝3＋，同理得：OP1＝3?，∴P（0，3±），同理在y軸的負半軸上，存在符合條件的點P的坐標為（0，?3±），綜上，點P的坐標為或．故答案為：或．【點睛】此題主要考查坐標和圖形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，作△APB的外接圓是本題的關(guān)鍵．5、【解析】【分析】根據(jù)的意義直接解答即可．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要熟悉頂點式的意義，并明確：（a≠0）的頂點坐標為（0，c）．6、108【解析】【分析】圓錐的底面周長即為側(cè)面扇形的弧長，利用弧長公式即可求得扇形的圓心角．【詳解】解：由題意可得：，解得：n=108，∴圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角是108°，故答案為：108．【點睛】本題考查了扇形的弧長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．7、##【解析】【分析】先判斷出△ABC是等腰直角三角形，從而連接AD，可得出AD=1，直接代入扇形的面積公式進行運算即可．【詳解】解：∵AB=AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，連接AD，則AD=BC=1，則S扇形AEF=．故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的面積計算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是得出AD的長度及∠BAC的度數(shù)．8、##【解析】【分析】連接EO，并延長交圓于點G，在Rt△DEF中求出EF的值，再證明△DEF∽△FGE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接EO，并延長交圓于點G，∵四邊形是矩形，∴CD=，∠D=90°，∵與相切于點，∴OE⊥CD，再結(jié)合矩形的性質(zhì)可得：∴DE=CE=3．∵，∴EF=．∵與相切于點，∴∠GED=90°．∵GE是直徑，∴∠GFE=90°，∴∠DEF+∠GEF=90°，∠EGF+∠GEF=90°，∴∠DEF=∠EGF．∵∠D=∠∠GFE=90°，∴△DEF∽△FGE，∴，∴，∴GE=，∴的半徑是，故答案為；．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9、【解析】【分析】由朝上的面的點數(shù)有6種等可能結(jié)果，其中奇數(shù)有1，3，5共3種結(jié)果，根據(jù)概率公式計算可得．【詳解】解：任意拋擲一次骰子，朝上的面的點數(shù)有6種等可能結(jié)果，其中奇數(shù)有1，3，5共3種結(jié)果，∴朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是，故答案為：．【點睛】本題主要考查概率公式，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．10、【解析】【分析】由切線長定理知PA=PB，PO平分∠APB，由切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)即可求得PA的長，從而得PB的長．【詳解】∵PA，PB是⊙O的兩條切線∴PA=PB，且PO平分∠APB∴∠APO=∵OA⊥PA∴∴故答案為：【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、銳角三角函數(shù)等知識，掌握切線的性質(zhì)是關(guān)鍵．三、解答題1、(1)y=40+4x(2)降價后，商家要使每星期的利潤最大，應(yīng)將售價定為每件63元，最大銷售利潤676元【解析】【分析】（1）根據(jù)每件進價為50元，售價為66元，每星期可賣出40件和每件降價1元，每星期可多賣出4件列出關(guān)系式即可；（2）根據(jù)利潤=（售價-進價）×數(shù)量列出關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．(1)解：由題意得：；(2)解：設(shè)商家的銷售利潤為W，由題意得：，∵a=–4＜0，∴當x=3時W取最大值，為676，∴降價后的價格為：66-3=63（元）答：降價后，商家要使每星期的利潤最大，應(yīng)將售價定為每件63元，最大銷售利潤676元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意列出對應(yīng)的關(guān)系式進行求解．2、(1)．(2)，．(3)或．【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)中得出函數(shù)，再利用即可得出結(jié)論；（2）的解析式為，又，利用兩者相等即可得出結(jié)論；（3）先得出和函數(shù)，進而根據(jù)頂點在直線上得出，即可得出結(jié)論．(1)解：當時，，∵函數(shù)，此時和函數(shù)，∴，故答案為：．(2)解：∵函數(shù)與函數(shù)，和函數(shù)，∴和函數(shù)的解析式為，∵和函數(shù)的解析式為，∴，，∴，，故答案為：，．(3)解：由題意得和函數(shù)為，，∴和函數(shù)的頂點為，∵和函數(shù)的頂點在上，∴，整理得，解得，．故答案為：或．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的頂點坐標、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3、6【解析】【分析】逐個分析每個小題的正確結(jié)果，與愛國同學(xué)的答案進行比對，算出愛國同學(xué)的總得分即可．【詳解】1、已知，則的值為：，故1正確；2、已知扇形的圓心角為，半徑為1，則扇形的弧長為：，故2正確；3、兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比是2∶3，那么這兩個三角形面積的比是，故3錯誤；4、一元二次方程的一個根為2，則p的值為：將2代入原方程中得，解得，故4正確；5、在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外其余都相同．小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子里可能有個紅球，白球個數(shù)可能為：，紅球個數(shù)可能為：，故5錯誤；綜上所述愛國同學(xué)一共得6分，故答案為：6．【點睛】本題考查，整體代入思想，弧長的計算，方程的解，三角形的相似比與面積比的關(guān)系，概率問題，能夠準確的應(yīng)用這些知識點是解題的關(guān)鍵．4、（1）PO，垂線段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面積為；（4）AE的最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂線段的性質(zhì)即可解答；（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，利用面積法即可求解；（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，可證得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到點E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當∠DEC=90°時，DE最短，據(jù)此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的長，即可求解；（4）作出如圖的輔助線，先判斷出點E在直線GH上運動，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當當AE⊥GH時，AE最短，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式即可求解．【詳解】解：（1）∵PO⊥直線m，∴從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．故答案為：PO，垂線段最短；（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，∴PC=，即CP的最小值為，故答案為：；（3）①由旋轉(zhuǎn)知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，邊長為4，∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；∵點P為高AD上的一個動點，∴點E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”可知，當DE⊥CE時，DE最短．∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，∴等邊三角形△PBE的高為，∴△BPE的面積為=；（4）過點B作BH⊥AC于點H，則∠BHC=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此時點F與點C重合，點E與點H重合，∵AB=3，BC=4，∴AC=，∵S△ABC=ABBC=ACBH，∴BH=，∴AH=，取AB中點G，過點G