5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)明確目標(biāo)發(fā)展素養(yǎng)了解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程．能利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).通過復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng).(一)教材梳理填空1．復(fù)合函數(shù)的定義一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成__的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝_______．xf(g(x))2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝

.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與

的導(dǎo)數(shù)的乘積．[微思考]函數(shù)y＝log2(x2－3x＋5)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？提示：y＝log2(x2－3x＋5)是由y＝log2u，u＝x2－3x＋5復(fù)合而成．y′u·u′xu對x(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)若f(x)＝e2x，則f′(x)＝e2x. (

)(2)若f(x)＝sin(x＋1)，則f′(x)＝cosx．

(

)××解析：函數(shù)y＝ln(x－2)是由函數(shù)y＝lnu和u＝φ(x)＝x－2復(fù)合而成的，而B、C、D中的函數(shù)分別為函數(shù)y＝lnx與函數(shù)φ(x)＝x－2的加、乘、商的形式，不符合復(fù)合函數(shù)的定義，選A.答案：A

3．設(shè)f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，則f′(0)＝________.[方法技巧](1)在對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時，應(yīng)仔細觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式，對不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù)，可適當(dāng)?shù)剡M行等價變形，以達到化異求同、化繁為簡的目的．(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運用公式，從外層開始由外及內(nèi)逐層求導(dǎo)．題型二與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的綜合問題

【學(xué)透用活】[典例2]

(1)

曲線y＝2ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，f′(x)，g′(x)分別為f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)，解不等式f′(x)＞g′(x)．[方法技巧]有了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可以求導(dǎo)的函數(shù)類型更加豐富了．在求有關(guān)切線的問題中，先要準(zhǔn)確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后注意切線的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程的求法的綜合應(yīng)用．【對點練清】1．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝e－x－2－x，則曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________．解析：設(shè)x＞0，則－x＜0，∴f(－x)＝ex－2＋x，∵f(x)為偶函數(shù)，∴x＞0時，f(x)＝ex－2＋x，則f′(x)＝ex－2＋1，∴f′(2)＝2.又f(2)＝3，∴曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線方程為y－3＝2(x－2)，即y＝2x－1.答案：y＝2x－1.