《信號與系統(tǒng)基礎及應用》主編張曉青參編耿蕊王君機械工業(yè)出版社《信號與系統(tǒng)基礎及應用》第1章信號與系統(tǒng)基礎知識第2章連續(xù)時間信號分析第3章連續(xù)時間系統(tǒng)分析第4章離散時間信號分析第5章離散時間系統(tǒng)分析第6章離散傅里葉變換及應用第7章數(shù)字濾波器設計第4章離散時間信號分析4.2離散時間傅里葉變換（DTFT）4.1離散時間傅里葉級數(shù)（DTFS）（DiscreteTimeFourierSeries）（DiscreteTimeFourierTransform）4.3奈奎斯特抽樣定理4.1離散時間傅里葉級數(shù)（DTFS）4.1.1周期信號的離散時間傅里葉級數(shù)4.1.2離散時間周期信號的頻譜4.1.3離散時間傅里葉級數(shù)的性質可以將離散周期信號看成是連續(xù)周期信號的抽樣信號。1.離散周期信號的定義4.1.1周期信號的離散時間傅里葉級數(shù)2.正弦序列的周期性一個連續(xù)時間正弦信號cos

t，無論

取何值，都是一個周期信號。如果則必須有即為有理數(shù)n，N，m均為整數(shù)則基波周期為對于離散正弦序列cosn或者指數(shù)形式ejn，情況并非如此，僅當

/2為有理數(shù)時，cosn或者ejn才是周期的。m取滿足條件的最小正整數(shù)?！纠?.1】可以找到一個整數(shù)m使N成為一個整數(shù)！是有理數(shù)，所以該信號是離散周期信號。當m=2時，則N為基波周期。

/2不是有理數(shù)，該信號不是離散周期信號。3.推導離散周期信號的傅里葉級數(shù)公式T為信號周期，Ts為抽樣周期連續(xù)周期信號的FS公式如下：離散化后成為離散周期信號（變量替換）：nt公式的圖形解釋時域抽樣，導致頻域卷積，變成周期延拓怎樣求級數(shù)的系數(shù)？直接求取級數(shù)有限項求和離散性諧波性周期性離散性諧波性衰減性旋轉因子設為周期脈沖串，解：對于0≤n≤N-1，對于所有的k值，均相同。的DTFS系數(shù)為求其傅里葉級數(shù)表示?！纠?.2】已知周期序列如圖所示，其周期N=10,試求它的傅里葉級數(shù)系數(shù)。【例4.3】解：4.1.2離散時間周期信號的頻譜幅度特性相位特性基頻因此，把稱為的頻譜。【例4.4】相角為0相角為0【例4.5】相角為-/2相角為/2求周期信號畫出它的幅度譜和相位譜。根據周期信號的定義求取周期解：的基波周期是N1=5的基波周期也是N2=5對于x(n),【例4.6】的離散時間傅里葉級數(shù)，并對歐拉公式皆是周期為N的周期序列，4.1.3離散時間傅里葉級數(shù)的性質設和它們各自的DTFS分別為：1.線性式中，a和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。2.序列的移位或證明：令i=n+m

3.周期卷積如果則或周期卷積定理：得證明：代入

都是變量m的周期序列，周期為N，故乘積也是周期為N的周期序列。周期序列的卷積與非周期序列的線性卷積不同。求和只在一個周期上進行，即m=0到N-1，所以稱為周期卷積。12求兩個周期序列（N=7）的周期卷積?！纠?.7】解：兩個周期序列（N=7）的周期卷積由于DTFS和IDTFS變換的對稱性，時域周期序列的乘積對應著頻域周期序列的周期卷積。則有如果再經變量替換，得4.2離散時間傅里葉變換（DTFT）4.2.2離散時間傅里葉變換的性質4.2.1離散非周期信號的傅里葉變換1.從連續(xù)時間傅里葉級數(shù)到連續(xù)時間傅里葉變換4.2.1離散非周期信號的傅里葉變換2.從離散時間傅里葉級數(shù)到離散時間離散傅里葉變換隨著N

增大，譜線越來越密。當N趨于無窮時，譜線會怎樣呢？密度性,連續(xù)性,周期性3.DTFT公式推導因此，離散時間傅里葉變換的定義為反正x(n)可以表示成無窮多個復指數(shù)信號的加權和X(ej

)表示了單位頻帶的復振幅（1）X(ej

)是連續(xù)的，并且以2

為周期，為單位頻帶的復振幅。4.DTFT的特點（2）x(n)絕對可和是其傅里葉變換存在的充分條件。只是充分條件，不是必要條件。例如：求序列x(n)的DTFT?！纠?.8】解：周期為2

的偶函數(shù)周期為2

的奇函數(shù)分析：取a=0.8其中【例4.9】求DTFT。雙邊指數(shù)序列如下解：取a=0.5【例4.10】求矩形脈沖序列的DTFT，并畫出N1=2時的頻譜圖。解：4.2.2離散時間傅里葉變換的性質1.線性2.時移設矩形窗序列RN(n)的寬度N為奇數(shù)！圖中的相頻特性默認是

(

)的值在-~+

之間，所以由原本的直線相頻特性卷繞而得。則RN(n)左移(N-1)/2后，是一個偶對稱的序列，根據時移性當序列是偶對稱信號，與連續(xù)時間傅氏變換相同，其變換X(ej

)是純實函數(shù)。X(ej

)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，其幅度函數(shù)的波形是以π偶對稱的，相位函數(shù)是以π奇對稱的。3.頻移設則由頻移性4.時間反轉5.共軛對稱設x(n)為一般的復數(shù)序列信號，即對于實信號x(n)幅度譜是

的偶函數(shù)相位譜是

的奇函數(shù)又序列實部的DTFT是序列離散時間傅里葉變換的共軛對稱分量序列虛部的DTFT

是序列離散時間傅里葉變換的共軛反對稱分量6.奇偶虛實性質設（1）當x(n)是實序列，即則實序列的DTFT，實部是偶對稱的，虛部是奇對稱的模是偶對稱的，相位是奇對稱的其中的奇分量（2）當x(n)是實序列，即則其中的偶分量則即（4）當x(n)是實奇序列，即則即實奇序列的DTFT是純虛且奇對稱的（3）當x(n)是實偶序列，即實偶序列的DTFT是實偶對稱的7.頻域微分例如：已知則有8.時域卷積9.頻域卷積參與卷積的兩信號均是以2π為周期的周期信號，卷積的積分是在2π區(qū)間上的積分，卷積后的結果，仍然是以2π為周期的周期信號。周期卷積10.Parseval定理與連續(xù)時間傅里葉變換相同，Parseval定理表示信號在時域的總能量，等于頻域中不同頻率分量的能量|X(ej

)|2/2π在一個周期（2π）上的積分。|X(ej

)|2稱為序列x(n)的能量密度譜函數(shù)?！纠?.11】試求以下與X(ej

)=DTFT{x(n)}有關的值。已知序列x(n)如圖所示。解：由定義由定義時移性質由帕塞瓦爾(Parseval)定理由頻域微分性與帕塞瓦爾定理【例4.12】已知X(ej

)=DTFT{x(n)}，試求序列x(n)。解：（1）由定義（2）由定義CTFS(ContinuousTimeFourierSeries)

連續(xù)時間傅里葉級數(shù)DTFS(DiscreteTimeFourierSeries)

離散時間傅里葉級數(shù)CTFT(ContinuousTimeFourierTransform)

連續(xù)時間傅里葉變換

DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)

離散時間傅里葉變換總結：四種傅里葉變換的關系CTFS(ContinuousTimeFourierSeries)

連續(xù)時間傅里葉級數(shù)CTFT(ContinuousTimeFourierTransform)

連續(xù)時間傅里葉變換DTFS(DiscreteTimeFourierSeries)

離散時間傅里葉級數(shù)

DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)

離散時間傅里葉變換離散性諧波性周期性離散性諧波性衰減性1.CTFS、CTFT、DTFS、DTFT性質比較CTFSDTFTDTFSCTFT密度性連續(xù)性周期性密度性連續(xù)性衰減性抽樣抽樣周期

周期

CTFSDTFTDTFSCTFT抽樣抽樣周期

周期

2.時頻域對應關系周期函數(shù)離散函數(shù)，非周期函數(shù)連續(xù)函數(shù)離散函數(shù)周期函數(shù)，連續(xù)函數(shù)非周期函數(shù)信號的四種組合情形各自的時頻對應情況是怎樣的？連續(xù)周期連續(xù)非周期離散周期離散非周期？4.3奈奎斯特抽樣定理4.3.1理想抽樣的數(shù)學模型4.3.2奈奎斯特抽樣定理4.3.3抽樣信號的重建4.3.4實際抽樣過程抽樣定理重要意義A-DH(z)D-Ax(t)x(n)y(n)y(t)利用離散時間系統(tǒng)處理連續(xù)時間信號哈利

奈奎斯特（HarryNyquist，1889-1976）美國物理學家4.3.1理想抽樣的數(shù)學模型1.信號理想抽樣模型混疊（2）最低抽樣頻率

s需大于2

m，即最大抽樣間隔Ts需小于

/

m。即4.3.2奈奎斯特抽樣定理兩個方面：（1）若帶限信號x(t)的最高頻率為

m，則信號x(t)可以用等間隔的抽樣值唯一地表示。信號的最高頻率奈奎斯特速率（NyquistRate，不失真的最小抽樣頻率）奈奎斯特頻率（Nyquistfrequency，又叫折疊頻率）實際抽樣頻率【例4.13】已知實信號x(t)的最高頻率為fm(Hz)，試計算對各信號x(2t),

x(t)*x(2t),

x(t)

x(2t)采樣不混疊的最小抽樣頻率。解：根據傅里葉變換的性質及抽樣定理得：對信號x(t)的最小抽樣頻率為2fm對信號x(2t)的最小抽樣頻率為4fm對信號x(t)*x(2t)的最小抽樣頻率為2fm對信號x(t)·x(2t)的最小抽樣頻率為6fm思考:根據時域抽樣定理，對連續(xù)時間信號進行抽樣時，只需抽樣頻率fs

>2fm。在工程應用中，抽樣頻率常設為fs

(3~5)fm，為什么？若連續(xù)時間信號x(t)

的最高頻率fm未知，如何確定抽樣間隔T？抽樣點數(shù)增多，使譜線更多展示，減小柵欄效應。信號頻率的大致范圍一般是事先知道的。先經過抗混疊預濾波電路處理，使之成為帶限信號，即知fm

。4.3.3抽樣信號的重建1.信號重建模型2