平面解析幾何專題四拋物線7.9拋物線的定義與標準方程知識點1

拋物線的定義1.

定義：一般地，把平面內(nèi)到一個定點F和一條不過點F的定直線l的距離相等

的點的軌跡（或集合）叫作拋物線.定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物

線的準線.2.

幾何表示：｜MF｜＝d（d為拋物線上任意一點M到準線的距離）.知識點2

拋物線的標準方程1.

焦點在x軸正半軸上，拋物線的標準方程為y2＝2px（p＞0）；焦點在x軸負

半軸上，拋物線的標準方程為y2＝－2px（p＞0）.2.

焦點在y軸正半軸上，拋物線的標準方程為x2＝2py（p＞0）；焦點在y軸負

半軸上，拋物線的標準方程為x2＝－2py（p＞0）.

例1

拋物線y2＝6x的焦點坐標是（）.A.

（3，0）B.

（0，3）【考查目標】本題考查拋物線的焦點坐標.

【答案】

C【解題技巧】根據(jù)拋物線的標準方程確定其焦點坐標的位置，并求出p的值，從

而確定其焦點坐標.變式訓練1（1）拋物線3x2＋4y＝0的焦點坐標是（C）.

C.

（0，－1）D.

（－1，0）CC

B.

y＝2D.

y＝－2【考查目標】本題考查拋物線的準線方程.

【答案】

B【解題技巧】要先將拋物線方程轉化為標準方程的形式，再根據(jù)標準方程求出p

的值，從而得到準線方程.變式訓練2（2022年安徽省職教高考真題）拋物線y2＝4x的準線方程為（B）.A.

x＝－2B.

x＝－1C.

y＝－2D.

y＝－1

B例3

（2020年安徽省職教高考真題）已知拋物線的焦點坐標為（4，0），則此

拋物線的標準方程為（）.A.

x2＝8yB.

x2＝16yC.

y2＝8xD.

y2＝16x【考查目標】本題考查拋物線的標準方程.

【答案】

D

C.

y2＝－8xD.

x2＋y2＝8【解析】根據(jù)題意可知，題干所描述的是拋物線的定義：平面內(nèi)到定點的距離與

到定直線的距離相等的點的軌跡，且點F（－2，0）為焦點，定直線l：x＝2為

準線，所以拋物線的標準方程為y2＝－8x.C（2）（2023屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谌温?lián)考）已知拋物線的焦點坐

標為（2，0），則該拋物線的標準方程為（D）.A.

y2＝－4xB.

y2＝4xC.

y2＝－8xD.

y2＝8x

D

A例4

（2024屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谄叽温?lián)考）已知拋物線y2＝2px

（p＞0）上一點M（3，m）到其準線的距離等于4，則m＝（）.【答案】

D

【考查目標】本題考查拋物線的定義和標準方程.

變式訓練4（1）（2023屆安徽省“江淮十校”職教高考第二次聯(lián)考）已知拋物線的頂點在

原點，焦點在y軸上，若拋物線上的點P（a，3）到焦點的距離為5，則該拋物

線的標準方程為（A）.A.

x2＝8yB.

x2＝4yC.

x2＝－4yD.

x2＝－8y

A

A.9D.8

A

2.

拋物線y2＝10x的準線方程是（A）.C.

x＝－5D.

x＝5DA

C

B.

y2＝10xC.

y2＝2xD.

y2＝－2x

B5.

拋物線y2＝mx（m＜0）的準線方程是（A）.6.

若過拋物線y2＝－8x的焦點F且垂直于x軸的直線交拋物線于A，B兩點，

則｜AB｜＝（B）.A.4B.8C.12D.167.

若拋物線x2＝ay（a＞0）上的一點P（x0，4）到焦點的距離等于6，則該拋

物線的標準方程為（D）.A.

x2＝6yB.

x2＝12yC.

x2＝4yD.

x2＝8yABD8.

若拋物線y2＝－8x上一點P到其準線的距離等于它到原點的距離，則點P的

坐標為（B）.A.

（－2，4）或（－2，－4）

B二、填空題9.

準線方程為x＝4的拋物線的標準方程為

?.10.

已知P為拋物線C：y2＝mx（m＞0）上一點，點P到拋物線C的焦點F的

距離為15，到y(tǒng)軸的距離為12.5，則實數(shù)m＝

?.

y2＝－16x10

x2＝±10y13.

拋物線有一條重要性質(zhì)：從拋物線y2＝±2px（p＞0）的焦點發(fā)出的光線，

經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于x軸.已知拋物線y2＝2px（p＞0）

的焦點為F，從點F發(fā)出的光線經(jīng)拋物線上第一象限內(nèi)的一點P反射后的光線所

在的直線方程為y＝2，若入射光線FP與x軸垂直，則拋物線的標準方程為

?

?.

y2

＝4x

15.

已知拋物線y2＝－12x上的點M到拋物線焦點的距離等于5，求點M的坐標.解：設點M的坐標為（a，b），∵點M到拋物線y2＝－12x的焦點的距離等于5，∴該拋物線的準線為x＝3，且點M到準線的距離等于5，于是｜a｜＋3＝5.又∵a＜0，∴a＝－2.則b2＝（－12）×（－2）＝24，

17.

已知焦點在y軸上的拋物線經(jīng)過點A（4，m），B（2，m－1），求該拋物

線的標準方程.

18.

已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，