廣東省高州市中考數學真題分類（勾股定理）匯編同步訓練考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，△ABC中，，以其三邊分別向外側作正方形，然后將整個圖形放置于如圖所示的長方形中，若要求圖中兩個陰影部分面積之和，則只需知道（

）A．以BC為邊的正方形面積 B．以AC為邊的正方形面積C．以AB為邊的正方形面積 D．△ABC的面積2、如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在外面的長為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤123、小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當它把繩子的下端拉開4m后，發(fā)現下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．9m4、如圖，△OAB的頂點O(0，0)，頂點A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB=6，OA=OB=5，則點A的坐標是（

）A． B． C． D．5、下列各組數：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股數的有(

)A．4組 B．3組 C．2組 D．1組6、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．67、如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為（

）.A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、《九章算術》中記載著這樣一個問題：已知甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時，甲、乙各走了多遠？解：如圖，設甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據勾股定理可列得方程為______．2、如圖，某農舍的大門是一個木制的長方形柵欄，它的高為2m，寬為1.5m，現需要在相對的頂點間用一塊木板加固，則木板的長為________．3、勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A，B，C三地的坐標，數據如圖（單位：km）．筆直鐵路經過A，B兩地．（1）A，B間的距離為______km；（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A，C的距離相等，則C，D間的距離為______km．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，則AC=_________米．5、如圖，學校有一塊長方形草坪，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路（假設步為米），卻踩傷了花草．6、如圖，臺風過后，某希望小學的旗桿在離地某處斷裂，且旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，已知旗桿原長16m，你能求出旗桿在離底部________m位置斷裂．7、把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點，且另外三個銳角頂點在同一直線上．若，則____．8、我國古代的數學名著《九章算術》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡問繩索長是多少？”示意圖如下圖所示，設繩索的長為尺，根據題意，可列方程為__________．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖是一個長方形的大門，小強拿著一根竹竿要通過大門．他把竹竿豎放，發(fā)現竹竿比大門高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大門的對角線的長．已知大門寬4尺，請求出竹竿的長．2、在邊長為8的等邊ABC中，點D是邊AB上的一動點，點E在邊AC上，且CE=2AD，射線DE繞點D順時針旋轉60°交BC邊于F．（1）如圖1，求證：∠AED=∠BDF；（2）如圖2，在射線DF上取DP=DE，連接BP，①求∠DBP的度數；②取邊BC的中點M，當PM取最小值時，求AD的長.3、如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DCE；（2）連結AE，當BC＝5，AC＝12時，求AE的長．4、如圖所示，△ABC的兩條高AD，BE相交于點F，AC=BC．(1)求證：△ADC≌△BEC．(2)若CD=1，BE=2，求線段AC的長.5、設直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h，求證：．6、如圖，點是內一點，把繞點順時針旋轉得到，且，，.（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數.7、（1）圖1是由有20個邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個大正方形（內部的粗實線表示分割線），請你在圖2的網格中畫出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a，b斜邊為c．請你利用圖2中拼成的大正方形證明勾股定理．（3）應用：測量旗桿的高度：校園內有一旗桿，小希想知道旗桿的高度，經觀察發(fā)現從頂端垂下一根拉繩，于是他測出了下列數據：①測得拉繩垂到地面后，多出的長度為0.5米；②他在距離旗桿4米的地方拉直繩子，拉繩的下端恰好距離地面0.5米．請你根據所測得的數據設計可行性方案，解決這一問題．（畫出示意圖并計算出這根旗桿的高度）．-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】如圖所示，過點C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，證明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，則，即可推出由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面積的面積即可求出陰影部分的面積，故選D【考點】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線，構造全等三角形．2、B【解析】【分析】根據題意畫出圖形，先找出h的值為最大和最小時筷子的位置，再根據勾股定理解答即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，如圖所示：此時，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：B．【考點】本題考查了勾股定理的實際應用問題，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形找出何時h有最大及最小值，同時注意勾股定理的靈活運用，有一定難度．3、B【解析】【分析】根據題意，畫出圖形，設旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，根據勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【詳解】如圖所示：設旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5．故選B．【考點】本題考查了勾股定理的應用，解決本題的基本思路是是畫出示意圖，利用勾股定理列方程求解．4、D【解析】【分析】利用HL證明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【詳解】解：∵AB⊥x軸，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=AB=3，∵OA=5，∴OC=4，∴點A的坐標是（4，3），故選：D．【考點】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．5、C【解析】【詳解】解：∵32+42=52，①符合勾股數的定義；∵42+52≠62，②不符合勾股數的定義；∵2.5和6.5不是正整數，③不符合勾股數的定義；∵82+152=172，④符合勾股數的定義，是勾股數的有：①④，共2組，故選：C．6、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．7、D【解析】【分析】先根據矩形的判定得出AEPF是矩形，再根據矩形的性質得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根據垂線段最短的性質就可以得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，根據面積關系建立等式求出其解即可．【詳解】解：如圖，連接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交點就是M點．∵當AP的值最小時，AM的值就最小，∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最?。逜P?BC=AB?AC，∴AP?BC=AB?AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=，∴AM=．故選：D．【考點】本題考查了矩形的性質的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質的運用，解題的關鍵是求出AP的最小值．二、填空題1、【解析】【分析】設甲、乙二人出發(fā)后相遇的時間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設經x秒二人在C處相遇，這時乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形．2、2.5m【解析】【詳解】設木棒的長為xm，根據勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的長為2.5m．故答案為2.5m．3、

20

13【解析】【分析】（1）由垂線段最短以及根據兩點的縱坐標相同即可求出AB的長度；（2）根據A、B、C三點的坐標可求出CE與AE的長度，設CD=x，根據勾股定理即可求出x的值．【詳解】（1）由A、B兩點的縱坐標相同可知：AB∥x軸，∴AB=12﹣（﹣8）=20；（2）過點C作l⊥AB于點E，連接AC，作AC的垂直平分線交直線l于點D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，AE=12，設CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．故答案為（1）20；（2）13．【考點】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是根據A、B、C三點的坐標求出相關線段的長度，本題屬于中等題型．4、【解析】【分析】首先根據BC，AC的比設出BC，AC，然后利用勾股定理列式計算求得a，即可求解．【詳解】解：∵AC∶BC=1∶7，∴設AC=a，則BC=7a，∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴1002=a2+(7a)2，解得：a=10，∴AC=10米．故答案為：10．【考點】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內容是解題的關鍵．5、【解析】【分析】少走的距離是AC+BC-AB，在直角△ABC中根據勾股定理求得AB的長即可．【詳解】解：如圖，∵在中，，∴米，則少走的距離為：米，∵步為米，∴少走了步．故答案為：．【考點】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息，掌握勾股定理是解題的關鍵．6、6【解析】【分析】設，則,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．【詳解】解：如圖，由題意知，，，設，則,在中，，即，解得，因此旗桿在離底部6m位置斷裂．故答案為：6．【考點】本題考查勾股定理的實際應用，讀懂題意，根據勾股定理列出方程是解題的關鍵．7、．【解析】【分析】如圖，先利用等腰直角三角形的性質求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出結論．【詳解】如圖，過點作于，在中，，，，兩個同樣大小的含角的三角尺，，在中，根據勾股定理得，，，故答案為．【考點】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵．8、x2?（x?3）2＝82【解析】【分析】設繩索長為x尺，根據勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：設繩索長為x尺，根據題意得：x2?（x?3）2＝82，故答案為：x2?（x?3）2＝82．【考點】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關系，正確列出相應方程是解題的關鍵．三、解答題1、尺【解析】【分析】根據題中所給的條件可知，竹竿斜放恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高，進而解答即可．【詳解】解：設門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據勾股定理可得：x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝7.5，∴門高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）．故答案為尺．【考點】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數學思想運用到實際問題中是解題關鍵．2、（1）見解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質求解即可；（2）①方法一：連接EP，過點P作GQ∥BC分別交AB，AC于點G，Q，易知△AGQ和△DEP均為等邊三角形，得到△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），即可得解；方法二：在DB上取DG=AE，證明△ADE≌△GPD（SAS），即可得解；②在DB上取DG=AE，當時，PM取得最小值，得到PM=2，PB=2，過點G作GH⊥BP于點H，利用直角三角形的性質求解即可；【詳解】解：（1）在等邊△ABC中，∵AB=AC，∠A=∠ABC=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDF=∠ADE+∠AED=120°，∴∠AED=∠BDF；（2）①方法一：如答題圖1，連接EP，過點P作GQ∥BC分別交AB，AC于點G，Q，易知△AGQ和△DEP均為等邊三角形，∴BG=CQ，∠AGQ＝60°，∴∠ADE+∠BDF＝∠ADE+∠AED＝120°，∴∠AED=∠BDF，同理∠BDF＝∠EPQ，∴可證：△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），∴AD=GP=QE，∵CE=2AD=CQ+EQ=AD+BG，∴PG=BG，∴∠DBP＝∠BPG＝30°；方法二：如答題圖2，在DB上取DG=AE，∵∠AED=∠BDF又∵DP=DE，∴△ADE≌△GPD（SAS），∴PG=AD，∠PGD＝60°，∵CE=AC-AE=AB-DG=AD+BG=2AD，∴BG=AD=PG，∴∠DBP＝∠BPG＝30°；②如答圖3，在DB上取DG=AE，由①可知∠MBP＝30°，AD=BG=PG；當時，PM取得最小值；在Rt△BMP中，∠MBP＝30°，BM=4，∴PM=2，PB=2；過點G作GH⊥BP于點H，∵BG=PG，∴BH=；在Rt△BGH中，∠GBP＝30°，BH=∴BG=2，∴AD=BG=2.【考點】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的綜合應用，準確計算是解題的關鍵．3、（1）見解析；（2）13【解析】【分析】根據題意可知，本題考查平行的性質，全等三角形的判定和勾股定理，根據判定定理，運用兩直線平行內錯角相等再通過AAS以及勾股定理進行求解．【詳解】解：（1）∵∴在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中【考點】本題考查平行的性質，全等三角形的判定和勾股定理，熟練掌握判定定理運用以及平行的性質是解決此類問題的關鍵．4、(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）由AD⊥BC，BE⊥AC得∠BEC=∠ADC=90°，可證∠DAC=∠CBE，根據AAS可證△ADC≌△BEC；（2）由△ADC≌△BEC，得CD=CE=1，根據勾股定理可求．(1)證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°=∠C+∠CBE，∴∠DAC=∠CBE在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)；(2)解：∵△ADC≌△BEC，∴CD=CE=1，∴BC===，∴AC=BC=【考點】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．5、見解析【解析】【分析】設斜邊為c，根據勾股定理即可得出c＝，再由三角形的面積公式即可得出結論．【詳解】證明：設斜邊為c，根據勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝，即．【考點】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之