2025-2026學(xué)年重慶第二外國語學(xué)校高高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線經(jīng)過點，焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．2．設(shè)，則，則（）A． B． C． D．3．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．4．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件6．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．7．等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項和中最小的是（）A．或 B． C． D．8．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．9．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．10．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．202012．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，a＝3，，B＝2A，則cosA＝_____．14．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．15．若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_________.16．過動點作圓：的切線，其中為切點，若（為坐標(biāo)原點），則的最小值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，設(shè)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)方程（其中為常數(shù)）的兩根分別為，，證明：．（注：是的導(dǎo)函數(shù)）18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.19．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù)，且．（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時，證明：對任意恒成立.21．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱與所成的角的大??；（2）在棱上確定一點，使二面角的平面角的余弦值為.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）設(shè)射線與曲線交于不同于極點的點，與曲線交于不同于極點的點，求線段的長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

先求出，再求焦點坐標(biāo)，最后求的斜率【詳解】解：拋物線經(jīng)過點，，，，故選：A考查拋物線的基礎(chǔ)知識及斜率的運算公式，基礎(chǔ)題.2．A【解析】

根據(jù)換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.本題考查換底公式和對數(shù)的運算，屬于中檔題.3．B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.4．B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當(dāng)，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．A【解析】

先利用向量坐標(biāo)運算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.7．C【解析】

設(shè)公差為，則由題意可得，解得，可得.令

，可得

當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設(shè)公差為，

則，解得

，.

令

，可得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，

故數(shù)列前項和中最小的是.故選：C.本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于中檔題.8．C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.9．B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.10．B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐，且長方體的長、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．（1）解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用．（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．11．C【解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可．【詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．12．B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當(dāng)時取等號，所以本題答案為B.本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解．【詳解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案為．本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識?數(shù)學(xué)式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).15．【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，，不滿足.故答案為：本題主要考查了分段函數(shù)的計算，考查了分類討論的思想.16．【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b?7=0.∴a，b滿足的關(guān)系為：4a+4b?7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直線4a+4b?7=0上取一點到原點距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b?7=0，由點到直線的距離公式得：MN的最小值為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）求出含有參數(shù)的，再求出，由的兩根是，得，計算，代入后可得結(jié)論．【詳解】解：，函數(shù)的定義域為，．（1）當(dāng)時，，由得，由得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由條件可得，，，方程的兩根分別為，，，且，可得．．本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的運算、方程根的知識．在可導(dǎo)函數(shù)中一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．18．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構(gòu)造成新函數(shù)，分析與最值之間的關(guān)系；（2）通過對的導(dǎo)函數(shù)分析，確定有唯一零點，則就是的極大值點也是最大值點，計算的值并利用進(jìn)行化簡，從而確定.【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）當(dāng)時，.則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.由于，，所以存在滿足，即.當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因為，所以，所以，所以.（1）求函數(shù)中字母的范圍時，常用的方法有兩種：參變分離法、分類討論法；（2）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點時，需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨分析，以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點所在區(qū)間，再分析整個函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出函數(shù)的最值.19．（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，沒有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域為；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的值域為；當(dāng)時，易得時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當(dāng)時，，最小值；當(dāng)，，最小值；綜上，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)的值域，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)的值域為.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學(xué)生的運算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.20．（1）（2）見解析【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）要證對任意恒成立，即證對任意恒成立.設(shè)，，當(dāng)時，，即可求得答案.【詳解】（1），，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設(shè)，，當(dāng)時，，，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，，當(dāng)時，對任意恒成立，即當(dāng)時，對任意恒成立.本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握由導(dǎo)數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.21．（1）（2）【解析】試題分析：（1）因為AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A為坐標(biāo)原點，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸，以過A，且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標(biāo)，求出棱AA1與BC上的兩個向量，由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大小；

（2）設(shè)棱B1C1上的一點P，由向量共線得到P點的坐標(biāo)，然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為，轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點的坐標(biāo)．試題解析：解（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，.，故與棱所成的角是