平面解析幾何專題二橢圓7.6橢圓的幾何性質(zhì)知識點

橢圓的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍｜x｜≤a，｜y｜≤b｜x｜≤b，｜y｜≤a焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上頂點坐標(biāo)A1（－a，0），A2（a，

0）B1（0，－b），B2（0，

b）A1（0，－a），A2（0，a）B1（－b，0），B2（b，0）軸長長軸長｜A1A2｜＝2a，短軸長｜B1B2｜＝2b焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上焦點坐標(biāo)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c）焦距｜F1F2｜＝2c對稱性對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：（0，0）離心率a，b，c之間

的關(guān)系a2＝b2＋c2

例1

若橢圓的長軸長為16，短軸長為10，其焦點在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（）.【考查目標(biāo)】本題考查橢圓的軸長及標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】

B【解題技巧】在橢圓中，長軸長的一半是a，短軸長的一半是b.變式訓(xùn)練1（1）若橢圓mx2＋y2＝2的長軸長是短軸長的兩倍，則實數(shù)m＝（C）.D.

無法確定C

A

【考查目標(biāo)】本題考查橢圓的離心率.

【答案】

A

C

（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）｜MF1｜·｜MF2｜的值；【解析】

（2）由橢圓定義可知，｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝10，｜F1F2｜＝

2c＝8，由余弦定理得｜F1F2｜2＝｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜·｜MF2｜·cos

60°，即64＝｜MF1｜2＋｜MF2｜2－｜MF1｜·｜MF2｜，變形得64＝（｜MF1｜

＋｜MF2｜）2－3｜MF1｜·｜MF2｜，則｜MF1｜·｜MF2｜＝12.（3）△F1MF2的面積.

【考查目標(biāo)】本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).【解題技巧】解題的關(guān)鍵是先利用橢圓的焦點坐標(biāo)以及離心率，求出a，c的

值，然后求解b，即可得到橢圓方程.其次利用余弦定理，結(jié)合橢圓的定義，求

出｜MF1｜·｜MF2｜的值，然后再求三角形的面積.

B

A.16B.10C.8D.4【解析】由題意，可知m＋16＝20，即m＝4，則該橢圓的焦點在y軸上，所以

該橢圓的長軸長為4×2＝8.C

A.10或1B.9或2C.8或2D.7或1CC

D

A.3B.6C.4D.8

B

B二、填空題

169.

橢圓4x2＋y2＝1的頂點坐標(biāo)為

?.

（4，10）∪

（10，16）12.

設(shè)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過焦點F2的一條直線

與該橢圓交于A，B兩點，得邊長為8的等邊三角形ABF1，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為

?.

16

三、解答題16.

求有兩個頂點在直線3x－y＋6＝0上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

17.

根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點在x軸上，焦距為8，短軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

解：設(shè)所求直線與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），

解：由題意可知，當(dāng)點P在短軸端點時，∠F1PF2是鈍角即可滿足題意.

由橢圓的定義可知，m＋n＝2a＝4

①，在△PF1F2