PAGE1試卷第=page4242頁，共=sectionpages4343頁第十章概率（9題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點1：有限樣本空間1.1．隨機試驗(1)定義：把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗．(2)特點：①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．1.2．樣本點和樣本空間(1)定義：我們把隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點．如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．知識點2：事件的關(guān)系2.1包含關(guān)系一般地，若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，稱事件包含事件(或事件包含于事件)，記作：(或)圖示2.2相等關(guān)系如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，則稱事件與事件相等，記作：；圖示知識點3：事件的運算3.1并事件(或和事件)一般地，事件與事件至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中，或者在事件中，我們稱這個事件為事件與事件的并事件(或和事件)，記作：(或).圖示：3.2交事件(或積事件)一般地，事件與事件同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件中，也在事件中，我們稱這樣的一個事件為事件與事件的交事件(或積事件)，記作：(或).圖示：知識點4：互斥事件與對立事件4.1互斥事件一般地，如果事件與事件不能同時發(fā)生，也就是說是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥(或互不相容)，符號表示：.圖示：4.2對立事件一般地，如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立，事件的對立事件記為，符號表示：，且.圖示：知識點5：古典概型的概率計算公式5.1古典概型的概率計算公式一般地，設(shè)試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù)．知識點6：概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）性質(zhì)1：對任意的事件，都有；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么，；性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對于任意事件，因為，所以.性質(zhì)6：設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，有0303題型歸納題型一判斷隨機事件、必然事件、不可能事件例題1：（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“點數(shù)不大于2”，事件“點數(shù)大于1”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．M是不可能事件 B．N是必然事件C．是不可能事件 D．是必然事件【答案】D【知識點】判斷事件是否是隨機事件【分析】根據(jù)事件的定義判斷．【詳解】事件是點數(shù)為1或2，事件是點數(shù)是2，3，4，5或6，它們都是隨機事件，是點為2，是隨機事件，是可能發(fā)生的，是點數(shù)為1，2，3，4，5或6，一定會發(fā)生，是必然事件，故選：D．例題2：（24-25高二上·安徽·階段練習）下列各項中，屬于隨機事件的是（

）A．若正方形邊長為，則正方形的面積為B．在沒有任何輔助情況下，人在真空中也可以生存C．在一個標準大氣壓下，溫度達到時水會沸騰D．拋擲一枚硬幣，反面向上【答案】D【知識點】判斷事件是否是隨機事件【分析】根據(jù)必然事件、隨機事件和不可能事件的定義即可一一判斷.【詳解】對于A，若正方形邊長為，由面積公式可知其面積為，這是必然事件，故A不合題意；對于B，真空中沒有空氣，在沒有任何輔助情況下，人不能在真空中生存，這是不可能事件，故B不合題意；對于C，在一個標準大氣壓下，只有溫度達到，水才會沸騰，當溫度是時，水不會沸騰，這是不可能事件，故C不合題意；對于D，扡擲一枚硬幣時，結(jié)果可能是正面向上，也可能反面向上，這是隨機事件,故D符合題意.故選：D.例題3：（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）從5個男生、2個女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是（

）A．3個都是男生 B．至少有1個男生 C．3個都是女生 D．至少有1個女生【答案】B【知識點】確定性事件與隨機事件的概率【分析】根據(jù)題意及必然事件的概念即可得解．【詳解】從5個男生、2個女生中任選派3人，由于女生只有2名，故至少有1個男生是必然事件，故選：B．鞏固訓練1．（24-25高二上·上海靜安·期中）下列現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象的是（

）A．買一張福利彩票，中獎 B．在標準大氣壓下水加熱到，沸騰C．異性電荷，相互排斥 D．實心鐵塊丟入純凈水中，鐵塊浮起【答案】A【知識點】判斷事件是否是隨機事件、隨機現(xiàn)象【分析】利用隨機現(xiàn)象、必然事件、不可能事件的意義逐項判斷即得.【詳解】對于A，買一張福利彩票，中獎是隨機的，A是；對于B，在標準大氣壓下水加熱到，沸騰是必然事件，B不是；對于C，異性電荷，相互吸引，因此“異性電荷，相互排斥”是不可能事件，C不是；對于D，實心鐵塊丟入純凈水中，鐵塊下沉，因此“實心鐵塊丟入純凈水中，鐵塊浮起”是不可能事件，D不是.故選：A2．（24-25高二上·吉林·階段練習）若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（

）A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件【答案】D【知識點】判斷事件是否是隨機事件【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的概念判斷即可.【詳解】隨機試驗的樣本空間為，則事件是隨機事件，故A正確；事件是必然事件，故B正確；事件是不可能事件，故C正確；事件是不可能事件，故D錯誤.故選：D3．（23-24高二下·河北石家莊·期末）下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（

）A．某路口每星期發(fā)生交通事故1次B．冰水混合物的溫度是C．三角形的內(nèi)角和為D．一個射擊運動員每次射擊都命中7環(huán)【答案】C【知識點】隨機現(xiàn)象【分析】根據(jù)現(xiàn)象的分類逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：某路口每星期發(fā)生交通事故1次，這個事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機現(xiàn)象，故A錯誤；對于選項B：理想狀態(tài)下冰水混合物的溫度應(yīng)是，這個事件為不可能現(xiàn)象，故B錯誤；對于選項C：三角形的內(nèi)角和為，這個事件為必然現(xiàn)象，故C正確；對于選項D：一個射擊運動員每次射擊都命中7環(huán)，這個事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機現(xiàn)象，故D錯誤；故選：C.題型二事件的包含關(guān)系例題1：（23-24高一下·天津和平·階段練習）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】確定所給事件的包含關(guān)系、事件的運算及其含義、寫出基本事件【分析】合理設(shè)出事件，從而得到事件A，B，C三者的關(guān)系.【詳解】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，顯然，，，C不含于A.故選：D例題2：（多選）（23-24高一下·山西大同）從分別寫有、、、、以及、、、的張紙條中任意抽取兩張，有如下隨機事件：“恰有一張寫有數(shù)字”，“恰有一張寫有字母”，“至少有一張寫有數(shù)字”，“兩張都寫有數(shù)字”，“至多有一張寫有字母”.下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【知識點】事件的運算及其含義、確定所給事件的包含關(guān)系【分析】列舉出每個事件所包含的基本事件類型，結(jié)合事件的關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母、兩張都寫有數(shù)字，事件包含的基本事件類型為：兩張都寫有數(shù)字，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母、兩張都寫有數(shù)字，所以，，，，，故選：ABD.鞏固訓練1．（多選）（23-24高一下·貴州貴陽）拋擲一枚質(zhì)地均勻的股子，定義以下事件：“點數(shù)大于2”，“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于3”，“點數(shù)為4”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知識點】事件的運算及其含義、確定所給事件的包含關(guān)系【分析】由事件的基本關(guān)系及運算依次判斷即可.【詳解】對于A，“點數(shù)大于3”，“點數(shù)大于2”，顯然，A正確；對于B，“點數(shù)為4”，“點數(shù)大于3”，，B正確；對于C，由A選項知，，則，C錯誤；對于D，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)不大于2”，顯然不能同時發(fā)生，則，D正確.故選：ABD.2．（2024高一下·全國·專題練習）連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，得到如下三個事件：為“3次正面向上”，為“只有1次正面向上”，為“至少有1次正面向上”，試判斷事件之間的包含關(guān)系．【答案】，事件與事件之間不存在包含關(guān)系【知識點】確定所給事件的包含關(guān)系【分析】根據(jù)事件之間的關(guān)系即可求解.【詳解】當事件A發(fā)生時，事件一定發(fā)生，當事件發(fā)生時，事件一定發(fā)生，因此有，；當事件發(fā)生時，事件一定不發(fā)生，當事件發(fā)生時，事件一定不發(fā)生，因此事件與事件之間不存在包含關(guān)系．3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球．設(shè)事件A：1個紅球和2個白球，事件B：2個紅球和1個白球，事件C：至少有1個紅球，事件D：既有紅球又有白球，則：(1)事件D與事件A，B是什么關(guān)系？(2)事件C與事件A是什么關(guān)系？【答案】(1)(2)【知識點】事件的運算及其含義、確定所給事件的包含關(guān)系【分析】（1）直接由事件的運算即可判斷；（2）由事件的基本關(guān)系即可判斷.【詳解】（1）對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球和2個白球或2個紅球和1個白球，故．（2）對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球和2個白球，2個紅球和1個白球或3個紅球，故事件C真包含事件A，．題型三互斥事件、對立事件的判斷例題1：（24-25高二上·湖北·階段練習）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加比賽，那么互斥且不對立的兩個事件是（

）A．至少有1名女生與全是女生 B．至少有1名女生與全是男生C．恰有1名女生與恰有2名女生 D．至少有1名女生與至多有1名男生【答案】C【知識點】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、確定所給事件的對立關(guān)系【分析】依題意列舉出所有基本事件，根據(jù)互斥事件與對立事件的定義直接判斷得出結(jié)論.【詳解】“從中任選2名同學參加比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女.至少有1名女生與全是女生可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；至少有1名女生與全是男生是對立事件，故B錯誤；恰有1名女生與恰有2名女生是互斥不對立事件，故C正確；至少有1名女生與至多有1名男生是相同事件，故D錯誤.故選：C.例題2：（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件發(fā)生的概率分別是，則下列說法正確的是（）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件【答案】D【知識點】確定所給事件的對立關(guān)系、互斥事件與對立事件關(guān)系的辨析、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系【分析】根據(jù)互斥事件的定義和對立事件的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】A中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，而，故與不是對立事件，故A錯誤；B中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，而，故與不是對立事件，故B錯誤；C中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，而，故與是對立事件，故C錯誤；D中，因為彼此互斥，故與互斥事件，而，故與是對立事件，故D正確；故選：D.例題3：（多選）（24-25高一上·河南南陽·階段練習）10件同類產(chǎn)品中，有8件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，與事件“1件正品2件次品”互斥而不對立的事件為（

）A．恰有1件次品 B．至多有1件次品C．至少有1件次品 D．都是正品【答案】AD【知識點】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、互斥事件與對立事件關(guān)系的辨析【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念逐項判斷即可.【詳解】10件同類產(chǎn)品中，有8件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，在A中，“恰有1件次品”與事件“1件正品2件次品”互斥而不對立的事件，故A正確；在B中，“至多有1件次品”與事件“1件正品2件次品”是對立事件，故B錯誤；在C中，“至少有1件次品”與事件“1件正品2件次品”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；在D中，“都是正品”與事件“1件正品2件次品”互斥不對立，故D正確.故選：AD鞏固訓練1．（24-25高三上·上海黃浦·期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點數(shù)．設(shè)事件：點數(shù)是奇數(shù)，事件：點數(shù)是偶數(shù)，事件：點數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點數(shù)是4．下列每對事件中，不是互斥事件的為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【知識點】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系【分析】根據(jù)條件，利用互斥事件的定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A，因為事件和事件不能同時發(fā)生，所以與互斥，故選項A錯誤，對于選項B，當朝上面的點數(shù)為時，與同時發(fā)生，即與不是互斥事件，所以選項B正確，對于選項C，因為事件和事件不能同時發(fā)生，所以與互斥，故選項C錯誤，對于選項D，因為事件和事件不能同時發(fā)生，所以與互斥，故選項D錯誤，故選：B.2．（24-25高三上·上?！ら_學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【知識點】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、互斥事件與對立事件關(guān)系的辨析【分析】寫出事件的全部基本事件，再根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷即可.【詳解】解：設(shè)事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.故選：B3．（23-24高一下·天津南開·期末）從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則以下哪個選項中的事件A與事件B互斥卻不互為對立（

）A．事件A：3個球中至少有1個紅球；事件B：3個球中至少有1個白球B．事件A：3個球中恰有1個紅球；事件B：3個球中恰有1個白球C．事件A：3個球中至多有2個紅球：事件B：3個球中至少有2個白球D．事件A：3個球中至多有1個紅球；事件B：3個球中至多有1個白球【答案】B【知識點】互斥事件與對立事件關(guān)系的辨析、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷即可．【詳解】對于A，事件與事件可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件與事件不是互斥事件，故A錯誤；對于B，事件與事件不可能同時發(fā)生，但不是一定有一個發(fā)生，還有可能是3個白球或3個紅球，所以事件與事件互斥卻不互為對立，故B正確；對于C，事件與事件可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件與事件不是互斥事件，故C錯誤；對于D，事件與事件不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，所以事件與事件是互斥事件也是對立事件，故D錯誤．故選：B．題型四古典概型例題1：（24-25高三上·安徽·階段練習）已知樣本空間中有4個等可能的樣本點，且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識點】事件的運算及其含義、計算古典概型問題的概率【分析】由樣本空間和事件包含的樣本點個數(shù)，利用古典概型概率公式計算可得.【詳解】因為樣本空間，又，則，所以，樣本空間中包含4個等可能的樣本點，事件包含1個樣本點，由古典概型概率公式，．故選：D例題2：（24-25高二上·四川成都·期末）不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個球，則抽出的2個球均為白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率.【詳解】記4個白球為，2個紅球為，從4個白球，2個紅球中不放回抽取2個球有:，共種不同的取法，其中抽出2球均為白球有共種不同的取法，所以抽出的2個球均為白球的概率.故選：C.例題3：（24-25高一上·四川自貢·開學考試）某校為了落實“五育并舉”，提升學生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設(shè)了四個興趣小組：A．插花組：B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中信息解答下列問題：(1)本次共調(diào)查了_______名學生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)話劇組所對應(yīng)扇形的圓心角為_______度；(3)書法組成績最好的4名學生由3名男生和1名女生構(gòu)成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的對法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．【答案】(1)40；作圖見解析(2)72(3)【知識點】計算古典概型問題的概率、根據(jù)條形統(tǒng)計圖解決實際問題、根據(jù)扇形統(tǒng)計圖解決實際問題、統(tǒng)計與概率【分析】（1）結(jié)合條形圖中A組的人數(shù)以及扇形圖中A組所占比可得到總?cè)藬?shù)，即可補全條形圖；（2）根據(jù)C組的人數(shù)可得到所對應(yīng)扇形的圓心角；（3）根據(jù)題意列得表格或樹狀圖，可求得概率.【詳解】（1）由圖可得條形統(tǒng)計圖中A組人數(shù)為4人，扇形圖中A組所占比為，所以總?cè)藬?shù)為（名），則C組人數(shù)為（名），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：故答案為：；（2）由（1）可知C組人數(shù)為8名，所以所占比為，則話劇組所對應(yīng)扇形的圓心角為，（3）先將女生編號為，將三位男生編號為，列表如下：，畫樹狀圖如下：共有12種等可能得結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果有：共6種，所以剛好抽到1名男生與1名女生的概率為.例題4：（24-25高一上·北京·期末）國家環(huán)境標準制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)300以上空氣質(zhì)量等級優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染由全國重點城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示如下：(1)從甲城市的數(shù)據(jù)中任取2個，求其中恰有1個數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為良的概率；(2)從甲城市和乙城市的數(shù)據(jù)中分別取1個，求這2個數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級相同的概率；(3)試根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，判斷甲，乙兩市空氣質(zhì)量指數(shù)的方差的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)(3)甲數(shù)據(jù)方差大于乙數(shù)據(jù)方差.【知識點】觀察莖葉圖比較數(shù)據(jù)的特征、計算古典概型問題的概率、估計總體的方差、標準差【分析】（1）（2）由空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合莖葉圖，古典概型的概率公式可得答案；（3）由方差定義可得答案；【詳解】（1）由題，在甲的5個數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為良的有3個.設(shè)甲的5個數(shù)據(jù)分別為，數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為良的為，則任取兩個數(shù)據(jù)的情況有：，共10種情況，滿足題意的有，共6種情況.則對應(yīng)概率為；（2）設(shè)甲的5個數(shù)據(jù)分別為，數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為優(yōu)的為，數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為良的為，數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為輕度污染的為，設(shè)乙的5個數(shù)據(jù)分別為，其中數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為優(yōu)的為，數(shù)據(jù)對應(yīng)空氣質(zhì)量等級為良的為.則從甲城市和乙城市的數(shù)據(jù)中分別取1個的情況有：共25種情況，滿足題意的有：，共11種情況，則對應(yīng)概率為.（3）由莖葉圖可得乙的數(shù)據(jù)更為集中，則甲數(shù)據(jù)方差大于乙數(shù)據(jù)方差.鞏固訓練1．（24-25高二上·廣東茂名·期中）袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中有放回地依次隨機摸出2個球，那么這2個球同色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】有放回與無放回問題的概率【分析】依題意設(shè)2個紅球為，，3個黃球為，，，考慮有放回地摸球，分別列出試驗的樣本空間和事件“這2個球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式計算即可.【詳解】設(shè)2個紅球為，，3個黃球為，，，從中有放回地依次隨機摸出2個球，樣本空間為：，，則，設(shè)事件為“這2個球同色”，則，則，由古典概率公式，可得.故選：D2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在某市的三次數(shù)學測試中，為了解學生的測試情況，從中隨機抽取100名學生的測試成績，被抽取成績?nèi)拷橛?0分到100分之間（滿分100分），將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成六組：第一組40,50．第二組，……第六組，畫出頻率分布直方圖如圖所示，(1)估計該市學生這次測試成績的第25百分位數(shù)；(2)估計該市學生這次測試成績的平均值（回一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(3)從兩組中按分層抽樣抽取5名學生，再隨機抽取3名同學進行問卷測試，問3名同學中恰好只有1名同學成績在之間的概率．【答案】(1)(2)(3)【知識點】由頻率分布直方圖估計平均數(shù)、計算古典概型問題的概率、抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、總體百分位數(shù)的估計【分析】（1）根據(jù)百分位的定義計算可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算公式計算可得；（3）分別求出、中抽取的人數(shù)，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】（1）因為，，所以第百分位數(shù)為.（2）平均值；（3）因為的頻率為，的頻率為，則中抽取名學生，分別記作、，中抽取名學生，分別記作、、，從這5名學生，隨機抽取3名同學進行問卷測試，則可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共個；其中3名同學中恰好只有1名同學成績在之間有，，共個，所以3名同學中恰好只有1名同學成績在之間的概率；3．（24-25高一上·北京·期末）一高校承辦了某屆世乒賽志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為，第一組和第五組的頻率相同．(1)求的值；(2)（?。┲苯訉懗鲞@100名候選者面試成績的中位數(shù)所在的分組區(qū)間；（ⅱ）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)在第四、第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．【答案】(1)，(2)（?。唬áⅲ?3)【知識點】由頻率分布直方圖估計平均數(shù)、計算古典概型問題的概率、補全頻率分布直方圖【分析】（1）根據(jù)第三、四、五組的頻率之和為列方程可解，再根據(jù)第一、二組的頻率之和為列方程可解；（2）（ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，得位于區(qū)間的頻率和位于區(qū)間的頻率，即可判斷中位數(shù)所在的分組區(qū)間；（ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖得頻率，再利用加權(quán)平均數(shù)公式計算即可；（3）根據(jù)頻率確定比例，可得第四組志愿者人數(shù)為4，第五組志愿者人數(shù)為1，利用古典概型計算概率即可.【詳解】（1）因為第三、四、五組的頻率之和為，所以，解得，又前兩組的頻率之和為，則，解得．（2）（?。┮驗槲挥趨^(qū)間的頻率為，位于區(qū)間的頻率為，所以中位數(shù)所在的分組區(qū)間為；（學生直接寫答案即可）（ⅱ）平均數(shù)為．（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為a，b，c，d，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為e．考慮從這5人中選出2人的試驗，其樣本空間可記為，則，記事件為“選出的兩人來自不同組”，則，從而，因此，．4．（24-25高二上·四川綿陽·階段練習）某中學舉行了一次“數(shù)學文化知識競賽”，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績x作為樣本進行統(tǒng)計．將成績進行整理后，分為五組，，，，，制作如圖所示的頻率分布直方圖，其中第二組的頻數(shù)是第一組的頻數(shù)的2倍．(1)根據(jù)這次成績，學校準備淘汰70%的同學，僅保留30%的同學進入下一輪競賽，請問晉級分數(shù)線劃為多少合理？(四舍五入精確到1分)(2)從樣本數(shù)據(jù)在第四組和第五組這兩個小組內(nèi)的同學中，按比例分配分層隨機抽樣的方法抽取6名同學，再從這6名同學中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率．【答案】(1)76分(2)【知識點】計算古典概型問題的概率、總體百分位數(shù)的估計、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量【分析】（1）先根據(jù)“第二組的頻數(shù)是第一組的頻數(shù)的2倍”，得“第1組的頻率，再由頻率和為1，求出，求該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)即可.（2）根據(jù)古典概型求概率.【詳解】（1）由題意可知：，又，解得，

成績落在內(nèi)的頻率為：，落在內(nèi)的頻率為：，設(shè)第70百分位數(shù)為，則，解得，所以晉級分數(shù)線劃76較為合理．（2）由圖可知，按比例分配分層隨機抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取4人和2人，分別記為和，設(shè)"抽到的兩位同學來自不同小組"，則樣本空間共15個樣本點，則共8個樣本點，所以．題型五互斥事件的概率公式例題1：（2024高二下·黑龍江·學業(yè)考試）已知事件與事件互斥，且，則（

）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【答案】C【知識點】互斥事件的概率加法公式【分析】利用互斥事件概率的加法公式計算可得.【詳解】因為事件與事件互斥，所以.故選：C例題2：（24-25高二上·上?！るA段練習）事件A、B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則．【答案】/0.15【知識點】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用對立事件的概率公式求概率【分析】利用對立事件和互斥事件的概率公式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，事件、互斥，它們都不發(fā)生的概率為，則，即，解可得，即，故答案為：.例題3：（23-24高二下·浙江·期末）設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則．【答案】【知識點】利用互斥事件的概率公式求概率【分析】由題意結(jié)合概率運算性質(zhì)可得答案.【詳解】由概率的性質(zhì)得PA所以，所以．故答案為：.鞏固訓練1．（24-25高二上·廣東·期中）已知與是互斥事件，且，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9【答案】D【知識點】互斥事件的概率加法公式、利用對立事件的概率公式求概率【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件的和事件的概率公式求解.【詳解】由，可得.由于與是互斥事件，故.故選：D2．（24-25高二上·上海浦東新·期末）已知，若A，B互斥，則.【答案】0.9【知識點】互斥事件的概率加法公式【分析】利用互斥事件的概率求解.【詳解】解：因為，且A，B互斥，所以，故答案為：0.9題型六一般概率加法公式例題1：（24-25高二上·安徽蕪湖·階段練習）假設(shè)，且A與B相互獨立，則（

）A．0.38 B．0.7 C．0.3 D．0.58【答案】D【知識點】獨立事件的乘法公式、概率的基本性質(zhì)【分析】由事件的相互獨立知，結(jié)合事件的運算求【詳解】如果A與B相互獨立，則，；故選：D.例題2：（多選）（24-25高二上·湖北·階段練習）隨機事件滿足，，，則有（

）A． B．C．不是互斥事件 D．相互獨立【答案】AC【知識點】概率的基本性質(zhì)、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、獨立事件的判斷【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)即可判斷AB；根據(jù)互斥事件的定義即可判斷C；根據(jù)相互獨立事件的定義即可判斷D.【詳解】因為，，，所以，所以，故A正確，B錯誤；因為，所以不是互斥事件，故C正確；因為，所以不相互獨立，故D錯誤.故選：AC.例題3：（24-25高二上·山東淄博·期中）已知隨機事件中，與相互獨立，與對立，且，，則.【答案】/【知識點】利用對立事件的概率公式求概率、獨立事件的乘法公式、概率的基本性質(zhì)、互斥事件的概率加法公式【分析】由公式可知只需求出即可，結(jié)合對立事件的概率公式以及獨立事件的乘法公式即可求解.【詳解】由與為對立事件，則，又與相互獨立，則，所以.故答案為：.鞏固訓練1．（24-25高二上·四川南充·階段練習）根據(jù)氣象資料統(tǒng)計，明天吹南風的概率為，下雨的概率為，吹南風或下雨的概率為，則既吹南風又下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】概率的基本性質(zhì)【分析】記事件明天吹南風，事件明天下雨，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】記事件明天吹南風，事件明天下雨，由題意，，，，因為，所以，.故選：A.2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，記為事件的對立事件，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】概率的基本性質(zhì)、利用對立事件的概率公式求概率【分析】根據(jù)已知條件求出和，再利用概率的性質(zhì)求出.【詳解】因為，所以.又所以.故.故選：D.3．（24-25高二上·上?！て谀┠硨W生參加兩次英語高考，已知第一次超過130分的概率是0.5，第二次超過130分的概率是0.7，兩次都超過130分的概率是0.3，則兩次考試中至少有一次超過130分的概率為．【答案】0.9/【知識點】概率的基本性質(zhì)【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)計算得答案.【詳解】記兩次考試分別超過130分的事件為，則，因此，所以兩次考試中至少有一次超過130分的概率為0.9.故答案為：0.9鞏固訓練題型七獨立事件的判斷例題1：（2024·江西·模擬預測）有6個質(zhì)地形狀相同的球，分別標有數(shù)字，從中隨機有放回的取兩個球，每次取1個球．事件“第一次取出的球標的數(shù)字為奇數(shù)”，事件“第二次取出的球標的數(shù)字為偶數(shù)”，事件“兩次取出的球標的數(shù)字之和為5”，事件“兩次取出的球標的數(shù)字之和為6”，則（

）A．與互斥 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與互斥【答案】C【知識點】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、計算古典概型問題的概率、獨立事件的判斷【分析】應(yīng)用表格列舉出所有情況，再應(yīng)用古典概率求法、互斥事件定義及獨立事件的判定判斷各項正誤.【詳解】如下表，對應(yīng)為(第一次，第二次)，1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由題設(shè)及上表知，和、和均可以同時發(fā)生，如，故它們均不互斥，故A，D均錯誤；由上表知，，所以，故與相互獨立，與不相互獨立．故選：C例題2：（24-25高一上·遼寧·期末）先后投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“第一次投擲的骰子朝上的數(shù)字為2”，表示事件“第二次投擲的骰子朝上的數(shù)字為6”，表示事件“兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字之差的絕對值小于3”，表示事件“兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字均為偶數(shù)”，則（

）A．與相互獨立B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】A【知識點】計算古典概型問題的概率、獨立事件的判斷【分析】利用列舉法，根據(jù)古典概型概率公式求出各事件的概率，然后根據(jù)相互獨立的概率關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由題可知，，先后投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的所有結(jié)果有：，共36種.兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字之差的絕對值小于3的結(jié)果有：，共24種.兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字均為偶數(shù)的結(jié)果有：，共9種.所以，.事件包含的結(jié)果有：共4種.事件包含的結(jié)果有：，共3種.事件包含的結(jié)果有：，共3種.事件包含的結(jié)果有：，共3種.所以，，，，因為，，，．所以與相互獨立，A正確，BCD錯誤.故選：A．例題3：（24-25高二上·湖北·階段練習）有6個相同的球，分別標有數(shù)字，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之差的絕對值是3”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【知識點】獨立事件的乘法公式、獨立事件的判斷【分析】先求出對應(yīng)事件的概率，再由獨立事件的概率關(guān)系逐項判斷即可；【詳解】設(shè)甲乙丙丁對應(yīng)的的概率分別為，由題意可得，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，情況分為，所以，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之差的絕對值是3”，情況分為，所以，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤；故選：B.例題4：（多選）（24-25高一上·遼寧朝陽·期末）先后兩次擲一個均勻的骰子，記事件：“兩次擲出的點數(shù)之和是11”，記事件：“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，記事件：“兩次擲出的點數(shù)相同”，記事件：“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（

）A．與互斥 B．與對立C．與獨立 D．與對立【答案】AC【知識點】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、互斥事件與對立事件關(guān)系的辨析、獨立事件的判斷【分析】列出事件，利用互斥事件，對立事件和獨立事件的定義判斷.【詳解】解：因為，，，，所以，所以與互斥，故選項A正確；，所以與不互斥，故選項B錯誤；，所以與C不互斥，故選項D錯誤；，所以，所以與獨立，故選項C正確；故選：AC鞏固訓練1．（24-25高二上·四川成都·階段練習）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，則與的關(guān)系為（

）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨立 D．相等【答案】C【知識點】獨立事件的判斷、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、確定所給事件的對立關(guān)系【分析】根據(jù)事件的定義和獨立事件概率乘法公式可判斷出結(jié)果.【詳解】對于AB，，即事件與可以同時發(fā)生，與不是互斥、對立事件，AB錯誤；對于C，，，，，與相互獨立，C正確；對于D，與不是同一事件，與不相等，D錯誤.故選：C.2．（24-25高二上·四川雅安·階段練習）連續(xù)擲兩次骰子，設(shè)先后得到的點數(shù)分別為m，n，A表示事件“”，B表示事件“n為偶數(shù)”，C表示事件“”，D表示事件“”，則不相互獨立的事件是（

）A．A與B B．A與D C．B與C D．B與D【答案】C【知識點】計算古典概型問題的概率、獨立事件的判斷【分析】運用相互獨立事件的概率定義計算判定即可.【詳解】對于A,擲一次骰子，的概率.擲一次骰子，為偶數(shù)的概率.與同時發(fā)生，即且為偶數(shù)，故先后得到的點數(shù)為，故.因為，所以與是獨立事件.

對于B,要使，有這種情況,,與同時發(fā)生即且即，故.而，所以與是獨立事件.

對于C,為偶數(shù)的概率.的情況有：當時，；時，、；時，、、；時，、、、；時，、、、、；時，、、、、、，共21種情況，所以.與同時發(fā)生，即為偶數(shù)且的情況有：當時，；時，；時，、；時，、；時，、、；時，、、，共12種情況，所以.而，所以與不是獨立事件.

對于D,為偶數(shù)的概率..與D同時發(fā)生，即為偶數(shù)且的情況有：當時，；時，；時，，共3種情況，所以.而，所以與D是獨立事件.

故與與與相互獨立，與不相互獨立．故選：C.3．（24-25高二上·四川南充·階段練習）現(xiàn)有兩個相同的箱子，其中均有除了顏色不同外其他均相同的紅白小球各3個，先從兩個箱子中各取出一個小球a、b，再將兩個箱子的球混合后取出一個小球c，事件M：“小球為紅色”，事件N：“小球b為白色”，事件P：“小球c為紅色”，則下列說法正確的是（

）A．M發(fā)生的概率為B．M與N互斥 C．M與N相互獨立 D．P發(fā)生的概率為【答案】C【知識點】計算古典概型問題的概率、獨立事件的判斷、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系【分析】求出古典概率判斷A；利用互斥事件的定義判斷B；利用相互獨立事件的定義判斷C；分兩種情況討論求出概率判斷D.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，事件與可以同時發(fā)生，它們不互斥，B錯誤；對于C，，，與相互獨立，C正確；對于D，若先取出同色小球，都為白球時，混合后有4個白球6個紅球，取出紅球概率；若取出的都為紅球，混合后有4個紅球6個白球，取出紅球概率為，若先取出異色小球，混合后有5個白球5個紅球，取出紅球概率為，D錯誤.故選：C4．（多選）（24-25高二上·黑龍江·期中）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取一個球.事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．與互斥 B．與互斥 C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】ABD【知識點】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、獨立事件的判斷、計算古典概型問題的概率【分析】列舉出基本事件，再根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的定義判斷即可.【詳解】依題意從中有放回地隨機取兩次球，則可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個結(jié)果.事件包含的基本事件有：，，，，，共個；事件包含的基本事件有：，，，，，共個；事件包含的基本事件有：共個；事件包含的基本事件有：，，，，，共個；對于A：顯然事件與事件不可能同時發(fā)生，所以與互斥，故A正確；對于B：事件與事件不可能同時發(fā)生，所以與互斥，故B正確；對于C：因為，，，所以與不獨立，故C錯誤；對于D：因為，，，所以與相互獨立，故D正確.故選：ABD題型八獨立事件的乘法公式例題1：（河南省南陽市六校2024-2025學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題）已知事件相互獨立，與分別為的對立事件，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】獨立事件的乘法公式、概率的基本性質(zhì)、利用對立事件的概率公式求概率【分析】先根據(jù)對立事件概率公式及獨立事件乘法公式求出，然后利用概率性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以，因為事件相互獨立，所以，所以．故選：D例題2：（多選）（24-25高一上·遼寧沈陽·期末）設(shè)，為兩個隨機事件，以下命題正確的是（

）A．若與對立，則B．若與互斥，，，則C．數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)是7.8D．若與相互獨立，，，【答案】BD【知識點】互斥事件的概率加法公式、利用對立事件的概率公式求概率、獨立事件的乘法公式、總體百分位數(shù)的估計【分析】A選項根據(jù)對立事件的概念可得；B選項根據(jù)互斥事件的概念可得；C選項根據(jù)百分位數(shù)的定義可得；D選項根據(jù)事件相互獨立性的概念可得.【詳解】對于A選項，因為與對立，，則，所以A錯誤；對于B選項，，則，因為與互斥，所以，所以B正確；對于C選項，這組數(shù)據(jù)一共有10個數(shù)，所以分位數(shù)為第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均數(shù)，為，所以C錯誤；對于D選項，若與相互獨立，則與也相互獨立，因為，，所以，，所以，所以D正確.故選：BD.例題3：（24-25高三上·上海金山·期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)），設(shè)事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A與事件B是獨立的，則n的值為．【答案】3【知識點】計算古典概型問題的概率、獨立事件的乘法公式、分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】通過古典概率的計算公式計算，，由獨立得，解方程即可.【詳解】由題意可知：，，，因為獨立，所以，即，結(jié)合均隨n的增大而增大，故.故答案為：鞏固訓練1．（24-25高二上·遼寧錦州·期末）已知是相互獨立事件，且，則（

）A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28【答案】C【知識點】獨立事件的乘法公式、利用對立事件的概率公式求概率【分析】根據(jù)對立事件概率可得，再由相互獨立事件乘法公式計算可得.【詳解】由可得，又是相互獨立事件，所以.故選：C2．（多選）（24-25高二上·四川成都·期末）已知事件，事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（

）A．若事件與事件互斥，則B．若事件與事件相互獨立，則C．若事件發(fā)生時事件一定發(fā)生，則D．若，則事件與事件相互獨立【答案】ABD【知識點】獨立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、獨立事件的判斷、確定所給事件的包含關(guān)系【分析】利用互斥事件的概率加法公式，獨立事件的定義，獨立事件的概率乘法公式進行分析判斷即得.【詳解】對于A，事件與事件互斥，，故A正確；對于B，事件與事件相互獨立，，，故B正確；對于C，若事件發(fā)生時事件一定發(fā)生，則，故C錯誤；對于D，因則事件與事件相互獨立，故事件與事件相互獨立，故D正確.故選:ABD.3．（24-25高二上·四川成都·期中）已知隨機事件A，B，C，與相互獨立，與對立，且，，則.【答案】/【知識點】利用對立事件的概率公式求概率、獨立事件的乘法公式【分析】首先求出，再根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式計算可得.【詳解】因為與對立且，所以，又與相互獨立且，所以.故答案為：題型九隨機模擬例題1：（24-25高二上·湖北武漢·期中）已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2．用計算器進行模擬實驗產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修