第頁專題9橢圓離心率題型歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】離心率基礎(chǔ) 2【題型二】利用橢圓第一定義求離心率 3【題型三】焦點(diǎn)三角形與余弦定理 5【題型四】頂角直角三角形型 7【題型五】焦半徑與第二定義 10【題型六】第三定義與中點(diǎn)弦 11【題型七】焦點(diǎn)三角形：雙底角型 14【題型八】焦點(diǎn)三角形：雙余弦定理型 16【題型九】焦點(diǎn)弦與定比分點(diǎn) 19【題型十】焦點(diǎn)圓 22【題型十一】橢圓與圓 23培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 26培優(yōu)第二階——能力提升練 30培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 34綜述：1.橢圓離心率求解方法主要有：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．③特殊情況下的不等方程，甚至可以直接設(shè)a=1，分別解出c或b的值，c值就是離心率2.橢圓扁平程度：因為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓【題型一】離心率基礎(chǔ)【典例分析】如果橢圓的離心率為，則（

）A． B．或 C． D．或【提分秘籍】基本規(guī)律橢圓離心率：1.e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)e∈(0,1)2.橢圓扁平程度：因為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓【變式訓(xùn)練】1.已知橢圓的離心率，則m的值為______．2.方程表示的曲線是橢圓，則離心率的取值范圍是____________．3.在平面直角坐標(biāo)系中，若橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為正方形的四個頂點(diǎn)，則橢圓的離心率是__________.【題型二】利用橢圓第一定義求離心率【典例分析】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.橢圓第一定義：2.一般情況下，見到與一個焦點(diǎn)有關(guān)的長度，則利用第一定義轉(zhuǎn)化為與另一個焦點(diǎn)的距離?！咀兪接?xùn)練】1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為______．2..已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線AB過與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)為正三角形時，該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知橢圓C：（）的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【題型三】焦點(diǎn)三角形與余弦定理【典例分析】已知是橢圓的一個焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律焦點(diǎn)三角形（1）焦點(diǎn)三角形面積：橢圓：2．頂角橢圓頂角在短軸頂點(diǎn)處最大。3．與正余弦定理結(jié)合設(shè)橢圓（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.【變式訓(xùn)練】1.已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．3.已知橢圓方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上的動點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率為___________.【題型四】頂角直角三角形型【典例分析】已知橢圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律焦點(diǎn)三角形定角為直角：1.點(diǎn)P是橢圓上一動點(diǎn).B是短軸端點(diǎn)，則有：動點(diǎn)角范圍：0≤∠F1PF2≤∠F1BF2；2.利用橢圓的定義和勾股定理【變式訓(xùn)練】1.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.設(shè)橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是橢圓上一點(diǎn)，，()，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，．若橢圓C上有一點(diǎn)P滿足，則橢圓C的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【題型五】焦半徑與第二定義【典例分析】已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律點(diǎn)P是橢圓上一動點(diǎn)，則有：1.焦半徑范圍：a－c≤|PF1|≤a＋c(長軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)，即遠(yuǎn)、近地點(diǎn))；|2.PO|范圍：b≤|PO|≤a(長、短軸頂點(diǎn)到原點(diǎn)最遠(yuǎn)、最近；3.橢圓焦半徑：【變式訓(xùn)練】1.設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，若在直線（c為半焦距）上存在點(diǎn)P，使的長度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.設(shè)F1、F2是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【題型六】第三定義與中點(diǎn)弦【典例分析】若橢圓與直線交于，兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的連線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律第三定義，又叫中點(diǎn)弦定理1.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.2.AB是橢圓的關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P橢圓上異于A、B的任一點(diǎn)，若斜率存在，則【變式訓(xùn)練】1..已知橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)為A，B，點(diǎn)M為橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線AM和直線BM的斜率之積為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.若A，B分別是橢圓，短軸上的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AP與BP的斜率之積為，則橢圓的離心率為_________.【題型七】焦點(diǎn)三角形：雙底角型【典例分析】設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且，其中為橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e的值等于（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律設(shè)橢圓（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有【變式訓(xùn)練】1.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，若橢圓上存在點(diǎn)M使得在中，，則該橢圓離心率的取值范圍為______．2.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為__．3.設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為，，如果，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【題型八】焦點(diǎn)三角形：雙余弦定理型【典例分析】已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖：【變式訓(xùn)練】1.已知橢圓的上頂點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，連接，并延長交橢圓于另一點(diǎn)P，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．2.橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知，，分別是橢圓的左焦點(diǎn)?右焦點(diǎn)?上頂點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【題型九】焦點(diǎn)弦與定比分點(diǎn)【典例分析】設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律橢圓焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)，有以下結(jié)論：過圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對稱軸（橢圓是長軸）的夾角為．焦點(diǎn)弦直線斜率若直線斜率為k，【變式訓(xùn)練】1.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與C交于兩點(diǎn).若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A是橢圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓的一個交點(diǎn)為B，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．3.直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率是（

）．A． B．C． D．【題型十】焦點(diǎn)圓【典例分析】已知P為橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使為直角三角形的點(diǎn)P有且只有4個，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律以橢圓兩個焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，簡稱為“焦點(diǎn)圓”：1.如果c<b，則該圓內(nèi)含與橢圓；如果c=b，則該圓“內(nèi)切”橢圓于短軸端點(diǎn)；如果c>b，則該圓與橢圓有、四個交點(diǎn)。2.可以借助焦點(diǎn)三角形（直角）來解決，也可以通過圓的方程與橢圓方程聯(lián)立解交點(diǎn)坐標(biāo)?！咀兪接?xùn)練】1.已知圓與軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，橢圓以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．2.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線與C相交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M，，N，四點(diǎn)共圓，且直線傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型十一】橢圓與圓【典例分析】.已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.已知為橢圓左焦點(diǎn)，直線過橢圓的中心且與橢圓交于，兩點(diǎn)．若以為直徑的圓過，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．2.橢圓的焦點(diǎn)，，長軸長為，在橢圓上存在點(diǎn)，使，對于直線，在圓上始終存在兩點(diǎn)使得直線上有點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，第二象限的點(diǎn)在橢圓上，且，若橢圓的離心率為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.設(shè)和為橢圓的兩個焦點(diǎn)，若，，是等邊三角形的三個頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2.橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2的周長為12，則E的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，，若橢圓上存在一點(diǎn)滿足，則橢圓離心率的最小值為________．4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與相交于兩點(diǎn)（在第一象限）.若四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6.橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)均在上，且關(guān)于原點(diǎn)對稱.若直線的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．7.已知橢圓，是的長軸的兩個端點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，滿足，設(shè)橢圓的離心率為，則______.8.．設(shè),分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率為___________.9.已知，分別為橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)，是以為直徑的圓與該橢圓的一個交點(diǎn)，且，則這個橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)（在x軸上方），連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，且PF1＝3F1Q，若PF2垂直于x軸，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．11.以橢圓的右焦點(diǎn)F為圓心?c為半徑作圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是OF的中點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．培優(yōu)第二階——能力提升練1.已知，為橢圓（）的兩個焦點(diǎn)，過作橢圓的弦AB，若的周長為8，橢圓的離心率，則橢圓的方程是（

）A． B． C． D．2.若是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為_______．3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為______．4..橢圓上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．5.已知，分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).且是頂角為120°的等腰三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6.已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓上，___8.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)9.設(shè)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，為過點(diǎn)，，的圓與橢圓的一個交點(diǎn)，且，則的值為__________.10.已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，直線BF與橢圓C的另一個交點(diǎn)為D，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，以為圓心的圓與直線交于兩點(diǎn)，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.已知?是橢圓的兩焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與