2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計推斷與假設(shè)檢驗應(yīng)用題解析試題集考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在假設(shè)檢驗中，第一類錯誤的概率記作α，第二類錯誤的概率記作β，下列說法正確的是（）。A.α和β是相互獨(dú)立的B.α和β是相互關(guān)聯(lián)的，減小其中一個會增加另一個C.α和β沒有關(guān)系D.α和β都是固定的，不受樣本大小的影響2.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ≠μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗3.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，選擇顯著性水平α=0.05，意味著什么？（）A.有5%的概率拒絕原假設(shè)B.有95%的概率接受原假設(shè)C.原假設(shè)正確的概率為95%D.原假設(shè)錯誤的概率為5%4.設(shè)總體服從二項分布B(n,p)，其中n已知，p未知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本成功次數(shù)為x，要檢驗H?：p=p?，H?：p≠p?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗5.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為真，但檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種情況稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.置信區(qū)間錯誤D.樣本誤差6.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2未知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ≠μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗7.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為假，但檢驗結(jié)果卻接受了原假設(shè)，這種情況稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.置信區(qū)間錯誤D.樣本誤差8.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ≠μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗9.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，選擇顯著性水平α=0.01，意味著什么？（）A.有1%的概率拒絕原假設(shè)B.有99%的概率接受原假設(shè)C.原假設(shè)正確的概率為99%D.原假設(shè)錯誤的概率為1%10.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2未知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ>μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗11.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為真，但檢驗結(jié)果卻接受了原假設(shè)，這種情況稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.置信區(qū)間錯誤D.樣本誤差12.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ>μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗13.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，選擇顯著性水平α=0.10，意味著什么？（）A.有10%的概率拒絕原假設(shè)B.有90%的概率接受原假設(shè)C.原假設(shè)正確的概率為90%D.原假設(shè)錯誤的概率為10%14.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2未知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ<μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗15.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為假，但檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種情況稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.置信區(qū)間錯誤D.樣本誤差16.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ<μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗17.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，選擇顯著性水平α=0.05，意味著什么？（）A.有5%的概率拒絕原假設(shè)B.有95%的概率接受原假設(shè)C.原假設(shè)正確的概率為95%D.原假設(shè)錯誤的概率為5%18.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2未知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ≠μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗19.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為真，但檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種情況稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.置信區(qū)間錯誤D.樣本誤差20.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，現(xiàn)從總體中抽取樣本，樣本均值為x?，要檢驗H?：μ=μ?，H?：μ>μ?，應(yīng)選用哪種檢驗方法？（）A.t檢驗B.Z檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗二、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.請簡述假設(shè)檢驗的基本步驟。2.請簡述第一類錯誤和第二類錯誤的定義及其之間的關(guān)系。3.請簡述p值在假設(shè)檢驗中的作用。4.請簡述t檢驗和Z檢驗的區(qū)別。5.請簡述χ2檢驗在假設(shè)檢驗中的應(yīng)用場景。三、計算題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.某工廠生產(chǎn)一種零件，已知零件長度服從正態(tài)分布N(10,0.052)?，F(xiàn)從中抽取50個零件，測得樣本均值為10.05。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗這批零件的長度是否顯著大于10。2.某醫(yī)生聲稱一種新藥能有效降低血壓。為了驗證這一說法，隨機(jī)抽取50名高血壓患者，服用該藥物一個月后，測得樣本均血壓為130mmHg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為15mmHg。已知正常血壓服從正態(tài)分布N(120,102)。試在顯著性水平α=0.01下，檢驗該藥物是否能有效降低血壓。3.某公司生產(chǎn)的燈泡壽命服從正態(tài)分布N(1000,1002)?，F(xiàn)從中抽取30個燈泡，測得樣本均壽命為980小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為120小時。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗這批燈泡的壽命是否顯著小于1000小時。4.某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，其中60名喜歡數(shù)學(xué)，40名不喜歡數(shù)學(xué)。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗該校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的比例是否顯著高于50%。5.某工廠生產(chǎn)的兩種型號的機(jī)器A和B，其生產(chǎn)效率分別服從正態(tài)分布N(μ?,σ?2)和N(μ?,σ?2)，其中μ?和μ?未知，σ?2和σ?2已知?，F(xiàn)分別從兩種機(jī)器中抽取樣本，機(jī)器A的樣本均效率為80，樣本方差為64，樣本量為25；機(jī)器B的樣本均效率為75，樣本方差為49，樣本量為30。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗兩種機(jī)器的生產(chǎn)效率是否有顯著差異。四、分析題（本大題共4小題，每小題7分，共28分。請將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率已知為95%?，F(xiàn)從中抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有5件不合格。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率是否顯著低于95%。2.某醫(yī)生聲稱一種新療法能有效治療某種疾病。為了驗證這一說法，隨機(jī)抽取50名患者，其中30名接受新療法，20名不接受新療法。治療一個月后，接受新療法的患者中有25名治愈，不接受新療法的患者中有10名治愈。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗該療法是否能有效治療這種疾病。3.某公司生產(chǎn)的兩種型號的電視A和B，其使用壽命分別服從正態(tài)分布N(μ?,σ?2)和N(μ?,σ?2)，其中μ?和μ?未知，σ?2和σ?2已知?，F(xiàn)分別從兩種電視中抽取樣本，電視A的樣本均壽命為8000小時，樣本方差為6002，樣本量為30；電視B的樣本均壽命為8500小時，樣本方差為7002，樣本量為35。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗兩種電視的使用壽命是否有顯著差異。4.某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，其中60名喜歡數(shù)學(xué)，40名不喜歡數(shù)學(xué)。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗該校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的比例是否顯著高于50%。五、綜合題（本大題共3小題，每小題8分，共24分。請將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.某公司生產(chǎn)的兩種型號的機(jī)器A和B，其生產(chǎn)效率分別服從正態(tài)分布N(μ?,σ?2)和N(μ?,σ?2)，其中μ?和μ?未知，σ?2和σ?2已知?，F(xiàn)分別從兩種機(jī)器中抽取樣本，機(jī)器A的樣本均效率為80，樣本方差為64，樣本量為25；機(jī)器B的樣本均效率為75，樣本方差為49，樣本量為30。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗兩種機(jī)器的生產(chǎn)效率是否有顯著差異。2.某醫(yī)生聲稱一種新藥能有效降低血壓。為了驗證這一說法，隨機(jī)抽取50名高血壓患者，服用該藥物一個月后，測得樣本均血壓為130mmHg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為15mmHg。已知正常血壓服從正態(tài)分布N(120,102)。試在顯著性水平α=0.01下，檢驗該藥物是否能有效降低血壓。3.某公司生產(chǎn)的燈泡壽命服從正態(tài)分布N(1000,1002)。現(xiàn)從中抽取30個燈泡，測得樣本均壽命為980小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為120小時。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗這批燈泡的壽命是否顯著小于1000小時。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：α和β是相互關(guān)聯(lián)的，減小其中一個會增加另一個。這是因為α是拒絕原假設(shè)時犯第一類錯誤的概率，β是接受原假設(shè)時犯第二類錯誤的概率，兩者之和并非固定值，而是受到樣本大小和檢驗方法的影響。2.B解析：當(dāng)總體方差已知時，應(yīng)選用Z檢驗。因為Z檢驗的前提是總體方差已知，而t檢驗適用于總體方差未知的情況。3.A解析：選擇顯著性水平α=0.05，意味著有5%的概率拒絕原假設(shè)，即有95%的概率不拒絕原假設(shè)。這是假設(shè)檢驗中常見的風(fēng)險控制標(biāo)準(zhǔn)。4.C解析：當(dāng)總體服從二項分布時，通常使用χ2檢驗來檢驗樣本中成功次數(shù)的分布是否符合預(yù)期。這是因為χ2檢驗適用于分類數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度檢驗。5.A解析：第一類錯誤是指原假設(shè)為真時，卻錯誤地拒絕了原假設(shè)。這是假設(shè)檢驗中常見的錯誤類型之一。6.A解析：當(dāng)總體方差未知時，應(yīng)選用t檢驗。因為t檢驗的前提是總體方差未知，而Z檢驗適用于總體方差已知的情況。7.B解析：第二類錯誤是指原假設(shè)為假時，卻錯誤地接受了原假設(shè)。這也是假設(shè)檢驗中常見的錯誤類型之一。8.B解析：當(dāng)總體方差已知時，應(yīng)選用Z檢驗。因為Z檢驗的前提是總體方差已知，而t檢驗適用于總體方差未知的情況。9.A解析：選擇顯著性水平α=0.01，意味著有1%的概率拒絕原假設(shè)，即有99%的概率不拒絕原假設(shè)。這是更嚴(yán)格的風(fēng)險控制標(biāo)準(zhǔn)。10.A解析：當(dāng)總體方差未知時，應(yīng)選用t檢驗。特別是當(dāng)檢驗的是單側(cè)假設(shè)時，如H?：μ=μ?，H?：μ>μ?，應(yīng)選用t檢驗。11.B解析：第二類錯誤是指原假設(shè)為假時，卻錯誤地接受了原假設(shè)。這也是假設(shè)檢驗中常見的錯誤類型之一。12.B解析：當(dāng)總體方差已知時，應(yīng)選用Z檢驗。因為Z檢驗的前提是總體方差已知，而t檢驗適用于總體方差未知的情況。13.A解析：選擇顯著性水平α=0.10，意味著有10%的概率拒絕原假設(shè)，即有90%的概率不拒絕原假設(shè)。這是相對寬松的風(fēng)險控制標(biāo)準(zhǔn)。14.A解析：當(dāng)總體方差未知時，應(yīng)選用t檢驗。特別是當(dāng)檢驗的是單側(cè)假設(shè)時，如H?：μ=μ?，H?：μ<μ?，應(yīng)選用t檢驗。15.B解析：第二類錯誤是指原假設(shè)為假時，卻錯誤地接受了原假設(shè)。這也是假設(shè)檢驗中常見的錯誤類型之一。16.B解析：當(dāng)總體方差已知時，應(yīng)選用Z檢驗。因為Z檢驗的前提是總體方差已知，而t檢驗適用于總體方差未知的情況。17.A解析：選擇顯著性水平α=0.05，意味著有5%的概率拒絕原假設(shè)，即有95%的概率不拒絕原假設(shè)。這是假設(shè)檢驗中常見的風(fēng)險控制標(biāo)準(zhǔn)。18.A解析：當(dāng)總體方差未知時，應(yīng)選用t檢驗。因為t檢驗適用于總體方差未知的情況，而Z檢驗適用于總體方差已知的情況。19.A解析：第一類錯誤是指原假設(shè)為真時，卻錯誤地拒絕了原假設(shè)。這是假設(shè)檢驗中常見的錯誤類型之一。20.B解析：當(dāng)總體方差已知時，應(yīng)選用Z檢驗。因為Z檢驗的前提是總體方差已知，而t檢驗適用于總體方差未知的情況。二、簡答題答案及解析1.假設(shè)檢驗的基本步驟包括：-提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?。-選擇顯著性水平α。-確定檢驗統(tǒng)計量及其分布。-計算檢驗統(tǒng)計量的觀察值。-根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的分布和顯著性水平，確定拒絕域。-判斷是否拒絕原假設(shè)，并給出結(jié)論。2.第一類錯誤是指原假設(shè)為真時，卻錯誤地拒絕了原假設(shè)。第二類錯誤是指原假設(shè)為假時，卻錯誤地接受了原假設(shè)。兩者之間的關(guān)系是：減小第一類錯誤的概率會增加第二類錯誤的概率，反之亦然。這是因為假設(shè)檢驗中存在一定的風(fēng)險，需要在兩者之間進(jìn)行權(quán)衡。3.p值是指在原假設(shè)為真時，觀察到當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)的概率。p值越小，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強(qiáng)。通常，當(dāng)p值小于顯著性水平α?xí)r，拒絕原假設(shè)；否則，不拒絕原假設(shè)。4.t檢驗和Z檢驗的主要區(qū)別在于：-t檢驗適用于總體方差未知的情況，而Z檢驗適用于總體方差已知的情況。-t檢驗的檢驗統(tǒng)計量服從t分布，而Z檢驗的檢驗統(tǒng)計量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。-t檢驗通常需要更大的樣本量才能獲得可靠的結(jié)果。5.χ2檢驗在假設(shè)檢驗中的應(yīng)用場景包括：-擬合優(yōu)度檢驗：檢驗樣本數(shù)據(jù)是否符合某個理論分布。-獨(dú)立性檢驗：檢驗兩個分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)。-同質(zhì)性檢驗：檢驗多個總體的分布是否相同。三、計算題答案及解析1.檢驗這批零件的長度是否顯著大于10：-提出原假設(shè)H?：μ=10，備擇假設(shè)H?：μ>10。-選擇顯著性水平α=0.05。-計算檢驗統(tǒng)計量Z：Z=(x?-μ?)/(σ/√n)=(10.05-10)/(0.05/√50)=3.536。-拒絕域為Z>1.645（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）。-因為3.536>1.645，所以拒絕原假設(shè)，即這批零件的長度顯著大于10。2.檢驗該藥物是否能有效降低血壓：-提出原假設(shè)H?：μ=120，備擇假設(shè)H?：μ<120。-選擇顯著性水平α=0.01。-計算檢驗統(tǒng)計量t：t=(x?-μ?)/(s/√n)=(130-120)/(15/√50)=2.190。-拒絕域為t<-2.337（查t分布表，自由度為49）。-因為2.190>-2.337，所以不拒絕原假設(shè)，即該藥物不能有效降低血壓。3.檢驗這批燈泡的壽命是否顯著小于1000小時：-提出原假設(shè)H?：μ=1000，備擇假設(shè)H?：μ<1000。-選擇顯著性水平α=0.05。-計算檢驗統(tǒng)計量t：t=(x?-μ?)/(s/√n)=(980-1000)/(120/√30)=-1.443。-拒絕域為t<-1.697（查t分布表，自由度為29）。-因為-1.443>-1.697，所以不拒絕原假設(shè)，即這批燈泡的壽命不顯著小于1000小時。4.檢驗該校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的比例是否顯著高于50%：-提出原假設(shè)H?：p=0.5，備擇假設(shè)H?：p>0.5。-選擇顯著性水平α=0.05。-計算檢驗統(tǒng)計量Z：Z=(p?-p?)/(√(p?(1-p?)/n))=(60/100-0.5)/(√(0.5*0.5/100))=2.000。-拒絕域為Z>1.645（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）。-因為2.000>1.645，所以拒絕原假設(shè)，即該校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的比例顯著高于50%。5.檢驗兩種機(jī)器的生產(chǎn)效率是否有顯著差異：-提出原假設(shè)H?：μ?=μ?，備擇假設(shè)H?：μ?≠μ?。-選擇顯著性水平α=0.05。-計算檢驗統(tǒng)計量Z：Z=(x??-x??)/(√((σ?2/n?)+(σ?2/n?)))=(80-75)/(√((64/25)+(49/30)))=1.414。-拒絕域為Z>1.960或Z<-1.960（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）。-因為1.414<1.960，所以不拒絕原假設(shè)，即兩種機(jī)器的生產(chǎn)效率沒有顯著差異。四、分析題答案及解析1.檢驗該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率是否顯著低于95%：-提出原假設(shè)H?：p=0.95，備擇假設(shè)H?：p<0.95。-選擇顯著性水平α=0.05。-計算檢驗統(tǒng)計量Z：Z=(p?-p?)/(√(p?(1-p?)/n))=(95/100-0.95)/(√(0.95*0.05/100))=-2.000。-拒絕域為Z<-1.645（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）。-因為-2.000<-1.645，所以拒絕原假設(shè)，即該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率顯著低于95%。2.檢驗該療法是否能有效治療這種疾?。?提出原假設(shè)H?：p?=p?，備擇假設(shè)H?：p?<p?。-選擇顯著性水平α=0.05。-計算檢驗統(tǒng)計量Z：Z=(p??-p??)/(√((p?(1-p?)/n?)+(p?(1-p?)/n?)))，其中p?=(30+10)/(50+20)=0.6。-Z=(25/30-10/20)/(√((0.6*0.4/30)+(0.6*0.4/20)))=-1.095。-拒絕域為Z<-1.645（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）。-因為-1.095>-1.645，所以不拒絕原假設(shè)，即該療法不能有效治療這種疾病。3.檢驗兩種電視的使用壽命是否有顯著差異：-提出原假設(shè)H?：μ?=μ?，備擇假設(shè)H?：μ?≠μ?。-選擇顯著性水平α=0.05。-計算檢驗統(tǒng)計量Z：Z=(x??-x??)/(√((σ?2/n?)+(σ?2/n?)))=(8000-8500)/(√((6002/30)+(7002/35)))=-2.828。-拒絕域為Z>1.960或Z<-1.960（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）。-因為-2.828<-1.960，所以拒絕原假設(shè)，即兩種電視的使用壽命有顯著差異。4.檢驗該校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的比例是否顯著高于50%：-提出原假設(shè)H?：p=0.5，備擇假設(shè)H?：p>0.5。-選擇顯著性水平α=0.05