2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（九）（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i2．某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)x（單位：元）與每天的銷(xiāo)售量y（單位：個(gè)）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：x16171819y50344131由上表，可得回歸直線方程中的=﹣4，據(jù)此模型預(yù)計(jì)零售價(jià)定為15元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為（）A．48個(gè) B．49個(gè) C．50個(gè) D．51個(gè)3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，則P（1＜X＜3）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．函數(shù)f（x）=的圖象在點(diǎn)（1，﹣2）處的切線方程為（）A．2x﹣y﹣4=0 B．2x+y=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x+y+1=05．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同}，B={出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)}，則P（B|A）=（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．甲，乙兩人分別獨(dú)立參加某高校自主招生考試，若甲，乙能通過(guò)面試的概率都為，則面試結(jié)束后通過(guò)的人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ是（）A． B． C．1 D．8．如圖是函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，則函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）9．學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有（）A．36種 B．30種 C．24種 D．6種10．已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x2﹣2ax）ex，若f（x）在[﹣1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．0＜a＜ B．＜a＜ C．a(chǎn)≥ D．0＜a＜11．以下四個(gè)命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）①在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模擬的擬合效果越好；②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1；③若數(shù)據(jù)x1，x2，x3…，xn的方差為1，則3x1，3x2，3x3…，3xn的方差為3；④對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量的觀測(cè)值k2來(lái)說(shuō)，k越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大．A．1 B．2 C．3 D．412．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，則不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集為（）A．（2017，+∞） B．（0，2017） C．（﹣∞，﹣2017） D．（﹣2017，0）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．令an為（1+x）n+1的展開(kāi)式中含xn﹣1項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為．14．如圖，在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為．15．從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中任意取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有種取法，這種取法可分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全為白球，共有種取法；另一類是取出的m個(gè)球有m﹣1個(gè)白球，1個(gè)黑球，共有種取法，顯然+=，即有等式：+=，根據(jù)以上思想，類比下列式子：+++…+（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）16．已知函數(shù)f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．三、解答題（共5小題，共70分）17．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若a=6，△ABC的面積為9，求b的長(zhǎng)，并判斷△ABC的形狀．18．（12分）某城市有甲、乙、丙三個(gè)旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，用ξ表示該游客離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．（1）求ξ的分布列及期望；（2）記“f（x）=2ξx+4在[﹣3，﹣1]上存在x，使f（x）=0”為事件A，求事件A的概率．19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn＜﹣4的最小自然數(shù)n．20．（12分）隨著手機(jī)的發(fā)展，“微信”越來(lái)越成為人們交流的一種方式．某機(jī)構(gòu)對(duì)“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“使用微信交流”贊成人數(shù)如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）頻數(shù)510151055贊成人數(shù)31012721（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”．由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)：年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)（Ⅱ）若從年齡在[55，65），[65，75）的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查．記選中的4人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望參考數(shù)據(jù)如下：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．21．（12分）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數(shù)，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，研究f（x）的單調(diào)性與極值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．四、選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），過(guò)點(diǎn)P（﹣2，﹣4）的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M、N兩點(diǎn)．（1）寫(xiě)出曲線C和直線l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．五、選修4-5：不等式選講23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、對(duì)稱性，即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)===2+i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2，1）關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A（﹣2，1），∴A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣2+i．故選：C．2．某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)x（單位：元）與每天的銷(xiāo)售量y（單位：個(gè)）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：x16171819y50344131由上表，可得回歸直線方程中的=﹣4，據(jù)此模型預(yù)計(jì)零售價(jià)定為15元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為（）A．48個(gè) B．49個(gè) C．50個(gè) D．51個(gè)【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【專題】12：應(yīng)用題．【分析】計(jì)算平均數(shù)，利用b=﹣4，可求a的值，即可求得回歸直線方程，從而可預(yù)報(bào)單價(jià)為15元時(shí)的銷(xiāo)量；【解答】解：=17.5，=39∵b=﹣4，=bx+a∴a=39+4×17.5=109∴回歸直線方程為=﹣4x+109∴x=15時(shí)，=﹣4×15+109=49件；故選B．3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，則P（1＜X＜3）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），看出這組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸x=3，根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），∴對(duì)稱軸是x=3．∵P（X＜5）=0.8，∴P（X≥5）=0.2，∴PP（1＜X＜3）=0.5﹣0.2=0.3．故選：C．4．函數(shù)f（x）=的圖象在點(diǎn)（1，﹣2）處的切線方程為（）A．2x﹣y﹣4=0 B．2x+y=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x+y+1=0【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】11：計(jì)算題；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)（1，2）和斜率寫(xiě)出切線的方程即可．【解答】解：由函數(shù)f（x）=知f′（x）=，把x=1代入得到切線的斜率k=1，則切線方程為：y+2=x﹣1，即x﹣y﹣3=0．故選：C．5．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同}，B={出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)}，則P（B|A）=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】CM：條件概率與獨(dú)立事件．【專題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】此是一個(gè)條件概率模型的題，可以求出事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}包含的基本事件數(shù)，與事件B包含的基本事件數(shù)，再用公式求出概率．【解答】解：由題意事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36﹣6=30，事件B：出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)，有10種，∴P（B|A）==，故選：B．6．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考點(diǎn)】65：導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；64：導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則．【專題】11：計(jì)算題．【分析】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），利用求導(dǎo)公式對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故選B；7．甲，乙兩人分別獨(dú)立參加某高校自主招生考試，若甲，乙能通過(guò)面試的概率都為，則面試結(jié)束后通過(guò)的人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ是（）A． B． C．1 D．【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】11：計(jì)算題．【分析】由題設(shè)知，ξ=0，1，2，可以P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出Eξ．【解答】解：由題設(shè)知，ξ=0，1，2，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=（1﹣）+=，P（ξ=2）==．∴Eξ===．故選A．8．如圖是函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，則函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸確定a的范圍，據(jù)g（x）的表達(dá)式計(jì)算g（）和g（1）的值的符號(hào)，從而確定零點(diǎn)所在的區(qū)間．【解答】解：由函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，從而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g（）=ln+1+a＜0，由函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（，1）；故選C．9．學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有（）A．36種 B．30種 C．24種 D．6種【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【專題】5O：排列組合．【分析】間接法：先從4個(gè)中任選2個(gè)看作整體，然后做3個(gè)元素的全排列，從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，可得結(jié)論．【解答】解：由于每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，必有兩科在同一節(jié)，先從4個(gè)中任選2個(gè)看作整體，然后做3個(gè)元素的全排列，共=36種方法，再?gòu)闹信懦龜?shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，共=6種方法，故總的方法種數(shù)為：36﹣6=30故選：B．10．已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x2﹣2ax）ex，若f（x）在[﹣1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．0＜a＜ B．＜a＜ C．a(chǎn)≥ D．0＜a＜【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】首先，求導(dǎo)數(shù)，然后，令導(dǎo)數(shù)為非正數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求解．【解答】解：∵f′（x）=[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]?ex，∵f（x）在[﹣1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，∴f′（x）≤0，x∈[﹣1，1]，∴x2﹣2（a﹣1）x﹣2a≤0，x∈[﹣1，1]，設(shè)g（x）=x2﹣2（a﹣1）x﹣2a，∴，∴，∴，∴，故選：C．11．以下四個(gè)命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）①在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模擬的擬合效果越好；②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1；③若數(shù)據(jù)x1，x2，x3…，xn的方差為1，則3x1，3x2，3x3…，3xn的方差為3；④對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量的觀測(cè)值k2來(lái)說(shuō)，k越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大．A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】BS：相關(guān)系數(shù)．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)相關(guān)指數(shù)R2的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷，（2）根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷，（3）根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷，（4）根據(jù)分類變量x與y的隨機(jī)變量k2的觀察值的關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，故（1）正確；（2）若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故（2）錯(cuò)誤；（3）若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則3x1，3x2，3x3…，3xn的方差為9，故（3）錯(cuò)誤；（4）對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量k2的觀察值k2來(lái)說(shuō)，k越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大．錯(cuò)誤；故選：A．12．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，則不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集為（）A．（2017，+∞） B．（0，2017） C．（﹣∞，﹣2017） D．（﹣2017，0）【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，令g（x）=x2f（x），對(duì)其求導(dǎo)可得g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），結(jié)合題意分析可得函數(shù)f（x）為減函數(shù)，再根據(jù)（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0，可得（x+2015）2f（x+2015）＞（﹣2）2f（﹣2），即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，令g（x）=x2f（x），（x＜0）其導(dǎo)數(shù)g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），又∵函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，2f（x）+xf′（x）＞x2，∴2xf（x）+x2f′（x）＜x3＜0，∴g′（x）=[x2f（x）]′＜0，∴函數(shù)y=x2f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，∵（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0，∴（x+2015）2f（x+2015）＞（﹣2）2f（﹣2），∴x+2015＜﹣2，x＜﹣2017，即不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集為（﹣∞，﹣2017）；故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．令an為（1+x）n+1的展開(kāi)式中含xn﹣1項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為．【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5P：二項(xiàng)式定理．【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)等于n﹣1，求出an；利用裂項(xiàng)求和求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解答】解：∵Tr+1=Cn+1rxr，∴an=Cn+1n﹣1=Cn+12=，==2（﹣），∴=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故答案為：．14．（2014?福建）如圖，在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為．【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【專題】15：綜合題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】利用定積分計(jì)算陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由題意，y=lnx與y=ex關(guān)于y=x對(duì)稱，∴陰影部分的面積為2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形的面積為e2，∴落到陰影部分的概率為．故答案為：．15．（2017春?沈陽(yáng)期末）從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中任意取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有種取法，這種取法可分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全為白球，共有種取法；另一類是取出的m個(gè)球有m﹣1個(gè)白球，1個(gè)黑球，共有種取法，顯然+=，即有等式：+=，根據(jù)以上思想，類比下列式子：+++…+（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）【考點(diǎn)】F3：類比推理．【專題】11：計(jì)算題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)題中分類討論思路，在式子Cnm+Ck1?Cnm﹣1+Ck2?Cnm﹣2+…+Ckk?Cnm﹣k中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，答案應(yīng)為從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)，根據(jù)排列組合公式可得答案．【解答】解：在Cnm+Ck1?Cnm﹣1+Ck2?Cnm﹣2+…+Ckk?Cnm﹣k中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，若取出的m個(gè)球全為白球，取法有Cnm種；若取出的m個(gè)球有m﹣1個(gè)白球和1個(gè)黑球，取法有Ck1?Cnm﹣1種；…若取出的m個(gè)球有m﹣k個(gè)白球和k個(gè)黑球，取法有Ckk?Cnm﹣k種；因此它們的和為從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法種數(shù)，即Cnm+Ck1?Cnm﹣1+Ck2?Cnm﹣2+…+Ckk?Cnm﹣k=Cn+km故答案為：Cn+km16．（2017春?沈陽(yáng)期末）已知函數(shù)f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（﹣∞，﹣）．【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】函數(shù)f（x）=|xex|化成分段函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（﹣∞，﹣1）上為增函數(shù)，在（﹣1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上，當(dāng)x=﹣1時(shí)有一個(gè)最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，f（x）的值一個(gè)要在（0，）內(nèi)，一個(gè)在（，+∞）內(nèi)，然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解t的取值范圍．【解答】解：f（x）=|xex|=，當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一個(gè)最大值為f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應(yīng)有兩個(gè)不等根，且一個(gè)根在（0，）內(nèi)，一個(gè)根在（，+∞）內(nèi)，再令g（m）=m2+tm+1，因?yàn)間（0）=1＞0，則只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜﹣．所以，使得函數(shù)f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根的t的取值范圍是（﹣∞，﹣）．故答案為：（﹣∞，﹣）．三、解答題（共5小題，共70分）17．（12分）（2017春?沈陽(yáng)期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若a=6，△ABC的面積為9，求b的長(zhǎng)，并判斷△ABC的形狀．【考點(diǎn)】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinB=，結(jié)合范圍0＜B＜π，可得B的值．（2）利用三角形面積公式可求c，進(jìn)而利用余弦定理可求b的值，分類討論，即可判定三角形的形狀．【解答】解：（1）由，可得．根據(jù)正弦定理可得：sinB=，由于0＜B＜π，可得：B=或，（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為9=acsinB，a=6，sinB=，所以．解得．由余弦定理可知，由得b2=18或b2=90，所以或．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，△ABC為等腰直角三角形；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，△ABC為鈍角三角形．18．（12分）（2017春?沈陽(yáng)期末）某城市有甲、乙、丙三個(gè)旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，用ξ表示該游客離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．（1）求ξ的分布列及期望；（2）記“f（x）=2ξx+4在[﹣3，﹣1]上存在x，使f（x）=0”為事件A，求事件A的概率．【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A1，A2，A3由已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6，客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，ξ的可能取值為1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（2）由f（x）=2ξx+4=0，得x=﹣=﹣∈[﹣3，﹣1]，由ξ的可能取值為1，3，解得ξ=1，由此能求出事件A的概率P（A）=P（ξ=1）．【解答】解：（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A1，A2，A3由已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3P（ξ=3）=P（A1?A2?A3）+P（）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（）P（）P（）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（ξ=1）=1﹣0.24=0.76所以ξ的分布列為ξ13P0.760.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．（2）記“f（x）=2ξx+4在[﹣3，﹣1]上存在x，使f（x）=0”為事件A，∴f（x）=2ξx+4=0，得x=﹣=﹣∈[﹣3，﹣1]，由ξ的可能取值為1，3，解得ξ=1，∴事件A的概率P（A）=P（ξ=1）=0.76．19．（12分）（2017?樂(lè)山二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn＜﹣4的最小自然數(shù)n．【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【專題】34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，=2+n﹣1=n+1，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知bn=log2=log2=log2（n+1）﹣log2（n+2），求得Sn=b1+b2+…+bn=1﹣log2（n+2），由Sn＜﹣4，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得最小自然數(shù)n的值．【解答】解：（1）由，則數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴=2+n﹣1=n+1，∴an=n2+2n，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+2n；（2）bn=log2=log2=log2=log2（n+1）﹣log2（n+2），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=b1+b2+…+bn=log22﹣log23+log23﹣log24+…+log2（n+1）﹣log2（n+2），=1﹣log2（n+2），由Sn＜﹣4，1﹣log2（n+2）＜﹣4，log2（n+2）＞5=log232，∴n+2＞32，解得：n＞30，滿足Sn＜﹣4的最小自然數(shù)n為31．20．（12分）（2016?晉城二模）隨著手機(jī)的發(fā)展，“微信”越來(lái)越成為人們交流的一種方式．某機(jī)構(gòu)對(duì)“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“使用微信交流”贊成人數(shù)如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）頻數(shù)510151055贊成人數(shù)31012721（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”．由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)：年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)（Ⅱ）若從年齡在[55，65），[65，75）的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查．記選中的4人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望參考數(shù)據(jù)如下：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算K2的值，即可得到結(jié)論；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）2×2列聯(lián)表年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)贊成102535不贊成10515合計(jì)203050K2=≈6.35＜6.635所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是ξ0123P所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=．21．（12分）（2013?甘肅三模）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數(shù)，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，研究f（x）的單調(diào)性與極值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】15：綜合題；16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值為1，令h（x）=g（x））+，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可證得結(jié)論；（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=…（1分）∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增…（3分）∴f（x）的極小值為f（1）=1…（4分）（Ⅱ）證明：∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，∴f（x）＞0，f（x）min=1…令h（x）=g（x））+=+，，…（6分）當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞