編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題06計算能力之有理數(shù)四則混合運(yùn)算難點(diǎn)專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．下列各命題中，①既是分?jǐn)?shù)，也是無理數(shù)；②定理的逆命題也是定理；③有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④若，則n的值為14，真命題的個數(shù)有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)實數(shù)，命題的定義、全等的判定、實數(shù)的計算依次判斷即可．【詳解詳析】解:①是無理數(shù),但不是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，故該命題為假命題；②定理的逆命題不一定也是定理，故該命題為假命題；③有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等，錯誤，（反例，如圖AC=A′C′，BC=B′C′，高AD=高A′D′，兩三角形不全等），故該命題為假命題；④若，則n的值為14，故該命題為真命題；所以真命題為④，則個數(shù)有1個；故選A．【名師指路】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．計算等于（）．A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【詳解詳析】根據(jù)有理數(shù)的乘方可得，然后根據(jù)含乘方的有理數(shù)計算法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：．故選C．【名師指路】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計算法則.3．求1+2+22+23+…+22020的值，可令S＝1+2+22+23+…+22020，則2S＝2+22+23+…+22020+22021，因此2S﹣S＝22021﹣1，S＝22021﹣1．參照以上推理，計算4+42+43+…+42018+42019的值為（）A．42020﹣1 B．42020﹣4 C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)題目信息，設(shè)，表示出，然后相減求出即可．【詳解詳析】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，，所以，故選:【名師指路】本題考查了有理數(shù)的乘方，讀懂題目信息，利用錯位相減法，消掉相關(guān)值，是解題的關(guān)鍵．4．若，，則整式的值為（）A． B． C．9 D．0【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】已知兩等式相減求出c?b的值，進(jìn)而確定出b?c的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【詳解詳析】解：∵a?b＝2，a?c＝，

∴（a?b）?（a?c）＝a?b?a＋c＝?b＋c＝c?b＝2?＝，

∴b?c＝?，

∴原式＝（?）2＋3×（?）＋＝．

故選：D．【名師指路】此題考查了整式的加減?化簡求值，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．按下圖的程序計算，若x為任意整數(shù)，則輸出的所有結(jié)果中，出現(xiàn)次數(shù)最多的結(jié)果是（）A．－5 B．－7 C．－9 D．－13【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】由題意可知，程序算法第一次為：與比較，分情況進(jìn)行討論，當(dāng)時，可判斷循環(huán)永遠(yuǎn)大于0，不存在輸出；當(dāng)時，分別取值可知永遠(yuǎn)小于0且逐漸減??；當(dāng)時，取值分別計算可得結(jié)果．【詳解詳析】解：由題意可知，算法第一次為與比較，當(dāng)時，如，①，②．．．如，①，②．．．可知，當(dāng)時，逐漸增大，永遠(yuǎn)大于，不存在輸出；當(dāng)時，如，①，輸出，如，①，輸出，如，①，輸出，．．．可知，當(dāng)時，永遠(yuǎn)小于且逐漸減??；當(dāng)時，如，①，輸出，如，①，②，輸出，如，①，②，輸出，如，①，②，輸出，如，①，由可知輸出為，當(dāng)，①，由可知輸出為，綜上：輸出的次數(shù)最多，故選：C．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題意，理解題中程序代表的意義是解題的關(guān)鍵．6．計算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的結(jié)果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣22014 D．22015【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】利用乘法分配律的逆運(yùn)算，進(jìn)行簡便運(yùn)算即可．【詳解詳析】解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014故選：C．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行簡便運(yùn)算．7．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】分別計算等式左右兩邊，即可得出正確選項．【詳解詳析】解：A．等式左邊=，等式右邊=，故該選項錯誤；B．等式左邊=，等式右邊=，故該選項錯誤；C．等式左邊=，等式右邊=，故該選項正確；D．等式左邊=，等式右邊=，故該選項錯誤．故選：C．【名師指路】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．為了求的值，可令，則，因此，所以．仿照以上推理計算出的值是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)題目信息，設(shè)，求出，然后相減計算即可得解．【詳解詳析】解：設(shè)，則，∴，則，＝，故選：D．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題目信息，理解求和的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．9．如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入x的值為2，則第2020次輸出的結(jié)果為（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣8 D．﹣2【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)題意把x=2代入運(yùn)算程序中計算，進(jìn)而找出其中的規(guī)律即可得出答案．【詳解詳析】解：把x＝2代入運(yùn)算程序得：×2＝1，把x＝1代入運(yùn)算程序得：1﹣5＝﹣4，把x＝﹣4代入運(yùn)算程序得：﹣4×＝﹣2，把x＝﹣2代入運(yùn)算程序得：﹣2×＝﹣1，把x＝﹣1代入運(yùn)算程序得：﹣1﹣5＝﹣6，把x＝﹣6代入運(yùn)算程序得：﹣6×＝﹣3，把x＝﹣3代入運(yùn)算程序得：﹣3﹣5＝﹣8，把x＝﹣8代入運(yùn)算程序得：﹣8×＝﹣4，依此類推，除去第一項，分別以﹣4，﹣2，﹣1，﹣6，﹣3，﹣8循環(huán)，∵（2020﹣1）÷6＝2019÷6＝336…3，∴第2020次輸出的結(jié)果為﹣1．故選：A．【名師指路】本題考查代數(shù)式求值以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的運(yùn)算程序是解答本題的關(guān)鍵．10．計算的值為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】有理數(shù)的計算有括號先算小括號，再算中括號，再算大括號，沒有括號先乘除再加減．【詳解詳析】解：．故選：【名師指路】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序和計算方法是解本題關(guān)鍵．二、填空題11．已知整數(shù)的絕對值均小于5，且滿足則的值為_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】±4【思路指引】先根據(jù)條件確認(rèn)個位上的1一定為d4產(chǎn)生，得d=±1或±3，①當(dāng)d=±1時，d4=1，②當(dāng)d=±3時，d4=81，分別代入計算可得答案．【詳解詳析】解：∵1000a+100b2+10c3+d4=2021，整數(shù)a，b，c，d的絕對值均小于5，

∴個位上的1一定為d4產(chǎn)生，（±3）4=81，（±1）4=1，

∴d=±1或±3，

①當(dāng)d=±1時，d4=1，

∴1000a+100b2+10c3=2020，

∴100a+10b2+c3=202，

∴個位上的2是由c3產(chǎn)生的，

∴c3=2或8（4～4中沒有立方的個位數(shù)是2的），

∴c3=8，

∴c=2，

∴100a+10b28=202，

100a+10b2=210，

10a+b2=21，

∴個位上的1是由b2產(chǎn)生的，（±1）2=1，

∴當(dāng)b=±1時，10a=20，a=2，

∴abcd=，

∴abcd=±4；

②當(dāng)d=±3時，d4=81，

∴1000a+100b2+10c3=202181=1940，

∴100a+10b2+c3=194，

同理43=64，

∴c=4，

∴100a+10b2+64=194，

100a+10b2=130，

10a+b2=13，

不存在整數(shù)滿足條件，

故d≠±3；

綜上，abcd=±4．

故答案為：±4．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的混合計算和絕對值的意義，根據(jù)有理數(shù)的乘方確定d=±1或±3是本題的關(guān)鍵．12．規(guī)定一種新的運(yùn)算，例如：2*3=5，（－1）*3=－4，（－2）*（－3）=5，3*（－3）=－10，則（－2）*2=______，=_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】－4【思路指引】根據(jù)題意得出a*b=ab1，據(jù)此可以求得所求式子的值．【詳解詳析】解：∵2*3=5，（－1）*3=－4，（－2）*（－3）=5，3*（－3）=－10，∴a*b=ab1，∴（－2）*2=(2)×21=5；=，故答案為：5，．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確新運(yùn)算的計算方法，求出所求式子的值．13．我們規(guī)定一種新運(yùn)算：，例如，則(27)4的值為__________________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)：，求出的值是多少即可．【詳解詳析】解：∵，∴=，故答案為：．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．14．定義一種新運(yùn)算：．如：，則__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】69【思路指引】根據(jù)的含義，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算方法，求出4(7)的值是多少即可．【詳解詳析】解：2×4+4×(7)=8+49+28=69

故答案為：69．【名師指路】本題考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．15．已知：，，且，則的值為______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】16或34【思路指引】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，得，；根據(jù)有理數(shù)大小比較的性質(zhì)，得，；再根據(jù)代數(shù)式及含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解詳析】∵，∴，∵∴，∴或故答案為：16或34．【名師指路】本題考查了絕對值、代數(shù)式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的性質(zhì)，從而完成求解．16．已知有理數(shù)a≠1，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是．如果a1＝﹣2，a2是a1差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，……依次類推，那么a1+a2+a3+…+a100的值是___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出a1，a2，a3．．．，然后得出規(guī)律進(jìn)行計算即可．【詳解詳析】解：根據(jù)題意：a1＝﹣2，，，，．．．，依次類推，三個一循環(huán)，則，∵，∴a1+a2+a3+…+a100＝，故答案為：．【名師指路】本題考查了數(shù)字類－規(guī)律探索，有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意得出a1，a2，a3．．．的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．17．如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，若輸入x的值為﹣2，y的值為﹣3，根據(jù)程序列出算式并求出輸出的結(jié)果為___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】5【思路指引】根據(jù)該程序列代數(shù)式得(6x+y3)，然后把x=2，y=3代入代數(shù)式中計算即可．【詳解詳析】解：根據(jù)題意得(6x+y3)當(dāng)x=2，y=3，×[6×(2)+(3)3]=×[1227]=×（15）=5．故輸出的結(jié)果為5．故答案為5．【名師指路】考查了列代數(shù)式，有理數(shù)混合計算，解題關(guān)鍵是弄清題意，根據(jù)題意把x、y的值代入代數(shù)式的求值．18．若規(guī)定符號“&”的意義是a&b＝ab﹣b2，則3&（﹣1）的值是_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】4【思路指引】根據(jù)定義，等于兩個數(shù)的乘積減去第二個數(shù)的平方．【詳解詳析】解：∵a&b＝ab﹣b2，∴原式＝3×（﹣1）﹣（﹣1）2＝﹣3﹣1＝﹣3+（﹣1）＝﹣4．故答案為：﹣4．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，考核學(xué)生的計算能力，計算減法時，要轉(zhuǎn)化為加法，再計算．19．用“☆”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝，（1）計算：(－6)☆5＝_______．（2）從－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任選兩個有理數(shù)做a，b的值，并計算a☆b，那么所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】59【思路指引】（1）根據(jù)新運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)絕對值在性質(zhì)分a≥b和a＜b解答即可．【詳解詳析】解：（1）(－6)☆5===5，故答案為：5；（2）當(dāng)a≥b時，a☆b＝==a，a最大值為9，當(dāng)a＜b時，a☆b＝==b，b最大值為9，綜上，所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是9，故答案為：9．【名師指路】本題考查有理數(shù)的加減運(yùn)算、絕對值性質(zhì)、合并同類項，理解新運(yùn)算法則，掌握絕對值的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．20．在有理數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義一種新運(yùn)算“★”如下：，例如：，下面給出了關(guān)于這種新運(yùn)算的幾個結(jié)論：①②③若，則④若，則其中正確的結(jié)論有_________．（只填序號）【標(biāo)準(zhǔn)答案】①③④【思路指引】利用題中新定義逐個算式判斷即可．【詳解詳析】解：①根據(jù)題意得：3★(2)=1×5=5；正確；②a★b=(a+b)(ab)，b★a=(b+a)(ba)，∵當(dāng)a≠b時，ab≠ba，∴不一定不相等，錯誤；③若b=0，則a★b=(a+b)(ab)=a2，正確；④若a★b=(a+b)(ab)=0，∴a=b或a=b，∴|a|=|b|，正確，故答案為：①③④【名師指路】此題考查了新定義，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．三、解答題21．計算：（1）（﹣4）×（﹣3）+（﹣6）×（﹣3）+10×（﹣3）；（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）0；（2）﹣57.5【詳解詳析】解：（1）（﹣4）×（﹣3）+（﹣6）×（﹣3）+10×（﹣3）＝（﹣3）×[（﹣4）+（﹣6）+10]＝（﹣3）×0＝0；（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）＝（﹣8）+（﹣3）×（16+2）﹣9÷（﹣2）＝（﹣8）+（﹣3）×18+4.5＝﹣8+（﹣54）+4.5＝﹣57.5．【名師指路】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)的運(yùn)算法則，運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．22．已知、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值是最小的正整數(shù)，求的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】1或5【思路指引】利用相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的意義求出a+b，cd及m的值，代入計算即可求出值．【詳解詳析】解：∵，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)∴，∵的絕對值是最小的正整數(shù)∴,∴①當(dāng)時，②當(dāng)時，答：的值為或5．【名師指路】此題考查了代數(shù)式求值，相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．23．若，先化簡，再求下列多項式的值；【標(biāo)準(zhǔn)答案】，53【思路指引】先根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出a，b的值，然后先去括號，再根據(jù)整式的加減計算法則化簡，最后地址計算即可．【詳解詳析】解：∵，，，∴，∴；，當(dāng)，時，原式．【名師指路】本題主要考查了整式的化簡求值，去括號，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，含乘方的有理數(shù)混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．24．計算：（1）；（2）．（3）化簡：．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）6；（2）0；（3）【思路指引】（1）根據(jù)有理數(shù)乘法的分配律求解即可；（2）先計算乘方，然后根據(jù)有理數(shù)的混合計算法則求解即可；（3）先去括號，然后根據(jù)整式的加減計算法則化簡即可．【詳解詳析】解：（1）；（2）；（3）．【名師指路】本題主要考查了有理數(shù)的乘法分配律，含乘方的有理數(shù)混合計算，整式的加減計算和去括號，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．25．計算：（1）（﹣7）﹣（﹣10）+（﹣8）+（﹣2）；（2）（﹣﹣）×（﹣24）；（3）（﹣2）3+|5﹣8|+24÷（﹣3）；（4）﹣12020×[4﹣（﹣3）2]+3÷（﹣）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）﹣7；（2）﹣2；（3）﹣13；（4）1【詳解詳析】解：（1）原式＝(﹣7)+10+(﹣8)+(﹣2)=782+10＝﹣7；（2）原式＝×(﹣24)﹣×(﹣24)﹣×(﹣24)＝﹣14+8+4＝﹣2；（3）原式＝(﹣8)+3+(﹣8)=18+3＝﹣13；（4）原式＝﹣1×(4﹣9)+3×(﹣)＝﹣1×(﹣5)+(﹣4)＝5+(﹣4)＝1．【名師指路】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，注意乘法分配律的應(yīng)用．26．閱讀材料：對于任何有理數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是，例如：．（1）按照這個規(guī)定，請你計算的值；（2）按照這個規(guī)定，請你計算當(dāng)|x+|+(y﹣2)2＝0時，．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）52；（2）【思路指引】（1）根據(jù)即可得到，由此求解即可；（2）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，再由進(jìn)行求解即可．【詳解詳析】解：（1）∵，∴；（2）∵，，，∴，∴，∴，當(dāng)，時，原式．【名師指路】本題主要考查了有理數(shù)的混合計算，整式的化簡求值和去括號，準(zhǔn)