第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市祁東縣育賢中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)=2xf′(2)+lnx，則f′(1)=(

)A.?1 B.1 C.?2 D.02.根據(jù)3對(duì)數(shù)據(jù)A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)繪制的散點(diǎn)圖知，樣本點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，且線性回歸方程為Y=2.25X+4.25，則m=(

)A.11 B.10 C.9 D.83.若隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，且P(X≤1)=0.29，則P(X<3)=A.0.29 B.0.71 C.0.79 D.0.8554.曲線f(x)=ex在x=3處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為(

)A.32e3 B.2e3 5.已知隨機(jī)變量X～B(n,p)，若E(X)=35，D(X)=1225，則A.15 B.115 C.154 6.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=90090,x>390?x3A.150 B.200 C.250 D.3007.研究人員對(duì)甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性進(jìn)行研究，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：“對(duì)藥物甲產(chǎn)生抗藥性”的概率為319，“對(duì)藥物乙產(chǎn)生杭藥性”的概率為219，“對(duì)甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性”的概率為45，則在對(duì)藥物甲產(chǎn)生杭藥性的條件下，對(duì)藥物乙也產(chǎn)生抗藥性的概率為A.319 B.15 C.6198.某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行乒乓球團(tuán)體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手M對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為23，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為12(注：比賽結(jié)果沒有平局)，則甲隊(duì)最終2：1獲勝且種子選手M上場(chǎng)的概率是A.112 B.16 C.14二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題正確的是(

)A.若f(x)=ln3，則f′(1)=13 B.若f(x)=1x2，則f′(4)=?132

C.若f(x)=cosx，則10.2024年3月，中華人民共和國(guó)全國(guó)人民代表大會(huì)與中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議在北京召開(以下簡(jiǎn)稱“兩會(huì)”)，兩會(huì)結(jié)束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說法正確的是(

)A.若A與B相鄰，則有48種不同站法

B.若C與D不相鄰，則有24種不同站法

C.若B在E的左邊(可以不相鄰)，則有60種不同站法

D.若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法11.如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的號(hào)碼，則(

)A.P(X=1)=P(X=6)=132 B.E(X)=52

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線y=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為?2，則a=______．13.(2?x)(1?3x)814.“算兩次”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也稱做富比尼(G.Fubini)原理.“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來”(波利亞著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第一卷)，即將一個(gè)量“算兩次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n，n∈N?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

若(1?3x)8=a0+a1x+a16.(本小題15分)

唐詩(shī)是中國(guó)古典文化最燦爛的瑰寶之一.2023年7月8日，電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》上映以來，全國(guó)掀起了詩(shī)詞背誦的狂潮，在電影院背詩(shī)成了當(dāng)下最常見的現(xiàn)象，某詩(shī)詞協(xié)會(huì)為了了解觀眾對(duì)影片中出現(xiàn)的48首唐詩(shī)的熟悉情況(若會(huì)背誦其中40首唐詩(shī)為極熟悉，否則為不太熟悉)，在影片放映結(jié)束后，隨機(jī)抽取了200位觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：對(duì)48首唐詩(shī)極熟悉對(duì)48首唐詩(shī)不太熟悉總計(jì)不超過30歲80120超過30歲40總計(jì)附：χ2=n(ad?bc)α=P(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表；

(2)是否有97.5%的把握認(rèn)為對(duì)這48首唐詩(shī)的熟悉程度與年齡有關(guān)？

(3)按分層隨機(jī)抽樣的方式在極熟悉48首唐詩(shī)的觀眾中抽取6人進(jìn)行唐詩(shī)小調(diào)查，隨后再?gòu)倪@6人中抽取3人進(jìn)行唐詩(shī)接力賽，記3人中年齡超過30歲的人數(shù)為X，求X的分布列與均值．17.(本小題15分)

如圖，從左到右有5個(gè)空格．

(1)若向這5個(gè)格子填入0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)，要求每個(gè)數(shù)都要用到，且第三個(gè)格子不能填0，則一共有多少不同的填法？(用數(shù)字作答)

(2)若給這5個(gè)空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍(lán)3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？(用數(shù)字作答)

(3)若把這5個(gè)格子看成5個(gè)企業(yè)，現(xiàn)安排3名校長(zhǎng)與5個(gè)企業(yè)洽談，若每名校長(zhǎng)與2家企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)洽談，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有多少種(用數(shù)字作答)．18.(本小題17分)

某加盟連鎖店總部對(duì)旗下600個(gè)加盟店中每個(gè)店的日銷售額(單位：百元)進(jìn)行了調(diào)查，如圖是隨機(jī)抽取的50個(gè)加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖.若將日銷售額在[16,18)的加盟店評(píng)定為“四星級(jí)”加盟店，日銷售額在[18,20]的加盟店評(píng)定為“五星級(jí)”加盟店．

(1)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1)；

(2)若該加盟連鎖店總部旗下所有加盟店的日銷售額X～N(μ,6.25)，其中μ近似為(1)中的樣本平均數(shù)，根據(jù)X的分布估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù))；(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.)

(3)該加盟連鎖店總部決定對(duì)樣本中“四星級(jí)”及“五星級(jí)”加盟店進(jìn)一步調(diào)研，現(xiàn)從這些加盟店中隨機(jī)抽取3個(gè)，設(shè)Y19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=12ax2+(a?1)x?lnx，a∈R．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：f(x)≥2?32a；

(3)若函數(shù)F(x)=a答案解析1.【答案】D

【解析】解：由f(x)=2xf′(2)+lnx，得f′(x)=2f′(2)+1x(x>0)，

則f′(2)=2f′(2)+12，解得f′(2)=?12，

所以f′(x)=?1+1x，得f′(1)=0．

故選：D．

求導(dǎo)可得f′(x)=2f′(2)+2.【答案】B

【解析】解：由題意3對(duì)數(shù)據(jù)A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)繪制的散點(diǎn)圖知，樣本點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，

得x?=3，y?=23+m3，又Y=2.25X+4.25經(jīng)過點(diǎn)(3,23+m3)，

所以23+m3=2.25×3+4.25，

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閄～N(2,σ2)，又P(X≤1)=0.29，

所以P(X≥3)=P(X≤1)=0.29，

所以P(X<3)=1?P(X≥3)=0.71．

故選：B．

4.【答案】B

【解析】解：由f(x)=ex，得f′(x)=ex，所以切線的斜率為f′(3)=e3，

因?yàn)閒(3)=e3，所以曲線f(x)=ex在x=3處的切線方程為y?e3=e3(x?3)，

即e3x?y?2e3=0，

令x=0，得y=?2e35.【答案】A

【解析】解：因?yàn)镋(X)=np=35，D(X)=np(1?p)=1225，

所以D(X)E(X)=1?p=45，

即p=15，所以n=3，

所以np6.【答案】D

【解析】解：由題意當(dāng)年產(chǎn)量為x時(shí)，總成本為20000+100x，

又總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=90090,x>390?x3900+400x,0≤x≤390，

∴總利潤(rùn)Q(x)=90090?20000?100x,???x>390?x3900+400x?20000?100x,?0≤x≤390，即Q(x)=?100x+70090,????x>390?x3900+300x?20000,0≤x≤390

①當(dāng)0≤x≤390時(shí)，Q′(x)=?x2300+300，令Q′(x)=0得x=300，

由Q′(x)<0得300<x≤390，此時(shí)Q(x)是減函數(shù)，

由Q′(x)>0得0<x<300，此時(shí)Q(x)是增函數(shù)，

∴當(dāng)0≤x≤390時(shí)，Q(x)max=Q(300)=40000(元)；

②當(dāng)x>390時(shí)，Q(x)=?100x+70090是減函數(shù)，∴Q(x)<Q(390)=31090(元)；

∴當(dāng)x=300時(shí)，7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)“對(duì)藥物甲產(chǎn)生抗藥性”為事件A，“對(duì)藥物乙產(chǎn)生抗藥性”為事件B，“對(duì)甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性”為事件C，

則P(A)=319,P(B)=219,P(C)=45，且P(C)=P(AB?)=45，

所以P(A+B)=1?P(AB?)=15，又P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)，8.【答案】B

【解析】解：設(shè)事件Ai=“種子選手M第i局上場(chǎng)”(i=1,2,3)，事件B=“甲隊(duì)最終2：1獲勝且種子選手M上場(chǎng)”，

由全概率公式知P(B)=P(B|A1)?P(A1)+P(B|A2)?P(A2)+P(B|A3)?P(A3)，

因?yàn)槊棵?duì)員是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，故P(A1)=15，P(A2)=45×14=15，P(A3)=459.【答案】BD

【解析】解：A選項(xiàng)中，f′(x)=0，所以f′(1)=0，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)中，f′(x)=?2x3，所以f′(4)=?132，故B正確；

C選項(xiàng)中，f′(x)=?sinx，所以f′(π4)=?22，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)中，f′(x)=1xln210.【答案】ACD

【解析】解：若A與B相鄰，

則有A22A44=48種不同站法，

A正確；

若C與D不相鄰，

則有A33A42=72種不同站法，

B錯(cuò)誤；

若B在E的左邊(可以不相鄰)，

則有A55A22=60種不同站法，

C正確；

若A11.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)A=“向右下落”，則A?=“向左下落”，且P(A)=P(A?)=12，

設(shè)Y=X?1，因?yàn)樾∏蛟谙侣溥^程中共碰撞5次，所以Y～B(5,12)，

于是P(Y=k)=P(X=k+1)=C5k(12)k(1?12)5?k=C5k(12)5(k=0,1,2,3,4,5)．

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，P(X=1)=P(X=6)=C50(12)5=112.【答案】?3

【解析】解：由題意知y′=aex+(ax+1)ex，

曲線y=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為?2，

可知f′(0)=?2，解得a=?3．

13.【答案】112

【解析】解：根據(jù)(1?3x)8的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1=C8r18?r(?1)rxr3，

令r=3，得T4=?C83x=?56x，令r=614.【答案】C2n【解析】解：因?yàn)?1+x)n(x+1)n=(Cn0+Cn1x+Cn2x2+???+Cnnxn15.【答案】解：(1)令x=0得a0=1；

(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|等于(1+3x)8的展開式的各個(gè)項(xiàng)系數(shù)的和，

令x=1代入(1+3x)8，

【解析】(1)利用賦值法，令x=0即可求解，

(2)在(1+3x)8中令x=1即可求解，

(3)求導(dǎo)后賦值即可求解．16.【答案】解：(1)根據(jù)題意，補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：對(duì)48首唐詩(shī)極熟悉對(duì)48首唐詩(shī)不太熟悉總計(jì)不超過30歲8040120超過30歲404080總計(jì)12080200(2)零假設(shè)H0：對(duì)這48首唐詩(shī)的熟悉程度與年齡無(wú)關(guān)，

χ2=200×(80×40?40×40)2120×80×120×80=5.556>5.024，

依據(jù)小概率值α=5.024的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，

所以有97.5%的把握認(rèn)為對(duì)這48首唐詩(shī)的熟悉程度與年齡有關(guān)；

(3)按分層隨機(jī)抽樣的方式在極熟悉48首唐詩(shī)的觀眾中抽取6人進(jìn)行唐詩(shī)小調(diào)查，

其中年齡不超過30歲的抽取4人，年齡超過30歲的抽取2人，

由題意，得X的可能取值是0，1，2，

則P(X=0)=CX012P131所以E(X)=0×15【解析】(1)根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，完善2×2列聯(lián)表；

(2)根據(jù)公式求出χ2，對(duì)照臨界值表，即可得出結(jié)論；

(3)先求出6人中年齡不超過30歲的抽取4人，年齡超過30歲的抽取2人，再根據(jù)古典概型即可得解．

17.【答案】解：(1)本題分2步：①第三個(gè)格子不能填0，則0有4種選法；

②將其余的4個(gè)數(shù)字全排列安排在其他四個(gè)格子中有A44種情況，

則一共有4A44=96種不同的填法．

(2)根據(jù)題意，第一個(gè)格子有3種顏色可選，即有3種情況，

第二個(gè)格子與第一個(gè)格子的顏色不能相同，有2種顏色可選，即有2種情況，

同理可得：第三、四、五個(gè)格子都有2種情況，

則五個(gè)格子共有3×2×2×2×2=48種不同的涂法．

(3)根據(jù)題意，有一家企業(yè)與2位校長(zhǎng)談，其余4家企業(yè)只與1位校長(zhǎng)談，

第1步：從5家企業(yè)中選一家C51，

第2步：從3位校長(zhǎng)中選2位C32，

第3步：從剩下4家企業(yè)中選2家安排另外一位校長(zhǎng)C42，

【解析】(1)由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；

(2)由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；

(3)由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．

本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．18.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖得樣本中日銷售額為[6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]，(18,20]的頻率分別為0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，

∴估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)為：7×0.08+9×0.10+11×0.20+13×0.24+15×0.20+17×0.12+19×0.06=12.96≈13.0(百元)，

∵0.08+0.10+0.20<0.5，0.08+0.10+0.20+0.24>0.5，

∴中位數(shù)在(12,14]內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為x百元，

則0.08+0.10+0.20+0.12(x?12)=0.5，解得x=13，

∴估計(jì)中位數(shù)為13百元．

(2)由(1)知μ=13，

∵σ2=6.25，σ=2.5，

∴P(X>18)=P(X>μ+2σ)≈1?0.95452≈0.023，

∴估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)為600×0.023≈14．

(3)由(1)得樣本中“四星級(jí)”加盟店有50×0.12=6(個(gè))，“五星級(jí)”加盟店有50×0.06=3(個(gè))，

∴Y的所有可能取值為0，1，2，3，

P(Y=0)=C63C93Y0123P51531∴E(Y)=0×521【解析】(1)由平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案；

(2)由(1)知μ=13，σ=2.5，由正態(tài)分布的性質(zhì)求出P(X>18)的概率，即可求出這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)；

(3)求出Y的所有可能取值和每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的數(shù)學(xué)期望．

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是中檔題．19.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(