自動控制原理輔導(dǎo)與習(xí)題及答案自動控制技術(shù)是現(xiàn)代工業(yè)、航空航天、智能裝備等領(lǐng)域的核心支撐，其理論體系以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，通過分析系統(tǒng)動態(tài)特性、穩(wěn)定性及性能指標(biāo)，為系統(tǒng)設(shè)計與優(yōu)化提供依據(jù)。以下從基礎(chǔ)概念、數(shù)學(xué)建模、時域分析、頻率特性及典型習(xí)題解析等方面展開詳細(xì)講解。一、自動控制系統(tǒng)的基本概念與分類自動控制系統(tǒng)的核心是通過反饋機(jī)制使被控量（如溫度、轉(zhuǎn)速、位置）按給定規(guī)律變化。根據(jù)信號傳遞路徑，系統(tǒng)可分為開環(huán)與閉環(huán)兩類：開環(huán)系統(tǒng)無反饋環(huán)節(jié)，控制精度依賴前向通道的準(zhǔn)確性（如傳統(tǒng)洗衣機(jī)的定時控制）；閉環(huán)系統(tǒng)引入反饋，將被控量與給定量比較后生成誤差信號，通過控制器調(diào)整執(zhí)行機(jī)構(gòu)（如空調(diào)的溫度控制：傳感器檢測室溫，與設(shè)定值比較后調(diào)節(jié)壓縮機(jī)啟停）。閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)勢在于能抑制擾動，但可能因反饋過強(qiáng)導(dǎo)致振蕩甚至不穩(wěn)定。系統(tǒng)的基本組成包括給定元件（提供參考輸入）、測量元件（檢測被控量）、比較元件（計算誤差）、控制器（生成控制信號）及執(zhí)行機(jī)構(gòu)（驅(qū)動被控對象）。例如，直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中，給定電位器提供轉(zhuǎn)速參考值，測速發(fā)電機(jī)測量實(shí)際轉(zhuǎn)速，誤差放大器比較兩者差值，控制器（如PID調(diào)節(jié)器）輸出電壓信號，功率放大器驅(qū)動電機(jī)調(diào)整轉(zhuǎn)速。二、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立與傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常見形式有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程等。對于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)（輸出拉氏變換與輸入拉氏變換之比，零初始條件下）是最常用的分析工具。例1：RC電路的傳遞函數(shù)推導(dǎo)考慮圖1（假設(shè)為RC串聯(lián)電路，輸入為電壓u_i(t)，輸出為電容電壓u_o(t)），根據(jù)基爾霍夫定律，回路電流i(t)滿足：u_i(t)=R·i(t)+u_o(t)電容電流i(t)=C·du_o(t)/dt聯(lián)立消去i(t)，得微分方程：RC·du_o(t)/dt+u_o(t)=u_i(t)對兩邊取拉氏變換（初始條件為零），得：RC·sU_o(s)+U_o(s)=U_i(s)傳遞函數(shù)G(s)=U_o(s)/U_i(s)=1/(RC·s+1)=1/(Ts+1)（T=RC為時間常數(shù)）。典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：-比例環(huán)節(jié)（P）：G(s)=K（如放大器）-積分環(huán)節(jié)（I）：G(s)=1/(Ts)（如積分調(diào)節(jié)器）-微分環(huán)節(jié)（D）：G(s)=Ts（如微分器）-慣性環(huán)節(jié)：G(s)=K/(Ts+1)（如RC電路、一階系統(tǒng)）-二階振蕩環(huán)節(jié)：G(s)=ω_n2/(s2+2ζω_ns+ω_n2)（ζ<1時，如機(jī)械振動系統(tǒng)）三、時域分析法：動態(tài)性能與穩(wěn)定性時域分析通過研究系統(tǒng)在典型輸入（階躍、脈沖、斜坡）下的輸出響應(yīng)，評估其動態(tài)性能（超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等）與穩(wěn)定性。1.一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)=1/(Ts+1)，輸入階躍信號r(t)=R·1(t)（拉氏變換R/s），輸出響應(yīng)c(t)=R(1-e^(-t/T))。其動態(tài)性能指標(biāo)：-上升時間t_r（響應(yīng)從10%到90%穩(wěn)態(tài)值的時間）：t_r≈2.2T-調(diào)節(jié)時間t_s（響應(yīng)進(jìn)入±5%或±2%穩(wěn)態(tài)值的時間）：t_s≈3T（5%誤差帶）或4T（2%誤差帶）2.二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式為G(s)=ω_n2/(s2+2ζω_ns+ω_n2)，ζ為阻尼比，ω_n為無阻尼自然頻率。根據(jù)ζ取值，響應(yīng)分為：-過阻尼（ζ>1）：響應(yīng)無振蕩，由兩個不相等負(fù)實(shí)根主導(dǎo)，調(diào)節(jié)時間長。-臨界阻尼（ζ=1）：響應(yīng)無振蕩，由兩個相等負(fù)實(shí)根主導(dǎo)，調(diào)節(jié)時間最短（無超調(diào)）。-欠阻尼（0<ζ<1）：響應(yīng)振蕩衰減，動態(tài)性能指標(biāo)為：-超調(diào)量σ%=e^(-πζ/√(1-ζ2))×100%-峰值時間t_p=π/(ω_n√(1-ζ2))-調(diào)節(jié)時間t_s≈3/(ζω_n)（5%誤差帶）或4/(ζω_n)（2%誤差帶）例2：二階系統(tǒng)性能指標(biāo)計算已知二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)=4/(s2+2s+4)，求其單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量、峰值時間和調(diào)節(jié)時間（5%誤差帶）。解：對比標(biāo)準(zhǔn)形式，ω_n2=4→ω_n=2rad/s；2ζω_n=2→ζ=0.5（欠阻尼）。σ%=e^(-π×0.5/√(1-0.52))×100%≈e^(-π×0.5/0.866)×100%≈e^(-1.813)×100%≈16.3%t_p=π/(ω_n√(1-ζ2))=π/(2×√(1-0.25))=π/(2×0.866)≈1.81st_s≈3/(ζω_n)=3/(0.5×2)=3s3.穩(wěn)定性分析：勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）具有負(fù)實(shí)部。勞斯判據(jù)通過特征方程系數(shù)構(gòu)造勞斯表，判斷是否存在正實(shí)部根。例3：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)特征方程為s3+2s2+3s+6=0，構(gòu)造勞斯表：第一行：13第二行：26第三行：(2×3-1×6)/2=00（出現(xiàn)全零行，需用輔助多項式法）輔助多項式P(s)=2s2+6，求導(dǎo)得P’(s)=4s用4s代替全零行，繼續(xù)構(gòu)造：第四行：40第五行：6（由P(s)=0的根s=±j√3，實(shí)部為0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定）四、頻率特性分析法：伯德圖與穩(wěn)定性判據(jù)頻率特性是系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，包括幅頻特性（輸出幅值與輸入幅值之比）和相頻特性（輸出相位與輸入相位之差）。伯德圖（對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性曲線）是分析頻率特性的常用工具，橫軸為lgω，縱軸分別為20lg|G(jω)|（dB）和相位角（°）。例4：繪制開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=10/(s(0.1s+1))的伯德圖并判斷閉環(huán)穩(wěn)定性步驟：1.分解為典型環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)（K=10）、積分環(huán)節(jié)（1/s）、慣性環(huán)節(jié)（1/(0.1s+1)）。2.計算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率ω_c=1/0.1=10rad/s。3.繪制對數(shù)幅頻特性：-低頻段（ω<10）：積分環(huán)節(jié)主導(dǎo)，斜率為-20dB/dec，起點(diǎn)ω=0.1rad/s時，20lg(10/0.1)=20lg100=40dB。-高頻段（ω>10）：慣性環(huán)節(jié)起作用，斜率變?yōu)?40dB/dec。4.對數(shù)相頻特性：積分環(huán)節(jié)貢獻(xiàn)-90°，慣性環(huán)節(jié)貢獻(xiàn)-arctan(0.1ω)，總相位角φ(ω)=-90°-arctan(0.1ω)。5.穩(wěn)定性判斷：開環(huán)截止頻率ω_c（20lg|G(jω_c)|=0）處，相位裕度γ=180°+φ(ω_c)。計算得ω_c=√(10/0.1)=10rad/s（因10/(ω_c×√(1+(0.1ω_c)^2))=1，當(dāng)ω_c=10時，分母=10×√2≈14.14，10/14.14≈0.707，不滿足；重新計算：20lg(10/(ω_c×√(1+(0.1ω_c)^2)))=0→10/(ω_c×√(1+(0.1ω_c)^2))=1→100=ω_c2(1+0.01ω_c2)→令x=ω_c2，得0.01x2+x-100=0→x=(-1±√(1+4))/0.02≈(-1+√5)/0.02≈(1.236)/0.02≈61.8→ω_c≈7.86rad/s。此時φ(ω_c)=-90°-arctan(0.1×7.86)≈-90°-38.2°≈-128.2°，相位裕度γ=180°-128.2°=51.8°>0，系統(tǒng)穩(wěn)定。五、典型習(xí)題與詳細(xì)解答習(xí)題1：建立RLC串聯(lián)電路的微分方程及傳遞函數(shù)（輸入為電壓u_i(t)，輸出為電容電壓u_o(t)）解：設(shè)回路電流為i(t)，電感電壓u_L(t)=L·di(t)/dt，電阻電壓u_R(t)=R·i(t)，電容電壓u_o(t)=(1/C)∫i(t)dt。根據(jù)基爾霍夫定律：u_i(t)=u_L(t)+u_R(t)+u_o(t)=L·di(t)/dt+R·i(t)+(1/C)∫i(t)dt對輸出u_o(t)求導(dǎo)得du_o(t)/dt=(1/C)i(t)→i(t)=C·du_o(t)/dt，代入上式：u_i(t)=L·C·d2u_o(t)/dt2+R·C·du_o(t)/dt+u_o(t)微分方程為：LC·d2u_o/dt2+RC·du_o/dt+u_o=u_i(t)傳遞函數(shù)G(s)=U_o(s)/U_i(s)=1/(LCs2+RCs+1)習(xí)題2：某二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量為25%，峰值時間為2s，求系統(tǒng)的阻尼比ζ和無阻尼自然頻率ω_n解：已知σ%=25%=0.25，t_p=2s。由σ%=e^(-πζ/√(1-ζ2))→ln(0.25)=-πζ/√(1-ζ2)→-1.386=-πζ/√(1-ζ2)→1.386=πζ/√(1-ζ2)兩邊平方得：1.921=π2ζ2/(1-ζ2)→1.921(1-ζ2)=9.8696ζ2→1.921=11.7906ζ2→ζ2≈0.163→ζ≈0.404由t_p=π/(ω_n√(1-ζ2))→ω_n=π/(t_p√(1-ζ2))=π/(2×√(1-0.163))=π/(2×0.915)≈1.72rad/s習(xí)題3：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+2))，用勞斯判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍解：閉環(huán)特征方程為1+G(s)H(s)=0→s(s+1)(s+2)+K=0→s3+3s2+2s+K=0構(gòu)造勞斯表：第一行：12第二行：3K第三行：(3×2-1×K)/3=(6-K)/30第四行：K系統(tǒng)穩(wěn)定需勞斯表第一列全為正：(6-K)/3>0→K<6；K>0→0<K<6習(xí)題4：繪制開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=20/(s(0.5s+1)(0.1s+1))的伯德圖，并求相位裕度（近似計算）解：分解為比例環(huán)節(jié)（K=20）、積分環(huán)節(jié)（1/s）、慣性環(huán)節(jié)1/(0.5s+1)（轉(zhuǎn)折頻率ω1=2rad/s）、慣性環(huán)節(jié)1/(0.1s+1)（轉(zhuǎn)折頻率ω2=10rad/s）。對數(shù)幅頻特性：-ω<2：斜率-20dB/dec，起點(diǎn)ω=0.1rad/s時，20lg(20/0.1)=20lg200≈46dB。-2<ω<10：斜率-40dB/dec（加入第一個慣性環(huán)節(jié)）。-ω>10：斜率-60dB/dec（加入第二個慣性環(huán)節(jié)）。開環(huán)截止頻率ω_c（20lg|G(jω_c)|=0）：近似在斜率-20dB/dec段與0dB線交點(diǎn)，20lg(20/ω_c)=0→20/ω_c=1→ω_c=20rad/s（但需驗證是否在-60dB段：當(dāng)ω=10時，20lg(20/(10×(0.5×10+1)×(0.1×10+1)))=20lg(20/(10×3×2))=20lg(1/3)≈-9.54dB；ω=20時，20lg(20/(20×(0.5×20+1)×(0.1×20+1)))=20lg(20/(20×11×3))=20lg(1/33)≈-30.3dB，說明ω_c在2<ω<10段。設(shè)ω_c在2-10之間，斜率-40dB/dec，從ω=2時幅值為20lg(20/(2×(0.5×2+1)))=20lg(20/(2×2))=20lg5≈14dB，到ω_c時幅值為0dB，斜率-40dB/dec，故(14-0)/(lgω_c-lg2)=40→lgω_c-lg2=14/40=0.35→lgω_c=lg2+0.35≈0.301+0.35=0.651→ω_c≈10^0.651≈4.48rad/s。相位角φ(ω_c)=-90°-arctan(0