專題07中點模型之斜邊中線、中點四邊形內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：5大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升中點模型是初中數(shù)學中一類重要模型，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點問題，有時甚至會出現(xiàn)在壓軸題當中，我們不妨稱之為“中點模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學習有著十分重要的意義.常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④中位線模型；⑤直角三角形斜邊中點模型；⑥中點四邊形模型.本專題就中點模型的后兩類模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握.知識點01：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為中點，則（1）；（2）．模型運用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點時）知識點02：中點四邊形模型中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形.中點四邊形是中點模型中比較經(jīng)典的應用.中點四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會涉及中位線這一重要知識點，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊.結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點，則四邊形MNPQ為平行四邊形.圖1圖2圖3圖4結(jié)論2：順次連結(jié)對角線互相垂直四邊形各邊中點組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形.結(jié)論3：順次連結(jié)對角線相等四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形.結(jié)論4：順次連結(jié)對角線相等且垂直的四邊形各邊中點組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形.推廣與應用1）中點四邊形的周長：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和.2）中點四邊形的面積：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的.【題型1利用斜邊的中線等于斜邊的一半求角度】例題：（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，點是的中點，則．【變式訓練】1．（24-25八年級下·云南昆明·期中）如圖，在中，，于點，，是斜邊的中點，則．2．（23-24八年級上·湖北宜昌·期中）中，是高，E是的中點，且線段平分的周長，若，則．3．（24-25八年級下·福建廈門·期中）如圖，四邊形中，，取的中點，的中點，連接、，，則的度數(shù)為．【題型2利用斜邊的中線等于斜邊的一半求線段長】例題：（23-24八年級下·湖南·期中）如圖，在中，，是邊上的中線，且，則的長為．【變式訓練】1．（24-25八年級下·云南昆明·期中）如圖，在四邊形中，，點O是對角線的中點，若，則的長為．2．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）如圖所示，為的中位線，點F在上，，若，，則的長為．3．（24-25八年級下·四川廣元·期中）如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為的中點，則的最小值為．【題型3利用斜邊的中線等于斜邊的一半證明】例題：（2025·江蘇揚州·一模）如圖，在中，，D為的中點，過A作，過D作分別交于點O、E，連接．(1)證明：四邊形為菱形；(2)若，求菱形面積．【變式訓練】1．（2025·北京大興·二模）如圖，在中，，是中點，，是的角平分線，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的長．2．（2025·云南昆明·一模）如圖，在中，，點D是的中點，連接．過點C作，過點A作相交于點E．(1)求證：四邊形是菱形；(2)已知的周長為，求平行線與之間的距離．3．（2025·山東濰坊·二模）我們學過直角三角形的性質(zhì)定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【定理證明】（1）如圖1，中，，D是的中點，連接．請證明直角三角形的性質(zhì)定理2；【定理應用】（2）如圖2，在，，點D是上一點，過點D作，連接并取其中點F，連接．求證：；【綜合探究】（3）如圖3，在（2）的基礎上將圖2中繞頂點A旋轉(zhuǎn)至，連接，取其中點F，連接，．請判斷與是否相等？并說明理由．【題型4中點四邊形中的規(guī)律探究問題】例題：（24-25八年級下·廣東廣州·期中）如圖，在菱形中，邊長為1，順次連接菱形各邊中點，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點，可得四邊形；順次連接四邊形邊中點，可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去，則四邊形的面積是．【變式訓練】1．（23-24九年級上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點，得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積是1，則第n個矩形的面積是．2．（23-24八年級下·廣東河源·期中）如圖，四邊形的兩條對角線、互相垂直，將四邊形各邊中點依次相連，得到四邊形，若四邊形的面積為15，則四邊形的面積為．3．（23-24八年級下·廣東惠州·期中）如圖，順次連接矩形四邊的中點得到四邊形，再順次連接四邊形四邊的中點得四邊形，…，按此規(guī)律得到四邊形，若矩形的面積為15，那么四邊形的面積為．

【題型5與中點四邊形有關的證明問題】例題：（24-25九年級上·福建三明·階段練習）定義：順次連結(jié)四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．如圖，在四邊形中，順次連結(jié)各邊中點E、F、G、H得到的四邊形叫做四邊形的中點四邊形．利用三角形中位線的相關知識解決下列問題：(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當對角線滿足下列條件時，請你探究中點四邊形的形狀：(寫出結(jié)果并證明)當時，四邊形是．【變式訓練】1．（22-23九年級上·江西撫州·期中）如圖①，將四邊形紙片沿兩組對邊中點連線剪切為四部分，將這四部分鑲嵌可得到如圖②所示的四邊形．

(1)試判斷四邊形的形狀，并證明．(2)若要鑲嵌后的平行四邊形為矩形，則四邊形需要滿足什么條件，并證明．2．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．數(shù)學興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關系和位置關系兩個方面展開探究．原四邊形對角線關系中點四邊形形狀數(shù)量關系、位置關系特殊四邊形不相等、不垂直平行四邊形【探究一】（1）如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點，求證：中點四邊形是平行四邊形．（請寫出完整的證明過程）【探究二】（2）由圖2，從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形對角線________時，中點四邊形是________．【探究三】（3）由圖3，從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線________時，中點四邊形是________．【探究四】（4）結(jié)合圖2、圖3，得出猜想Ⅲ：原四邊形對角線________時，中點四邊形是正方形．3．（24-25八年級下·山東菏澤·期中）閱讀理解：我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，如圖1，在四邊形中，，，，分別是邊，，，的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形．(1)（填空）判斷圖1中的中點四邊形的形狀為______，菱形的中點四邊形的形狀是______；(2)如圖2，在四邊形中，點在上且和為等邊三角形，，，，分別為，，，的中點，試判斷四邊形的形狀并證明．(3)若四邊形的中點四邊形為正方形，的最小值為4，求的長．一、單選題1．（24-25八年級下·遼寧盤錦·期中）如圖，在中，，，是邊的中點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級下·廣西來賓·期中）如圖，公路互相垂直，的中點與點被湖隔開．測得長為，則的長為（

）A． B． C． D．3．（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習）直角三角形中有兩條邊分別為，，則此直角三角形斜邊上的中線長等于（

）A． B． C．或 D．或4．（24-25八年級下·河南許昌·期中）如圖，，，和都是等邊三角形，F(xiàn)為中點，交于G點，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（

）．①；

②四邊形是菱形；③；④．A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①③二、填空題5．（24-25八年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，在四邊形中中，，點E、F、G分別是、、的中點，連接、．若，則．6．（23-24八年級上·貴州安順·期末）如圖，是的高，是的中線，是的角平分線．若，則的度數(shù)為．7．（24-25八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，四邊形的兩條對角線分別為和，且滿足，，那么依次連接它的各邊中點得到的四邊形的面積為．8．（24-25八年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，、、、分別是、、、的中點，且，下列結(jié)論：①；②四邊形是矩形；③平分；其中正確的是．三、解答題9．（24-25八年級下·北京·期中）如圖，在中，點、分別是、的中點，連接，點是的中點，連接，．若，，，求證：．10．（24-25九年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在中，，是的斜邊上的中線，過點和點分別作和的平行線交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．11．（2025八年級下·湖南·專題練習）如圖，中，，、分別是、的中點，以為斜邊作．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．12．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，在直角中，，是邊上一點，連接為的中點，過作交延長線于，且平分，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)連接交于，，求的度數(shù)．13．（23-24八年級下·河北秦皇島·期末）閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師請同學們思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時，有如下思路：連接．結(jié)合小敏的思路作答：（1）若只改變圖1中四邊形的形狀（如圖2），則四邊形還是平行四邊形嗎？請說明理由；參考小敏思考問題的方法，解決以下問題：（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接，．當與滿足什么關系時，四邊形是正方形．直接寫出結(jié)論．14．（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖①，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點．求證：．【應用】如圖②，連結(jié)圖①