專題13一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.知識點02一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進一步討論根的符號.設(shè)一元二次方程的兩根為、，則①當△≥0且時，兩根同號．當△≥0且，時，兩根同為正數(shù)；當△≥0且，時，兩根同為負數(shù)．②當△＞0且時，兩根異號．當△＞0且，時，兩根異號且正根的絕對值較大；當△＞0且，時，兩根異號且負根的絕對值較大．要點：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱；（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．【題型1利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值】例題：（2025·遼寧鞍山·二模）一元二次方程的兩個根分別為，，則．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根分別為，，∴，故答案為：．【變式訓練】1．（2025·江西·模擬預測）設(shè)m，n是一元二次方程的兩個根，則．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵m，n是一元二次方程的兩個根，∴，故答案為：．2．（2025·山東泰安·二模）已知兩個不相等的實數(shù)，滿足：，則．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意可得實數(shù)是關(guān)于x的方程的兩個不相等的實數(shù)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：∵兩個不相等的實數(shù)，滿足：，∴實數(shù)是關(guān)于x的方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，故答案為：．3．（2025九年級下·江蘇南京·專題練習）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和，則的值為．【答案】1【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是牢記根與系數(shù)的關(guān)系并正確代入計算．先根據(jù)一元二次方程的系數(shù)確定兩根之和與兩根之積，再代入式子計算．【詳解】∵一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和，，．故答案為：1【題型2通過化簡、變形利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值】例題：（2025·四川樂山·模擬預測）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為，，則的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)鍵．先對進行變形得，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得、，后整體代入計算即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，，．故答案為：．【變式訓練】1．（2025·山東聊城·三模）已知，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】本題主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，先把代入方程，整理得，再用根與系數(shù)的關(guān)系求得，最后代入求值即可．【詳解】解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，即，∴，故答案為：．2．（2025·重慶巴南·二模）若m，n為一元二次方程的兩個根，則的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、多項式乘以多項式法則和代數(shù)式求值．利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到，再利用多項式的乘法則計算，整體代入計算即可．【詳解】解：∵m，n為一元二次方程的兩個根，∴，∴，故答案為：3．（2025·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的兩個根，則的值是．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、已知式子的值，求代數(shù)式的值【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程，若它的兩個根為，，則滿足，．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a，b是一元二次方程的兩個根，∴，，．故答案為：．【題型3利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】例題：（2025·江蘇南京·一模）設(shè)，是關(guān)于x的方程的根，且，則k的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項【分析】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．根據(jù)條件得出，，原式整理為，從而列出關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，知，∴，即解得．故答案為：．【變式訓練】1．（2025·四川成都·二模）已知關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根為，，若，則m的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查一元二次方程根的情況，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的情況是解題的關(guān)鍵，由于，是方程的兩個實數(shù)根，可得，，代入可得，進而得到，，代入原式驗證后，即可得到答案．【詳解】解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，∴，∴，整理得：，解得：，，當時，原方程為，∴，不符合題意舍去，當時，原方程為，∴，符合題意舍去，綜上所述：，故答案為：．2．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于的一元二次方程．若方程的兩個實數(shù)根為，，且，則實數(shù)的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)的關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程。由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，再整體代入中，求出a的值．【詳解】解：∵是的兩個實數(shù)根，，，，解得：，故答案為：．3．（2025·四川綿陽·二模）已知關(guān)于x的方程有兩個不等實數(shù)根，且，則m的值是【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)完全平方公式變形得到關(guān)于的一元一次方程求解即可．【詳解】解：∵方程有兩個實數(shù)根為，，，，，，故答案為：．【題型4利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分析、判斷命題真假】例題：（2025八年級下·安徽·專題練習）對于一元二次方程下列說法：①若方程的兩個根是和，則；②若是方程的一個根，則一定有成立；③若，則它有一個根是；④若方程有一個根是，則方程一定有一個實數(shù)根．其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】此題考查了一元二次方程的根、根與系數(shù)關(guān)系等知識．根據(jù)一元二次方程根的定義和根與系數(shù)關(guān)系分別進行計算即可得到答案．【詳解】解：若方程的兩個根是和2，則，∴，∴；故①正確；若c是方程的一個根，則，∴或，故②錯誤；若，則，即有一個根是；故③正確；若方程有一個根是，則，當時，，即若方程有一個根是，則方程一定有一個實數(shù)根，故④正確；綜上可知，正確的是①③④，故選：C．【變式訓練】1．（24-25八年級下·浙江舟山·期中）對于兩個代數(shù)式，記，，以下說法正確的個數(shù)是（

）①若，則；②若關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，則；③代數(shù)式有最小值；④若關(guān)于x的方程的解為p和q，則的值為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識點】配方法的應用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)可得，據(jù)此解方程即可判斷①；根據(jù)題意可得關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，據(jù)此利用根的判別式求解即可判斷②；，據(jù)此可判斷③；關(guān)于x的方程的解為p和q，則，進而根據(jù)完全平方公式的變形得到，再根據(jù)即可判斷④．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，解得或，故①說法錯誤；∵關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，∴關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，∴關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，∴，∴，故②說法正確；，∵，∴，∴代數(shù)式的最小值為，故③正確；∵關(guān)于x的方程的解為p和q，∴關(guān)于x的方程的解為p和q，∴，∴，∴，∴∴或，故④錯誤，故選B．2．（24-25八年級下·安徽安慶·期中）對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④【答案】B【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，根據(jù)一元二次方程的根的含義、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式，對各選項分別討論，即可得出答案．【詳解】解：①當時，，∴方程必有一個根為，故①錯誤，不符合題意；②方程有兩個不相等的實根，則，那么，故方程必有兩個不相等的實根，故②正確，符合題意；③由c是方程的一個根，得．當，則；當，則不一定等于0，故③不一定正確，不符合題意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正確，符合題意．正確的結(jié)論為②④，故選：B．3．（24-25八年級下·山東泰安·期中）在橋梁結(jié)構(gòu)的力學分析中，工程師們用到一元二次方程來計算結(jié)構(gòu)的受力情況．對于這個方程，有下列說法：①若，則；②若方程的兩根之積為，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；④若是方程的一個根，則一定有成立．這些說法對于準確評估橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性至關(guān)重要，其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)等知識對各選項分別討論，可得答案．【詳解】解：①當時，，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根或兩個不相等的實數(shù)根，，故①錯誤；②若方程的兩根之積為，則，得到，故②正確；③方程有兩個不相等的實根，則，那么，故方程必有兩個不相等的實根，故③正確；④由是方程的一個根，得，即．當，則；當，則不一定等于，故④不一定正確．綜上所述：正確的有個；故選：B．【題型5利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系比較根的大小】例題：（23-24九年級上·廣東深圳·期中）已知，是關(guān)于的方程的兩根，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．，【答案】A【分析】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是A、根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，由此即可得出，結(jié)論A正確；B、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，結(jié)合的值不確定，可得出B結(jié)論不一定正確；C、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，結(jié)論C錯誤；D、由，可得出、異號，結(jié)論D錯誤．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、，，結(jié)論正確，符合題意；B、、是關(guān)于的方程的兩根，，的值不確定，結(jié)論不一定正確，不合題意；C、、是關(guān)于的方程的兩根，，結(jié)論錯誤，不合題意；D、，、異號，結(jié)論D錯誤，不合題意．故選：A．【變式訓練】1.（23-24九年級下·湖南婁底·階段練習）關(guān)于x的方程的兩個根，滿足，且，則m的值為（

）A． B．1 C．3 D．9【答案】C【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)，代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵方程的兩個根，，∴，，∵，∴，，∴，，∴，解得：，，∵，，解得：，故，故選：C．2.（23-24九年級上·福建泉州·階段練習）設(shè)方程有兩個根和，且，那么方程的較大根的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是由根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再設(shè)方程的為，，根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系得出，，從而得出方程的兩根為，，然后由，求出，的取值范圍，從而得出結(jié)論．【詳解】解：方程有兩個根和，，，設(shè)方程的為，，則，，，，，方程的兩根為，，，，，，，，即，方程的較大根的范圍為．故選：C．3.（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了根的判別式、一元二次方程根系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一元二次方程的知識解答．根據(jù)關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，可以得到a的取值范圍，再根據(jù)得出，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再利用分類討論的方法求出a的取值范圍，本題得以解決．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，∴，解得，∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，整理得：，當時，解不等式得：，∴；當時，解不等式得：，∴此時無解；綜上分析可知：．故答案為：．【題型6與一元二次方程根與系數(shù)有關(guān)的解答證明題】例題：（24-25八年級下·北京·期中）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若，是該方程的兩個根，且滿足，求的值．【答案】(1)(2)【知識點】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)方程有實數(shù)根得到，進行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到關(guān)于的方程，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：；（2）∵，是該方程的兩個根，∴，∴，解得：或；由（1）可知：，∴．【變式訓練】1．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）已知關(guān)于的一元二次方程(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若該方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值．【答案】(1)詳見解析(2)【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）利用根的判別式，進行計算即可解答；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系和已知可得，求出，代入方程得：，再求解即可．【詳解】（1），方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2），，代入方程得：，解得：．2．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若該方程有一個根是，求的值．(2)若該方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍．(3)若該方程的兩個實數(shù)根，滿足，求的值．【答案】(1)，；(2)的取值范圍是；(3)的值為．【知識點】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】此題考查了一元二次方程的解，一元二次方程，一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握知識點的應用及正確理解一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根；熟記：一元二次方程的兩個根為，，則，是解題的關(guān)鍵．（）把代入方程得，然后解一元二次方程即可；（）由題意得，然后解不等式即可；（）由題意可得，，則，解得，，再通過即可求出的值．【詳解】（1）解：∵該方程有一個根是，∴，∴，解得，；（2）解：∵該方程有兩個實數(shù)根，∴，解得．即的取值范圍是；（3）解：∵該方程的兩個實數(shù)根，，∴，，∴，化簡得，解得，，由（）可知，，所以的值為．3．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）閱讀材料：如果一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是、，那么，．借助該材料完成下列各題：(1)若、是方程的兩個實數(shù)根，______；______；(2)若、是方程的兩個實數(shù)根，______；______；(3)若、是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，且，求的值．【答案】(1)4，；(2)2，12；(3)．【知識點】通過對完全平方公式變形求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．（1）直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，，然后根據(jù)分式的加法和完全平方公式的變形求解即可；（3）首先由根與系數(shù)的關(guān)系得出，，然后根據(jù)完全平方公式變形求出求的值，最后檢驗即可．【詳解】（1）解：、是方程的兩個實數(shù)根，，，故答案為：4，；（2）解：、是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，故答案為：2，12；（3）解：、是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，，，又∵，，即，解得，或，當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去，．一、單選題1．（2025·河南周口·模擬預測）若是方程的一個根，則另一個根是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)另一個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出另一個根．【詳解】解：設(shè)另一個根為，根據(jù)題意，得，解得．故選：B．2．（2025·廣西崇左·三模）若是方程的兩個根，則的值為（

）A． B．1 C．6 D．【答案】A【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可，解題的關(guān)鍵是熟記：一元二次方程的兩個根為，，則，．【詳解】解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴．故選：A．3．（2025·河北廊坊·二模）已知，是關(guān)于x的方程的兩個根，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查根的判別式，根與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)判別式判斷根的情況，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，判斷兩根的符號，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∵，是關(guān)于x的方程的兩個根，∴；故A正確，B錯誤；∴，∴異號或其中一個的值為0，的值不一定大于0；故C，D錯誤；故選A．4．（2025·貴州貴陽·模擬預測）若方程的兩根分別為，，且，則m的取值范圍為（

）A． B．或 C． D．【答案】D【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，根與系數(shù)的關(guān)系；先根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義求出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，結(jié)合已知條件即可求出m的取值范圍．【詳解】解：將方程整理為，∴，解得：，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，∵，∴，∴，綜上，m的取值范圍為，故選：D．5．（2025·四川南充·二模）如果實數(shù)、（）分別滿足，，則的值等于（

）A． B． C． D．2025【答案】C【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的構(gòu)建一元二次方程的解本題的關(guān)鍵．由，可得，可得，可得，是方程的兩個根，，，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，而，，∴，是方程的兩個根，∴，，∴；故選：C．二、填空題6．（2025·廣東惠州·一模）已知方程的兩根分別為a和b，則．【答案】4【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．一元二次方程的兩根為，則，，據(jù)此進行求解即可．【詳解】解：∵方程的兩根分別為a和b，，∴∴故答案為：4．7．（24-25八年級下·安徽合肥·期中）已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，得到，整體代入法進行計算即可．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，∴；故答案為：．8．（2025·江蘇南通·一模）設(shè)是方程的兩個根，且，則的值為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次根與系數(shù)的關(guān)系，熟知若是一元二次方程的兩實數(shù)根，則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵、是方程的兩個根，∴，∵，∴，∴．故答案為：．9．（2025·四川·二模）若關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，滿足，且，則k的值為．【答案】2【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)所給一元二次方程有實數(shù)根，得出關(guān)于k的不等式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根，，且，，∴，由是方程的兩個根，則，，∵，∴，∴或（不符合題意，舍去），∴，故解得，符合題意，故答案為：2．10．（24-25九年級上·四川成都·期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，若，滿足，則．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)系式可得，，再進一步求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程方程有兩個實數(shù)根，，∴，，∵，∴，解得：，經(jīng)檢驗當時，符合題意，故答案為：．三、解答題11．（2025·湖南長沙·三模）已知是方程的兩根，求下列兩個代數(shù)式的值：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)【知識點】分式的求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的求值，熟知根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再由計算求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再把所求式子去括號得到，據(jù)此計算求解即可．【詳解】（1）解：∵是方程的兩根，∴，∴；（2）解：∵是方程的兩根，∴，∴．12．（2025·江蘇揚州·二模）已知關(guān)于的方程：，其中是常數(shù)．(1)求證：不論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若、是此方程的兩個根，當時，求代數(shù)式的值．【答案】(1)見解析(2)2015【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的定義，正確變形、靈活應用整體思想是解題關(guān)鍵；（1）證明方程的判別式大于0即可；（2）當時，原方程為，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和方程解的定義可得，然后把所求式子變形后再整體代入求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴不論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：當時，原方程為，∵、是此方程的兩個根，∴，∴∴．1