《隨機(jī)事件的概率》參考學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念。2.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，正確理解概率的意義。3.掌握概率的基本性質(zhì)，能利用概率的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的概率問題。二、知識(shí)梳理（一）事件的分類1.必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件，簡(jiǎn)稱必然事件。2.不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件，簡(jiǎn)稱不可能事件。3.隨機(jī)事件：在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱隨機(jī)事件。必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件，確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示。（二）頻率與概率1.頻數(shù)與頻率在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)$n_A$為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例$f_n(A)=frac{n_A}{n}$為事件A出現(xiàn)的頻率。2.概率對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率$f_n(A)$穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率。（三）概率的基本性質(zhì)1.概率的取值范圍：$0leqP(A)leq1$。必然事件的概率$P(A)=1$，不可能事件的概率$P(A)=0$。2.互斥事件：若$AcapB=varnothing$，則稱事件A與事件B互斥。若事件$A_1,A_2,cdots,A_n$彼此互斥，則$P(A_1cupA_2cupcdotscupA_n)=P(A_1)+P(A_2)+cdots+P(A_n)$。3.對(duì)立事件：若$AcapB=varnothing$，且$AcupB=Omega$，則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件。對(duì)立事件的概率$P(A)=1P(overline{A})$，其中$overline{A}$表示A的對(duì)立事件。三、典型例題（一）事件的判斷1.指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：（1）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰融化；（2）某一天內(nèi)電話收到的呼叫次數(shù)為0；（3）擲一枚骰子，向上的一面是5點(diǎn)；（4）一個(gè)三角形的大邊對(duì)的角小，小邊對(duì)的角大；（5）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，$x^2geq0$；（6）導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱。答案：（1）是不可能事件，因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰不會(huì)融化；（2）是隨機(jī)事件，某一天內(nèi)電話收到的呼叫次數(shù)可能為0；（3）是隨機(jī)事件，擲一枚骰子，向上一面可能是5點(diǎn)；（4）是不可能事件，三角形大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角；（5）是必然事件，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，$x^2geq0$恒成立；（6）是必然事件，導(dǎo)體通電時(shí)一定會(huì)發(fā)熱。2.下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？（1）明天本地有雨；（2）2024年舉辦奧運(yùn)會(huì)；（3）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是7；（4）從分別標(biāo)有1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽；（5）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（6）沒有水分，種子發(fā)芽。答案：（1）是隨機(jī)事件，明天本地可能有雨也可能無雨；（2）是必然事件，2024年舉辦了奧運(yùn)會(huì)；（3）是不可能事件，骰子最大點(diǎn)數(shù)是6，不可能擲出7；（4）是隨機(jī)事件，從5張標(biāo)簽中任取一張可能得到4號(hào)簽；（5）是隨機(jī)事件，電話機(jī)1分鐘內(nèi)收到呼叫次數(shù)不確定；（6）是不可能事件，沒有水分種子不能發(fā)芽。（二）頻率與概率3.某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：|射擊次數(shù)n|10|20|50|100|200|500||||||||||擊中靶心次數(shù)m|8|19|44|92|178|455||擊中靶心頻率$f_n(A)$|||||||（1）計(jì)算表中擊中靶心的各個(gè)頻率；（2）這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？答案：（1）根據(jù)頻率公式$f_n(A)=frac{m}{n}$，可得：$f_1(A)=frac{8}{10}=0.8$，$f_2(A)=frac{19}{20}=0.95$，$f_3(A)=frac{44}{50}=0.88$，$f_4(A)=frac{92}{100}=0.92$，$f_5(A)=frac{178}{200}=0.89$，$f_6(A)=frac{455}{500}=0.91$。（2）由（1）知，隨著射擊次數(shù)的增加，擊中靶心的頻率逐漸穩(wěn)定在0.9附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9。4.某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí)，結(jié)果如下表所示：|投籃次數(shù)n|8|10|15|20|30|40|50|||||||||||進(jìn)球次數(shù)m|6|8|12|17|25|32|38||進(jìn)球頻率$f_n(A)$||||||||（1）計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；（2）這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約是多少？答案：（1）$f_1(A)=frac{6}{8}=0.75$，$f_2(A)=frac{8}{10}=0.8$，$f_3(A)=frac{12}{15}=0.8$，$f_4(A)=frac{17}{20}=0.85$，$f_5(A)=frac{25}{30}approx0.83$，$f_6(A)=frac{32}{40}=0.8$，$f_7(A)=frac{38}{50}=0.76$。（2）由表中數(shù)據(jù)可知，隨著投籃次數(shù)的增加，進(jìn)球頻率穩(wěn)定在0.8左右，所以這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約是0.8。（三）概率的基本性質(zhì)5.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.24，0.28，0.19，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）至少射中8環(huán)的概率；（3）射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率。答案：設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中9環(huán)”為事件B，“射中8環(huán)”為事件C。（1）因?yàn)锳與B互斥，所以$P(AcupB)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52$。（2）因?yàn)锳、B、C彼此互斥，所以$P(AcupBcupC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.24+0.28+0.19=0.71$。（3）“射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)”與“至少射中8環(huán)”是對(duì)立事件，所以“射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)”的概率$P=1P(AcupBcupC)=10.71=0.29$。6.某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39，32，33個(gè)成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖（這里省略圖，不影響解題）所示。隨機(jī)選取1個(gè)成員：（1）他至少參加2個(gè)小組的概率是多少？（2）他參加不超過2個(gè)小組的概率是多少？答案：設(shè)“參加數(shù)學(xué)小組”為事件A，“參加英語小組”為事件B，“參加音樂小組”為事件C。（1）至少參加2個(gè)小組的概率為$P=frac{11+10+7+8}{39+32+33111072times8}=frac{36}{76}=frac{9}{19}$。（2）“參加不超過2個(gè)小組”的對(duì)立事件是“參加3個(gè)小組”，“參加3個(gè)小組”的概率為$frac{8}{39+32+33111072times8}=frac{8}{76}=frac{2}{19}$，所以“參加不超過2個(gè)小組”的概率為$1frac{2}{19}=frac{17}{19}$。（四）互斥事件與對(duì)立事件7.判斷下列給出的每對(duì)事件，是互斥事件還是對(duì)立事件，并說明理由。從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從110各10張）中，任取一張。（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”。答案：（1）是互斥事件，不是對(duì)立事件。理由：從40張撲克牌中任取一張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件，但除了紅桃和黑桃外，還有方塊和梅花，所以不是對(duì)立事件。（2）是互斥事件，也是對(duì)立事件。理由：“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”不可能同時(shí)發(fā)生，且所有牌要么是紅色要么是黑色，二者必有一個(gè)發(fā)生，所以既是互斥事件又是對(duì)立事件。（3）不是互斥事件，也不是對(duì)立事件。理由：當(dāng)抽出的牌點(diǎn)數(shù)為10時(shí)，既滿足“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”又滿足“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”，所以不是互斥事件，更不是對(duì)立事件。8.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對(duì)立事件？事件A：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán)。答案：事件A與事件C是互斥事件，也是對(duì)立事件；事件B與事件C是互斥事件；事件C與事件D是互斥事件，也是對(duì)立事件。理由：事件A與事件C不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生；事件B與事件C不可能同時(shí)發(fā)生；事件C與事件D不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生。四、課堂練習(xí)9.下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）A.長度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形B.長度為2，3，4的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形C.方程$x^2+2x+3=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)根D.函數(shù)$y=log_ax$（$agt0$且$aneq1$）在定義域上為增函數(shù)答案：D。A是必然事件，因?yàn)?3^2+4^2=5^2$，滿足三角形三邊關(guān)系；B是不可能事件，$2^2+3^2neq4^2$；C是不可能事件，$Delta=2^24times3=8lt0$，方程無實(shí)根；D是隨機(jī)事件，當(dāng)$agt1$時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)$0ltalt1$時(shí)函數(shù)為減函數(shù)。10.下列說法正確的是（）A.任何事件的概率總是在（0，1）之間B.頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率D.概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定答案：C。必然事件概率為1，不可能事件概率為0，所以A錯(cuò)誤；頻率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，B錯(cuò)誤；概率是客觀存在的，不是隨機(jī)的，D錯(cuò)誤；隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率會(huì)越來越接近概率，C正確。11.若事件A和B是互斥事件，且$P(A)=0.1$，則$P(B)$的取值范圍是（）A.[0，0.9]B.[0.1，0.9]C.(0，0.9]D.[0，1]答案：A。因?yàn)槭录嗀和B是互斥事件，所以$P(AcupB)=P(A)+P(B)leq1$，又$P(A)=0.1$，所以$P(B)leq10.1=0.9$，且概率不能為負(fù)，所以$P(B)in[0,0.9]$。12.已知事件A，B滿足$AcapB=varnothing$，$AcupB=Omega$，若$P(A)=0.3$，則$P(B)=$______。答案：0.7。因?yàn)?AcapB=varnothing$，$AcupB=Omega$，所以A與B互為對(duì)立事件，所以$P(B)=1P(A)=10.3=0.7$。13.從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，若是，再判斷它們是不是對(duì)立事件：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品。答案：（1）是互斥事件，不是對(duì)立事件。理由：“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”不可能同時(shí)發(fā)生，但還有可能兩件都是正品，所以是互斥事件不是對(duì)立事件。（2）不是互斥事件。理由：“至少有1件次品”包含了“全是次品”的情況，所以不是互斥事件。（3）不是互斥事件。理由：“至少有1件正品”和“至少有1件次品”可能同時(shí)發(fā)生，比如一件正品一件次品，所以不是互斥事件。（4）是互斥事件，也是對(duì)立事件。理由：“至少有1件次品”和“全是正品”不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，所以既是互斥事件又是對(duì)立事件。14.某人在打靶時(shí)，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是（）A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶答案：C?！爸辽儆?次中靶”包含“1次中靶”和“2次都中靶”，其對(duì)立事件是“2次都不中靶”。15.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D.“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”答案：D。A不是互斥事件，“至少有一個(gè)黑球”包含“都是黑球”；B是對(duì)立事件；C不是互斥事件，“至少有一個(gè)黑球”和“至少有一個(gè)紅球”可能同時(shí)發(fā)生；D是互斥事件，不是對(duì)立事件，除了“恰有一個(gè)黑球”和“恰有兩個(gè)黑球”，還有“恰有兩個(gè)紅球”的情況。16.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2，0.3，0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為（）A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9答案：C?！安怀^8環(huán)”的對(duì)立事件是“超過8環(huán)”，“超過8環(huán)”即射中9環(huán)或10環(huán)，其概率為$0.2+0.3=0.5$，所以“不超過8環(huán)”的概率為$10.5=0.6$。17.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶答案：D。“至少有一次中靶”包含“一次中靶”和“兩次都中靶”，其互斥事件是“兩次都不中靶”。18.若A，B為互斥事件，$P(A)=0.4$，$P(AcupB)=0.7$，則$P(B)=$______。答案：0.3。因?yàn)锳，B為互斥事件，所以$P(AcupB)=P(A)+P(B)$，則$P(B)=P(AcupB)P(A)=0.70.4=0.3$。19.從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，則事件“這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”與事件“這3個(gè)數(shù)都是奇數(shù)”（）A.是對(duì)立事件B.是互斥事件但不是對(duì)立事件C.不是互斥事件D.以上都不對(duì)答案：B。“這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”包含“2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)”和“3個(gè)偶數(shù)”，“這3個(gè)數(shù)都是奇數(shù)”與“這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件，但除了這兩種情況還有“2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)”，所以不是對(duì)立事件。20.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%，則抽驗(yàn)一只是正品（甲級(jí)）的概率為（）A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08答案：C?！俺轵?yàn)一只是正品（甲級(jí)）”的對(duì)立事件是“抽驗(yàn)一只是次品（乙級(jí)或丙級(jí)）”，“抽驗(yàn)一只是次品”的概率為$5%+3%=8%$，所以“抽驗(yàn)一只是正品（甲級(jí)）”的概率為$18%=92%=0.92$。21.某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的三所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派一名教師，則不同的分配方法有（本題與隨機(jī)事件概率無關(guān)，應(yīng)舍去）22.已知事件A與B互斥，且$P(A)=0.3$，$P(B)=0.6$，則$P(AcupB)=$______。答案：0.9。因?yàn)锳與B互斥，所以$P(AcupB)=P(A)+P(B)=0.3+0.6=0.9$。23.若事件A，B滿足$P(AcupB)=P(A)+P(B)=1$，則事件A與B的關(guān)系是（）A.互斥不對(duì)立B.對(duì)立不互斥C.互斥且對(duì)立D.以上答案都不對(duì)答案：D。僅由$P(AcupB)=P(A)+P(B)=1$不能確定A與B是互斥且對(duì)立，有可能A、B不是互斥事件，比如在幾何概型中，整個(gè)區(qū)域是一個(gè)圓，A是圓的一部分，B是圓的另一部分，且$P(A)+P(B)=1$，但A、B可能有交集。24.從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)的概率為（）A.$frac{1}{5}$B.$frac{2}{5}$C.$frac{3}{5}$D.$frac{4}{5}$答案：B。從5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)的組合數(shù)為$C_5^2=frac{5times4}{2times1}=10$種。兩數(shù)和為偶數(shù)包含“兩數(shù)均為奇數(shù)”和“兩數(shù)均為偶數(shù)”，“兩數(shù)均為奇數(shù)”的情況有$C_3^2=3$種，“兩數(shù)均為偶數(shù)”的情況有$C_2^2=1$種，共$3+1=4$種，所以概率為$frac{4}{10}=frac{2}{5}$。25.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A為“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，則$P(AcupB)=$______。答案：$frac{2}{3}$。事件A包含1，3，5點(diǎn)，$P(A)=frac{3}{6}=frac{1}{2}$；事件B包含1，2，3點(diǎn)，$P(B)=frac{3}{6}=frac{1}{2}$；$AcapB$包含1，3點(diǎn)，$P(AcapB)=frac{2}{6}=frac{1}{3}$。根據(jù)$P(AcupB)=P(A)+P(B)P(AcapB)=frac{1}{2}+frac{1}{2}frac{1}{3}=frac{2}{3}$。26.某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：|年降水量（mm）|[100，150)|[150，200)|[200，250)|[250，300]||||||||概率|0.12|0.25|0.16|0.14|（1）求年降水量在[100，200）（mm）范圍內(nèi)的概率；（2）求年降水量在[150，300]（mm）范圍內(nèi)的概率。答案：（1）設(shè)“年降水量在[100，150）”為事件A，“年降水量在[150，200）”為事件B，A與B互斥，所以年降水量在[100，200）范圍內(nèi)的概率$P=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37$。（2）設(shè)“年降水量在[150，200）”為事件B，“年降水量在[200，250）”為事件C，“年降水量在[250，300]”為事件D，B、C、D彼此互斥，所以年降水量在[150，300]范圍內(nèi)的概率$P=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55$。27.袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是$frac{1}{3}$，得到黑球或黃球的概率是$frac{5}{12}$，得到黃球或綠球的概率也是$frac{5}{12}$，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？答案：設(shè)“得到紅球”為事件A，“得到黑球”為事件B，“得到黃球”為事件C，“得到綠球”為事件D。因?yàn)锳、B、C、D彼此互斥，且$P(A)=frac{1}{3}$，$P(BcupC)=frac{5}{12}$，$P(CcupD)=frac{5}{12}$，$P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1$，所以$P(B)+P(C)+P(D)=1P(A)=1frac{1}{3}=frac{2}{3}$。由$P(BcupC)+P(CcupD)=P(B)+2P(C)+P(D)=frac{5}{12}+frac{5}{12}=frac{5}{6}$，用$P(B)+2P(C)+P(D)[P(B)+P(C)+P(D)]$可得$P(C)=frac{5}{6}frac{2}{3}=frac{1}{6}$。因?yàn)?P(BcupC)=P(B)+P(C)=frac{5}{12}$，所以$P(B)=frac{5}{12}frac{1}{6}=frac{1}{4}$。因?yàn)?P(CcupD)=P(C)+P(D)=frac{5}{12}$，所以$P(D)=frac{5}{12}frac{1}{6}=frac{1}{4}$。28.某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得。1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)。設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：（1）$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$；（2）1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；（3）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率。答案：（1）$P(A)=frac{1}{1000}$，$P(B)=frac{10}{1000}=frac{1}{100}$，$P(C)=frac{50}{1000}=frac{1}{20}$。（2）1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)，設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則$P(M)=P(A)+P(B)+P(C)=frac{1}{1000}+frac{1}{100}+frac{1}{20}=frac{1+10+50}{1000}=frac{61}{1000}$。（3）“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”的對(duì)立事件是“中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”，設(shè)“中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為事件N，則$P(N)=P(A)+P(B)=frac{1}{1000}+frac{1}{100}=frac{11}{1000}$，所以“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”的概率為$1P(N)=1frac{11}{1000}=frac{989}{1000}$。29.某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：|醫(yī)生人數(shù)|0|1|2|3|4|不少于5人||||||||||概率|0.1|0.16|0.3|0.2|0.2|0.04|（1）求派出醫(yī)生至多2人的概率；（2）求派出醫(yī)生至少2人的概率。答案：（1）設(shè)“派出醫(yī)生人數(shù)為0”為事件A，“派出醫(yī)生人數(shù)為1”為事件B，“派出醫(yī)生人數(shù)為2”為事件C，A、B、C彼此互斥，所以派出醫(yī)生至多2人的概率$P=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56$。（2）“派出醫(yī)生至少2人”的對(duì)立事件是“派出醫(yī)生人數(shù)為0或1”，“派出醫(yī)生人數(shù)為0或1”的概率為$P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26$，所以派出醫(yī)生至少2人的概率為$10.26=0.74$。30.從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取一張，給出如下四組事件：①“這張牌是紅心”與“這張牌是方塊”；②“這張牌是紅色牌”與“這張牌是黑色牌”；③“這張牌牌面是2，3，4，6，10之一”與“這張牌是方塊”；④“這張牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”與“這張牌牌面是A，K，Q，J之一”。其中互為對(duì)立事件的有______（寫出所有正確的編號(hào)）。答案：②④。①是互斥事件，不是對(duì)立事件；②是對(duì)立事件，因?yàn)閾淇伺浦挥屑t色和黑色兩種；③不是互斥事件，比如方塊2既滿足“這張牌牌面是2，3，4，6，10之一”又滿足“這張牌是方塊”；④是對(duì)立事件，牌面要么是210之一，要么是A，K，Q，J之一。31.某家庭電話，打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為0.1，響第二聲時(shí)被接的概率為0.2，響第三聲時(shí)被接的概率為0.3，響第四聲時(shí)被接的概率為0.3，則電話在響第五聲之前被接的概率為______。答案：0.9。電話在響第五聲之前被接包含響第一聲、第二聲、第三聲、第四聲時(shí)被接，這幾個(gè)事件彼此互斥，所以概率為$0.1+0.2+0.3+0.3=0.9$。32.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是$frac{1}{2}$，甲獲勝的概率是$frac{1}{3}$，則甲不輸?shù)母怕蕿開_____。答案：$frac{5}{6}$。甲不輸包含兩人下成和棋和甲獲勝，這兩個(gè)事件互斥，所以甲不輸?shù)母怕蕿?frac{1}{2}+frac{1}{3}=frac{3+2}{6}=frac{5}{6}$。33.某班有學(xué)生36人，現(xiàn)從中選出2人去完成一項(xiàng)任務(wù)，設(shè)每個(gè)人當(dāng)選是等可能的，若選出的2人性別相同的概率是$frac{1}{2}$，求該班男、女生的人數(shù)。答案：設(shè)該班男生有x人，則女生有36x人。從36人中選2人的組合數(shù)為$C_{36}^2=frac{36times35}{2times1}=630$。選出2名男生的組合數(shù)為$C_x^2=frac{x(x1)}{2}$，選出2名女生的組合數(shù)為$C_{36x}^2=frac{(36x)(35x)}{2}$。因?yàn)檫x出的2人性別相同的概率是$frac{1}{2}$，所以$frac{C_x^2+C_{36x}^2}{C_{36}^2}=frac{1}{2}$，即$frac{frac{x(x1)}{2}+frac{(36x)(35x)}{2}}{630}=frac{1}{2}$，化簡(jiǎn)得$x^236x+315=0$，解得$x=15$或$x=21$。所以該班男生15人，女生21人或男生21人，女生15人。34.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.24，0.28，0.19，求這個(gè)射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）至少射中8環(huán)的概率；（3）射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率。答案：（1）設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中9環(huán)”為事件B，A與B互斥，所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率$P(AcupB)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52$。（2）設(shè)“射中8環(huán)”為事件C，A、B、C彼此互斥，所以至少射中8環(huán)的概率$P(AcupBcupC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.24+0.28