一、解答題1．（了解概念）在平面直角坐標(biāo)系中，若，式子的值就叫做線段的“勾股距”，記作．同時(shí)，我們把兩邊的“勾股距”之和等于第三邊的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．（理解運(yùn)用）在平面直角坐標(biāo)系中，．（1）線段的“勾股距”；（2）若點(diǎn)在第三象限，且，求并判斷是否為“等距三角形”﹔（拓展提升）（3）若點(diǎn)在軸上，是“等距三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．解析：（1）5；（2）dAC=11，△ABC不是為“等距三角形”；（3）m≥4【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的直角距離的定義，結(jié)合O、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的直角距離的定義，用含x、y的代數(shù)式表示出來(lái)d（O，Q）=4，結(jié)合點(diǎn)Q（x，y）在第一象限，即可得出結(jié)論；（3）由點(diǎn)N在直線y=x+3上，設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m+3），通過(guò)尋找d（M，N）的最小值，得出點(diǎn)M（2，-1）到直線y=x+3的直角距離．【詳解】解：（1）由“勾股距”的定義知：dOA=|2-0|+|3-0|=2+3=5，故答案為：5；（2）∵dAB=|4-2|+|2-3|=2+1=3，∴2dAB=6，∵點(diǎn)C在第三象限，∴m＜0，n＜0，dOC=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-（m+n），∵dOC=2dAB，∴-（m+n）=6，即m+n=-6，∴dAC=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-（m+n）=5+6=11，dBC=|4-m|+|2-m|=4-m+2-n=6-（m+n）=6+6=12，∵5+11≠12，11+12≠5，12+5≠11，∴△ABC不是為“等距三角形”；（3）點(diǎn)C在x軸上時(shí)，點(diǎn)C（m，0），則dAC=|2-m|+3，dBC=|4-m|+2，①當(dāng)m＜2時(shí)，dAC=2-m+3=5-m，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，∴5-m+6-m=11-2m=3，解得：m=4（不合題意），又∵5-m+3=8-m≠6-m，②當(dāng)2≤m＜4時(shí)，dAC=m-2+3=m+1，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+6-m=7≠3，6-m+3=m+1，解得：m=4（不和題意），③當(dāng)m≥4時(shí)，dAC=m+1，dBC=m-2，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+m-2=3，解得：m=4，m-2+3=m+1恒成立，∴m≥4時(shí)，△ABC是“等距三角形”，綜上所述：△ABC是“等距三角形”時(shí)，m的取值范圍為：m≥4．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，運(yùn)用“勾股距”和“等距三角形”解題．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD（點(diǎn)D與點(diǎn)O重合）和邊長(zhǎng)為4的正方形EFGH的邊CO和GH都在x軸上，且點(diǎn)H坐標(biāo)為（7，0）．正方形ABCD以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著x軸向右運(yùn)動(dòng)，記正方形ABCD和正方形EFGH重疊部分的面積為S，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，且t＜4．（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（2）如圖2，正方形ABCD向右運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在線段FE上，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從F到E運(yùn)動(dòng)．連接AP，AE．①求t為何值時(shí)，AP所在直線垂直于x軸；②求t為何值時(shí)，S＝S△APE．解析：（1）（3，4）；（2）①t=時(shí)，AP所在直線垂直于x軸；②當(dāng)t為或時(shí)，S＝S△APE．【分析】（1）根據(jù)直角坐標(biāo)系得出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；（2）①根據(jù)AP所在直線垂直于x軸，得出關(guān)于t的方程，解答即可；②分和兩種情況，利用面積公式列出方程即可求解．【詳解】（1）由直角坐標(biāo)系可得：F坐標(biāo)為：（3，4）；故答案為：（3，4）；（2）①要使AP所在直線垂直于x軸．如圖1，只需要Px＝Ax，則t+3＝3t，解得：，所以即時(shí)，AP所在直線垂直于x軸；②由題意知，OH＝7，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，所以要分以下兩種情況討論：情況一：當(dāng)時(shí)，GD＝3t﹣3，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×GD＝，即：2×（3t﹣3）＝，解得：；情況二：當(dāng)時(shí)，如圖2，HD＝3t﹣7，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×CH＝，即：2×[2﹣（3t﹣7）]＝，解得：，綜上所述，當(dāng)t為或時(shí)，S＝S△APE．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的移動(dòng)，一元一次方程的應(yīng)用等問(wèn)題，理解題意，分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．3．如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），D為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不與B，O重合，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，連接BE交y軸于點(diǎn)M．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，0），求點(diǎn)E的坐標(biāo)．②求證：M為BE的中點(diǎn)．③探究：若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的值是否是定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線段AO，DO，AM之間的數(shù)量關(guān)系（不需要說(shuō)明理由）．解析：（1）①E（3，﹣2）②見(jiàn)解析；③，理由見(jiàn)解析；（2）OD+OA＝2AM或OA﹣OD＝2AM【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于H．證明△DOA≌△AHE（AAS）可得結(jié)論．②證明△BOM≌△EHM（AAS）可得結(jié)論．③是定值，證明△BOM≌△EHM可得結(jié)論．（2）根據(jù)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)分類(lèi)討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)即可分別求出結(jié)論．【詳解】解：（1）①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于H．∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），∴OA＝OB＝3，OD＝5，∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∴△DOA≌△AHE（AAS），∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴E（3，﹣2）．②∵EH⊥y軸，∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴BM＝EM．③結(jié)論：＝．理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，∵OA＝OB，∴BD＝OH，∵△BOM≌△EHM，∴OM＝MH，∴OM＝OH＝BD．（2）結(jié)論：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE∴OM=MH，OD=AH∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA∴BD=OH∴BD＝2OM，∴OD﹣OA＝2（AM﹣AO），∴OD+OA＝2AM．當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∵AD=AE∴△DOA≌△AHE（AAS），∴EH=AO=3=OB，OD=AH∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴OM＝MH∴OA＋OD=OA＋AH=OH=OM＋MH=2MH=2（AM＋AH）=2（AM＋OD）整理可得OA﹣OD＝2AM．綜上：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．4．如圖：在四邊形ABCD中，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：（-2，0）、（0，6）、（4，4）、（2，0）現(xiàn)將四邊形ABCD先向上平移1個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，平移后的四邊形是A'B'C′D'（1）請(qǐng)畫(huà)出平移后的四邊形A'B'C′D'（不寫(xiě)畫(huà)法），并寫(xiě)出A'、B'、C′、D'四點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）若四邊形內(nèi)部有一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）寫(xiě)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)．（3）求四邊形ABCD的面積．解析：（1）圖見(jiàn)解析，A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）P′的坐標(biāo)為：（a-2，b+1）；（3）四邊形ABCD的面積為22．【分析】（1）直接利用平移畫(huà)出圖形，再根據(jù)圖形寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；（2）利用平移規(guī)律進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律：向上平移1個(gè)單位，縱坐標(biāo)加1；向左平移2個(gè)單位，橫坐標(biāo)減2；（3）利用四邊形ABCD所在的最小矩形面積減去周?chē)切蚊娣e進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）如圖所示：A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）若四邊形內(nèi)部有一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）寫(xiě)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：（a-2，b+1）；（3）四邊形ABCD的面積為：6×6-×2×6-×2×4-×2×4=22．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移變換以及坐標(biāo)系內(nèi)四邊形面積求法，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，將線段平移至，點(diǎn)在軸正半軸上，，且．連接，，，．（1）寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，，，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．解析：（1），；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；（3）之間的數(shù)量關(guān)系，或，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由二次根式成立的條件可得a和b的值，由平移的性質(zhì)確定BC∥OA，且BC=OA，可得結(jié)論；（2）分點(diǎn)D在線段OA和在OA延長(zhǎng)線兩種情況進(jìn)行計(jì)算；（3）分點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，α+β=θ和在OA延長(zhǎng)線α-β=θ兩種情況進(jìn)行計(jì)算；【詳解】解：（1）∵，∴a=2，b=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），∵A（4，0），∴OA=BC=4，由平移得：BC∥x軸，∴B（6，3），故答案為：，；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為∵△ODC的面積是△ABD的面積的3倍∴∴①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，由，得解得∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在OA得延長(zhǎng)線上時(shí)，由，得解得∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．（3）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，與CB交于點(diǎn)E．由平移知OC∥AB，∴DE∥OC∴又∴．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在OA得延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，與CB得延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E由平移知OC∥AB，∴DE∥OC∴又∴．綜上，之間的數(shù)量關(guān)系，或．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形和三角形的綜合題，點(diǎn)的坐標(biāo)和三角形面積的計(jì)算方法，平移得性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是分點(diǎn)D在線段OA上，和OA延長(zhǎng)線上兩種情況．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)分別向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn).連接.(1)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)并求出四邊形的面積.(2)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得的面積是面積的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)若點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系.解析：(1)點(diǎn)，點(diǎn)；12；(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為和；(3)∠OFC=∠FOB-∠FCD，見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，2）；（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)△DEC的面積是△DEB面積的2倍和三角形面積公式得到，解得x=1或x=7，然后寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)F在線段BD上，作FM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)由MF∥AB得∠2=∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，則∠1=∠FCD，所以∠OFC=∠FOB+∠FCD；同樣得到當(dāng)點(diǎn)F在線段DB的延長(zhǎng)線上，∠OFC=∠FCD-∠FOB；當(dāng)點(diǎn)F在線段BD的延長(zhǎng)線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-2，0），（4，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B分別向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，2）；四邊形ABDC的面積=2×（4+2）=12；（2）存在．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），∵△DEC的面積是△DEB面積的2倍，，解得x=1或x=7，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）和（7，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段BD上，作FM∥AB，如圖1，∵M(jìn)F∥AB，∴∠2=∠FOB，∵CD∥AB，∴CD∥MF，∴∠1=∠FCD，∴∠OFC=∠1+∠2=∠FOB+∠FCD；當(dāng)點(diǎn)F在線段DB的延長(zhǎng)線上，作FN∥AB，如圖2，∵FN∥AB，∴∠NFO=∠FOB，∵CD∥AB，∴CD∥FN，∴∠NFC=∠FCD，∴∠OFC=∠NFC-∠NFO=∠FCD-∠FOB；同樣得到當(dāng)點(diǎn)F在線段BD的延長(zhǎng)線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到線段的長(zhǎng)和線段與坐標(biāo)軸的關(guān)系．也考查了平行線的性質(zhì)和分類(lèi)討論的思想．7．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足+|b﹣2|＝0，D為線段AC的中點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．（1）則A點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)C的坐標(biāo)為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿y軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．問(wèn)：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠FOC＝∠FCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，連OG，使得∠AOG＝∠AOF．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連CE交OF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)確定∠OHC，∠ACE和∠OEC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．解析：（1），，；（2）存在，；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a，b的值，得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，再運(yùn)用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可得CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根據(jù)S△ODP=S△ODQ，列方程求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AC交x軸于點(diǎn)P，先證明OG∥AC，再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線性質(zhì)，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入可得．【詳解】解：（1），，，，，，，設(shè)，為線段的中點(diǎn)．，，，故答案為：，，；（2）存在，．由條件可知：點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)需要時(shí)間為2秒，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)需要時(shí)間2秒，，點(diǎn)在線段上，，，，，，，，，．（3）如圖2，，，，，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，則，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等，是一道三角形綜合題，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．8．已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若的平分線交線段于點(diǎn)，連接，若，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過(guò)點(diǎn)M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的含義得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出；設(shè)，根據(jù)角的和差可得出，結(jié)合已知條件可求得，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：；（2）過(guò)點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過(guò)點(diǎn)M作，，，AF平分FH平分設(shè)，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．9．已知直線AB//CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?2°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按逆時(shí)針?lè)较蛎棵?°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間10秒時(shí)，PB'與QC'的位置關(guān)系為；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)15秒，射線PB才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為多少秒時(shí)，PB′//QC′．解析：（1）PB′⊥QC′；（2）當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′【分析】（1）求出旋轉(zhuǎn)10秒時(shí)，∠BPB′和∠CQC′的度數(shù)，設(shè)PB′與QC′交于O，過(guò)O作OE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠POE和∠QOE的度數(shù)，進(jìn)而得結(jié)論；（2）分三種情況：①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，③當(dāng)30＜t＜45時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．【詳解】解：（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，過(guò)O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD，∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，∴∠POQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案為：PB′⊥QC′；（2）①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，如圖，則∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；③當(dāng)30＜t≤45時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問(wèn)題．10．如圖，直線，點(diǎn)是、之間（不在直線，上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若與都是銳角，請(qǐng)寫(xiě)出與，之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）把直角三角形如圖2擺放，直角頂點(diǎn)在兩條平行線之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接，有，求的值；（3）如圖3，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）75°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和平角的定義解答即可．（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】解：（1）∠C=∠1+∠2，證明：過(guò)C作l∥MN，如下圖所示，∵l∥MN，∴∠4=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，∴l(xiāng)∥PQ，∴∠3=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠3+∠4=∠1+∠2，∴∠C=∠1+∠2；（2）∵∠BDF=∠GDF，∵∠BDF=∠PDC，∴∠GDF=∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，∴∠CDG+2∠PDC=180°，∴∠PDC=90°-∠CDG，由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，∴∠AEN=∠CEM，∴，（3）設(shè)BD交MN于J．∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，∵PQ∥MN，∴∠BJA=∠PBD=50°，∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行找出角度之間的關(guān)系．11．汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．（1）求、的值；（2）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；（3）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射出的光束才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行?解析：（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒【分析】（1）解出式子即可；（2）根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)（2）中給出的條件得出方程式，求出t的值，進(jìn)而求出的度數(shù)；（3）根據(jù)燈B的要求，t<150，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)A可以轉(zhuǎn)3次，分情況討論．【詳解】解：（1）．又，．，；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，如圖，作，而，，，，，，（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行．依題意得①當(dāng)時(shí)，兩河岸平行，所以?xún)晒饩€平行，所以所以，即：，解得；②當(dāng)時(shí)，兩光束平行，所以?xún)珊影镀叫?，所以所以，，解得；③?dāng)時(shí)，圖大概如①所示，解得（不合題意）綜上所述，當(dāng)秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)睛】這道題考察的是平行線的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)平行線的性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角列出方程是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知，是的平分線．（1）若平分，求的度數(shù)；（2）若在的內(nèi)部，且于，求證：平分；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，但與、始終有交點(diǎn)，問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．解析：（1）90°；（2）見(jiàn)解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據(jù)垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過(guò)，分別作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解．【詳解】解（1），分別平分和，，，，；（2），，即，，是的平分線，，，又，，又在的內(nèi)部，平分；（3）如圖，不發(fā)生變化，，過(guò)，分別作，，則有，，，，，，，，，，，，不變．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．13．已知，．點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．（1）如圖1中，、、的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）；如圖2中，、、的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，平分，平分，且，求的度數(shù)；（3）如圖4中，，平分，平分，且，則的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出么的度數(shù)．解析：（1）∠BME＝∠MEN?∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小沒(méi)發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）過(guò)E作EHAB，易得EHABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過(guò)F作FHAB，易得FHABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF?∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，進(jìn)而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ＝∠BME，進(jìn)而可求解．【詳解】解：（1）過(guò)E作EHAB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵ABCD，∴HECD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN?∠END．如圖2，過(guò)F作FHAB，∴∠BMF＝∠MFK，∵ABCD，∴FHCD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK?∠KFN＝∠BMF?∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN?∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN?∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF?∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF?∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF?∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒(méi)發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQNP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN?∠NEQ＝（∠BME＋∠END）?∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖1，點(diǎn)在直線、之間，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且，平分交直線于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)是直線、外一點(diǎn)，且滿足，，與交于點(diǎn)．已知，且，則的度數(shù)為_(kāi)_____（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，用含的式子表示）．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）10°；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出結(jié)合已知條件，得出即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)E作HE∥CD，設(shè)由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，由平行線的性質(zhì)，得出再由平分，得出則，則可列出關(guān)于x和y的方程，即可求得x，即的度數(shù)；（3）過(guò)點(diǎn)N作NP∥CD，過(guò)點(diǎn)M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，根據(jù)和，得出根據(jù)CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根據(jù)NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因?yàn)?，代入的式子即可求出．【詳解】?）過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，如圖，∵EF∥CD,∴∴∵,∴∴EF∥AB，∴CD∥