線性系統(tǒng)理論全PPT課件第一頁，共309頁。第一章緒論第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性第五章系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性第六章線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合第一部分線性系統(tǒng)的時(shí)間域理論第二部分線性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論第二頁，共309頁。第一章緒論

線性系統(tǒng)理論是系統(tǒng)控制理論的一個(gè)最為基礎(chǔ)和最為成熟的分支。它以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。控制理論發(fā)展概況：第一階段20世紀(jì)40—60年代經(jīng)典控制理論第二階段20世紀(jì)60—70年代現(xiàn)代控制理論第三階段20世紀(jì)70—

大系統(tǒng)理論（廣度）智能控制理論（深度）第三頁，共309頁。第一章緒論

1.1系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個(gè)“整體”。系統(tǒng)具有如下3個(gè)基本特征:(1)整體性(2)抽象性作為系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象，系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理，自然和社會(huì)含義，而把它抽象為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。(3)相對(duì)性在系統(tǒng)的定義中,所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對(duì)屬性。第四頁，共309頁。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：所謂動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，就是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間演化的一類系統(tǒng)——?jiǎng)恿W(xué)系統(tǒng)。系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分類從機(jī)制的角度

從特性的角度

從作用時(shí)間類型的角度

uxy連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)的空間分布類型

本書中僅限于研究線性系統(tǒng)和集中參數(shù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論所研究的主體，其行為有各類變量間的關(guān)系來表征。第五頁，共309頁。線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象為線性系統(tǒng)，其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理。若表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為L系統(tǒng)模型是對(duì)系統(tǒng)或其部分屬性的一個(gè)簡(jiǎn)化描述①系統(tǒng)模型的作用：仿真、預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)、綜合和設(shè)計(jì)控制器②模型類型的多樣性：用數(shù)學(xué)模型描述、用文字、圖表、數(shù)據(jù)或計(jì)算機(jī)程序表示③數(shù)學(xué)模型的基本性：著重研究可用數(shù)學(xué)模型描述的一類系統(tǒng)④建立數(shù)學(xué)模型的途徑：解析、辨識(shí)⑤系統(tǒng)建模的準(zhǔn)則：折衷線性系統(tǒng)理論研究對(duì)象是(線性的)模型系統(tǒng)，不是物理系統(tǒng)。線性系統(tǒng)系統(tǒng)模型第六頁，共309頁。1.2線性系統(tǒng)理論的基本概貌線性系統(tǒng)理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務(wù)的學(xué)科。主要內(nèi)容:數(shù)學(xué)模型→分析理論→綜合理論發(fā)展過程:經(jīng)典線性系統(tǒng)理論→現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論主要學(xué)派:

狀態(tài)空間法幾何理論把對(duì)線性系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中的相應(yīng)幾何問題,并采用幾何語言來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述,分析和綜合代數(shù)理論把系統(tǒng)各組變量間的關(guān)系看作為是某些代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系,從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)線性系統(tǒng)描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之轉(zhuǎn)化為純粹的一些抽象代數(shù)問題多變量頻域方法

線性系統(tǒng)理論著重研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性和方法，以建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關(guān)系。

第七頁，共309頁。第一部分:線性系統(tǒng)時(shí)間域理論

第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間

線性系統(tǒng)時(shí)間域理論是以時(shí)間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時(shí)間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和特性的一種理論和方法。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述1/4,1/50第八頁，共309頁。(1).系統(tǒng)的外部描述外部描述常被稱作為輸出—輸入描述例如.對(duì)SISO線性定常系統(tǒng):時(shí)間域的外部描述:復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式,需要由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程表征,——狀態(tài)方程和輸出方程(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較

一般的說外部描述只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測(cè)的部分.

內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性.2/4,2/50第九頁，共309頁。2.1基本概念2.1.1定義(1)狀態(tài)：系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況(2)狀態(tài)變量：能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小一組變量：表示系統(tǒng)時(shí)刻的狀態(tài)當(dāng)時(shí)的輸入給定，且上述時(shí)的行為狀態(tài)確定時(shí)，狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng)初始在第十頁，共309頁。(5)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微分方程（組）：作為分量的向量，即(3)狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量為(4)狀態(tài)空間:以狀態(tài)變量維空間。標(biāo)軸構(gòu)成的坐第十一頁，共309頁。輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(6)(7)狀態(tài)空間表達(dá)式：(5)+(6).狀態(tài)變量的特點(diǎn)：(1)獨(dú)立性：狀態(tài)變量之間線性獨(dú)立. (2)多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實(shí) 際上存在無窮多種方案.(3)等價(jià)性：兩個(gè)狀態(tài)向量之間只差一個(gè)非奇異變換.第十二頁，共309頁。(4)現(xiàn)實(shí)性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量.(5)抽象性：狀態(tài)變量可以沒有直觀的物理意義.2.1.2狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式：(1)線性系統(tǒng)第十三頁，共309頁。2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例以上方程可表為形如描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。1/7,5/50微分方程--------狀態(tài)空間描述？

第十四頁，共309頁。2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述以上方程可表為形如第十五頁，共309頁。機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例上式可表為形如2/7,6/50第十六頁，共309頁。連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)3/7,7/50第十七頁，共309頁。連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖4/7,8/50第十八頁，共309頁。人口分布問題狀態(tài)空間描述的列寫示例假設(shè)某個(gè)國家,城市人口為107,鄉(xiāng)村人口為9x107,每年4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村,2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市,整個(gè)國家的人口的自然增長率為1%設(shè)k為離散時(shí)間變量,x1(k)、x2(k)為第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口,u(k)為第k年所采取的激勵(lì)性政策控制手段,設(shè)一個(gè)單位正控制措施可激勵(lì)5x104城市人口遷移鄉(xiāng)村,而一個(gè)單位負(fù)控制措施會(huì)導(dǎo)致5x104鄉(xiāng)村人口去城市,y(k)為第k年全國人口數(shù)寫成矩陣形式5/7,9/50第十九頁，共309頁。離散時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述形式離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)6/7,10/50第二十頁，共309頁。離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)：一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性（即：狀態(tài)方程為差分方程。）二是:描述方程的線性屬性。（狀態(tài)方程和輸出方程的右端，對(duì)狀態(tài)x和輸入u都呈現(xiàn)為線性關(guān)系。）三是:變量取值時(shí)間的離散屬性（所有變量只能在離散時(shí)刻k取值）。離散時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖7/7,11/50X(k+1)=?Y(k)=?第二十一頁，共309頁。2.3.連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為向量函數(shù)若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個(gè)組成元素為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)對(duì)于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng)。1/2,12/50第二十二頁，共309頁。時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)若向量f,g不顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)若向量f,g顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過程為時(shí)間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過程為時(shí)間的不連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng).確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)稱一個(gè)系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng),都是隨時(shí)間按確定的規(guī)律而變化的.稱一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)是隨機(jī)變量2/2,13/50第二十三頁，共309頁。2.4由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述

由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述對(duì)于單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng),其微分方程描述其傳遞函數(shù)描述可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為1/18,14/50第二十四頁，共309頁。結(jié)論1給定單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形證明：設(shè)2/18,15/50第二十五頁，共309頁?？梢?/18,16/50第二十六頁，共309頁。令有4/18,17/50第二十七頁，共309頁。(2)m<n,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形寫成矩陣形式：5/18,18/50第二十八頁，共309頁。結(jié)論2給定單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=0情形此時(shí)輸入輸出描述為:選取n個(gè)狀態(tài)變量6/18,19/50第二十九頁，共309頁。其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:7/18,20/50第三十頁，共309頁。例2.2考慮系統(tǒng)試寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式。則狀態(tài)空間表達(dá)式為：選擇狀態(tài)變量：第三十一頁，共309頁。(2)m≠0情形此時(shí)輸入輸出描述為:a:8/18,21/50第三十二頁，共309頁。其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:其中9/18,22/50第三十三頁，共309頁。b:改寫為令10/18,23/50第三十四頁，共309頁。結(jié)論3給定單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：其極點(diǎn)即分母方程的根為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出：(1)m<n，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為11/18,24/50第三十五頁，共309頁。(2)m=n，即系統(tǒng)為真情形令對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：12/18,25/50第三十六頁，共309頁。由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述例1

設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述解上圖等效為指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程：13/18,26/50第三十七頁，共309頁。寫成矩陣形式例2

設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。14/18,27/50第三十八頁，共309頁。解可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下寫出變量之間的關(guān)系15/18,28/50第三十九頁，共309頁。寫成矩陣形式16/18,29/50第四十頁，共309頁。也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為e11e13e12e2e3可寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為17/18,30/50第四十一頁，共309頁。例3

設(shè)畫出結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)方程為18/18,31/50第四十二頁，共309頁。2.4組合系統(tǒng)

2.4.1并聯(lián):系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接第四十三頁，共309頁。特點(diǎn)：第四十四頁，共309頁。第四十五頁，共309頁。2.4.2反饋系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接第四十六頁，共309頁。特點(diǎn)：(1)動(dòng)態(tài)反饋第四十七頁，共309頁。傳遞矩陣：第四十八頁，共309頁。2.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)

特征多項(xiàng)式

連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)特征多項(xiàng)式均為實(shí)常數(shù)(2)特征方程式(3)凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理1/6,32/50這一定理揭示了線性時(shí)不變系統(tǒng)一特性：對(duì)系統(tǒng)矩陣A，有且僅有為線性無關(guān)，所有都可表示為它們的線性組合。第四十九頁，共309頁。(4)最小多項(xiàng)式的各個(gè)元多項(xiàng)式之間互質(zhì)定義Φ（s）為系統(tǒng)矩陣A的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式Φ（s）也滿足凱萊-哈密爾頓定理，即Φ（A）=0(5)系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式α(s)和最小多項(xiàng)式Φ（s）之間只存在常數(shù)類型的公因子k，即則稱系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的。(6)特征多項(xiàng)式的計(jì)算2/6,33/50第五十頁，共309頁。①基于跡計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法②基于分解計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法3/6,34/50第五十一頁，共309頁。特征值(1)特征值的代數(shù)屬性系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，有且僅有n個(gè)特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。(3)特征值的形態(tài)特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù)(4)特征值類型系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型4/6,35/50第五十二頁，共309頁。(5)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)σi代表特征值集Λ中值為λi的特征值個(gè)數(shù)(6)特征值的幾何重?cái)?shù)(7)特征值重?cái)?shù)和類型的關(guān)系對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若λi∈A為單特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)σi和幾何重?cái)?shù)αi之間必有特征向量和廣義特征向量

5/6,36/50第五十三頁，共309頁。(1)特征向量的幾何特性(2)特征向量的不唯一性(3)單特征值所屬特征向量的屬性對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值{λ1、λ2、…λn}的相應(yīng)一組特征向量{v1、v2、…vn}為線性無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)特征值{λ1、λ2、…λn}為兩兩互異。廣義特征向量對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)λi為n×n維系統(tǒng)矩陣A的一個(gè)σi重特征值，則6/6,37/50第五十四頁，共309頁。結(jié)論4

特征值為兩兩互異的情形2.6狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形對(duì)n個(gè)特征值{λ1、λ2、…λn}兩兩互異的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于n個(gè)特征向量構(gòu)造變換陣p=[v1、v2、…vn]，則狀態(tài)方程可通過線性非奇異變換而化為約當(dāng)規(guī)范形包含復(fù)數(shù)特征值情形的對(duì)角線規(guī)范形（略）1/3,38/50第五十五頁，共309頁。結(jié)論5

特征值包含重值的情形對(duì)包含重特征值的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形：2/3,39/50第五十六頁，共309頁。其中，Ji為相應(yīng)于特征值λi的約當(dāng)塊：3/3,40/50第五十七頁，共309頁。2.7由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣定義：?jiǎn)屋斎雴屋敵鼍€性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中1/4,41/50第五十八頁，共309頁。(1)G(s)的函數(shù)屬性傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的q×p有理分式矩陣。(2)G(s)的真性和嚴(yán)真性當(dāng)且僅當(dāng)G(s)是真或嚴(yán)真時(shí)，G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的(3)G(s)的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式(4)G(s)的極點(diǎn)G(s)的極點(diǎn)定義為方程式的根2/4,42/50第五十九頁，共309頁。(5)G(s)的循環(huán)性若稱G(s)是循環(huán)的(6)G(s)正則性和奇異性G(s)基于(A,B,C,D)的表達(dá)式考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則設(shè)G(s)的首一化特征多項(xiàng)式為αG(s)，A的特征多項(xiàng)式為α(s)，若必有若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則表G(s)的極點(diǎn)集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，則ΛG?Λ；若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則ΛG=Λ

。3/4,43/50第六十頁，共309頁。結(jié)論7

G(s)的實(shí)用計(jì)算關(guān)系式令則4/4,44/50第六十一頁，共309頁。2.8線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性結(jié)論8坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個(gè)坐標(biāo)系上的表征化為另一個(gè)坐標(biāo)系上的表征。坐標(biāo)變換的幾何含義和代數(shù)表征線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為引入坐標(biāo)變換則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為1/3,45/50第六十二頁，共309頁。結(jié)論9

線性時(shí)不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變。定義：稱具有相同輸入和輸出的兩個(gè)同維線性時(shí)不變系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的系統(tǒng)矩陣之間滿足狀態(tài)空間描述坐標(biāo)變換中給出的關(guān)系。代數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)的基本特征是具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特性，如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測(cè)性等。2/3,46/50第六十三頁，共309頁。結(jié)論10

線性時(shí)變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換P(t)為可逆且連續(xù)可微，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為3/3,47/50第六十四頁，共309頁。2.9組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣設(shè)子系統(tǒng)并聯(lián)

兩個(gè)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件1/3,48/50第六十五頁，共309頁。并聯(lián)后子系統(tǒng)串聯(lián)

兩個(gè)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接的條件是：串聯(lián)后2/3,49/50第六十六頁，共309頁。

子系統(tǒng)反饋聯(lián)接設(shè)兩個(gè)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是反饋聯(lián)接后3/3,50/50第六十七頁，共309頁。第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析3．1引言從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。解的存在性和唯一性條件設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程如果系統(tǒng)矩陣A(t),B(t)的所有元在時(shí)間定義區(qū)間[t0,tα]上為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入u(t)的所有元為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。1/2,1/29系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程分析方法---定量與定性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程分析內(nèi)容---結(jié)構(gòu)與性能調(diào)整系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程研究---模型與控制策略從經(jīng)典控制理論

第六十八頁，共309頁。③輸入u(t)的各個(gè)元uk(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：條件②③可一步合并為要求B(t)u(t)的各元在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上絕對(duì)可積。2/2,2/29②輸入矩陣B(t)的各個(gè)元αij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：①系統(tǒng)矩陣A(t)的各個(gè)元αij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為絕對(duì)可積，即：從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱描述為：第六十九頁，共309頁。3．2連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)自治狀態(tài)方程結(jié)論1.系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的解（求解以上微分方程），具有以下形式其中若初始時(shí)間取為t0≠0則1/12,3/29第七十頁，共309頁。線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解又稱為自由解、零輸入響應(yīng)。狀態(tài)方程：給定初始時(shí)刻時(shí)的狀態(tài)向量值：則任意時(shí)刻的狀態(tài)：此即齊次狀態(tài)方程的解。若初始時(shí)刻則其解為：標(biāo)量方程：證明：與標(biāo)量微分方程的求解類似，先假設(shè)齊次狀態(tài)方程的解X（t）為t的向量冪級(jí)數(shù)形式，即：假設(shè)第七十一頁，共309頁。則：代入齊次狀態(tài)方程得：兩邊比較系數(shù)，有：第七十二頁，共309頁。其中，把代入得：上式括號(hào)內(nèi)是一個(gè)n×n矩陣，它是一個(gè)矩陣指數(shù)函數(shù)，記為，即：于是，齊次狀態(tài)方程的解可表示為：

第七十三頁，共309頁。線性定常齊次狀態(tài)方程的解2/12,4/29的解釋（1）系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)是從x0出發(fā)各個(gè)時(shí)刻的變換點(diǎn)所組成的一條軌線。（2）自由運(yùn)動(dòng)軌線的形態(tài)---零輸入響應(yīng)形態(tài)，即：（3）線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：即：A的特征值均有負(fù)實(shí)部第七十四頁，共309頁。矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（4）設(shè)A和F為兩個(gè)同維可交換方陣，即AF=FA則有2/12,4/29第七十五頁，共309頁。矩陣指數(shù)函數(shù)的算法1：定義法2：特征值法1）若則2）若則3/12,5/29共軛矩陣，相似矩陣，Hermite矩陣相似變換矩陣，過渡矩陣矩陣特征值與特征向量求解？Why？第七十六頁，共309頁。3）若其中則其中4/12,6/29第七十七頁，共309頁。例15/12,7/29第七十八頁，共309頁。例2

6/12,8/29第七十九頁，共309頁。3：有限項(xiàng)展開法設(shè)λ1、λ2、…λn為A的n個(gè)互異特征值而從中可求出α1、α2、…αn若λi為l重特征值，則相應(yīng)的l個(gè)方程為7/12,9/29第八十頁，共309頁。例3

令8/12,10/29第八十一頁，共309頁。4：預(yù)解矩陣法系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本表達(dá)式

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為有表達(dá)式對(duì)初始時(shí)刻t0=0情形有表達(dá)式9/12,11/29初始狀態(tài)+外部作用第八十二頁，共309頁。非齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程：第八十三頁，共309頁?；谔卣鹘Y(jié)構(gòu)的狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為A的屬于λ1λ2…λn線性無關(guān)右特征向量組A的屬于λ1λ2…λn線性無關(guān)左特征向量組λ1λ2…λn為A的n個(gè)兩兩相異的特征值右特征向量矩陣10/12,12/29對(duì)于矩陣A，若AX=λX存在特征向量R，則稱R為右特征向量；YA=λY存在特征向量L，則稱L為左特征向量。

第八十四頁，共309頁。結(jié)論對(duì)特征值兩兩相異一類n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于特征結(jié)構(gòu)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式：

左特征向量矩陣顯然11/12,13/29第八十五頁，共309頁。結(jié)論

對(duì)特征值兩兩相異一類n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于特征結(jié)構(gòu)的零輸入響應(yīng)x0u(t)零初態(tài)響應(yīng)x0x(t)以及狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)的表達(dá)式為：12/12,14/29第八十六頁，共309頁。3.3連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（線性定常）設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：基本解陣

矩陣方程的解陣稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的基本解陣。其中H為任意非奇異實(shí)常陣結(jié)論：(1).基本解陣不唯一

(2).由系統(tǒng)自治方程的任意n個(gè)線性無關(guān)解為列可構(gòu)成一個(gè)基本解陣。(3).連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的一個(gè)可能的基本解陣為1/7,15/29運(yùn)動(dòng)—狀態(tài)間轉(zhuǎn)移可逆矩陣，行列式不為零第八十七頁，共309頁。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣矩陣方程的解陣ф(t-t0)

稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：1:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣ф(t-t0)唯一，與基本解陣的選取無關(guān)。3:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式為基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式2/7,16/29狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律表達(dá)式第八十八頁，共309頁。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)3/7,17/29第八十九頁，共309頁。線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出為：假設(shè)初始條件為零，輸入信號(hào)中，ui(t)為單位脈沖信號(hào),其余的輸入信號(hào)為零。即：則輸出為3.4連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣（線性定常）4/7,18/29第九十頁，共309頁。定義：表hij(t-τ)為第j個(gè)輸入端在時(shí)刻τ加以單位脈沖δ(t-τ)而所有其他輸入為零時(shí)，在第i個(gè)輸出端的脈沖響應(yīng)，對(duì)p維輸入，q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣定義為零初始條件下以脈沖響應(yīng)hij(t-τ)為元構(gòu)成的一個(gè)輸出響應(yīng)矩陣結(jié)論：對(duì)p維輸入，q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，假設(shè)初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)在任意輸入u作用下的輸出響應(yīng)y(t)為5/7,19/29第九十一頁，共309頁。脈沖響應(yīng)矩陣和狀態(tài)空間描述

結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(A.B.C.D)，設(shè)初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣為結(jié)論：①兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)具有相同的脈沖響應(yīng)矩陣

②兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)具有相同的“輸出零狀態(tài)響應(yīng)”和“輸出零輸入響應(yīng)”。（證明見教材P53）結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)矩陣H(t)和傳遞函數(shù)矩陣G(s)之間有如下關(guān)系：6/7,20/29拉氏變換物理含義？

第九十二頁，共309頁。例4

求脈沖響應(yīng)矩陣解

也可以利用傳遞矩陣的拉氏反變換求得7/7,21/29第九十三頁，共309頁。3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析（線性時(shí)變）

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，矩陣方程：的解矩陣ф(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程的解矩陣Ψ(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常值矩陣。1/3,22/29第九十四頁，共309頁。結(jié)論：①基本解陣不唯一②對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣可由系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的任意n個(gè)線性無關(guān)解為列構(gòu)成③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣結(jié)論：①狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為唯一②2/3,23/29第九十五頁，共309頁。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解脈沖響應(yīng)矩陣結(jié)論：對(duì)零初始狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣結(jié)論：對(duì)零初始狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其輸出響應(yīng)為：3/3,24/29第九十六頁，共309頁。3.6連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化基本約定1）對(duì)采樣方式的約定采樣方式取為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時(shí)間寬度

△比采樣周期T小得多。2）對(duì)采樣周期T大小的約定滿足Shamnon采樣定理給出的條件3）對(duì)保持方式的約定零階保持方式基本結(jié)論給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為1/3,25/29Δt≤1/2FFs≥2Fmax采樣頻率應(yīng)該不小于模擬信號(hào)頻譜中最高頻率的2倍一般情況下為待采信號(hào)頻率的5~10倍才能較理想的還原出原始信號(hào)。第九十七頁，共309頁。其中結(jié)論給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為其中結(jié)論①時(shí)間離散化屬性：時(shí)間離散化不改變系統(tǒng)的時(shí)變或時(shí)不變屬性②離散化系統(tǒng)屬性：不管系統(tǒng)矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣G(k)和G必為非奇異（P62）。2/3,26/29第九十八頁，共309頁。例5線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程。解

3/3,27/29第九十九頁，共309頁。3．7離散時(shí)間線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析不管是時(shí)變差分方程，還是時(shí)不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，利用給定的或定出的上一采樣時(shí)刻狀態(tài)值，迭代地定出下一個(gè)采樣時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。定義：矩陣方程Φ(k+1)=G(k)Φ(k,m),Φ(m,m)=I的解陣Φ(k,m)稱為離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程Φ(k+1)=GΦ(k),Φ(0)=I的解陣Φ(k),稱為離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：Φ（k,m）=G(k-1)G(k-2)…G(m)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：結(jié)論：①Φ(k,m)非奇異〈==〉G(i),I=m,m+1,…k-1均為非奇異

②Φ(k)非奇異〈==〉G非奇異

③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必為非奇異。1/2,28/29第一百頁，共309頁。結(jié)論：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其解為：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其解為定義：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)脈沖傳遞函數(shù)矩陣定義為零初始條件下，滿足的一個(gè)q×p有理分式矩陣結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)矩陣為2/2,29/29第一百零一頁，共309頁。第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性4．1能控性和能觀測(cè)性的定義線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對(duì)任意給定的一個(gè)初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1>t0的有限時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，存在一個(gè)無約束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是能控的。(外部變量可以使系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)回到原點(diǎn))可見系統(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì),與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的。P70-71，例題1-3概念1/3,1/45第一百零二頁，共309頁。能控性，能達(dá)性定義對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果存在一個(gè)時(shí)刻以及一個(gè)無約束的容許控制u(t)使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時(shí)刻為能控。如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J,t1>t0,以及一個(gè)無約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf≠0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)。*對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0∈J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能控/完全能達(dá)。2/3,2/45能控：非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)；能達(dá)：零狀態(tài)達(dá)到非零狀態(tài)第一百零三頁，共309頁。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空狀態(tài)集合在時(shí)刻t0∈J為不能控/不能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/不完全能達(dá)。定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時(shí)刻t0∈J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/一致完全能達(dá)。能觀測(cè)性定義對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J,如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J，t1>t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，則稱非零狀態(tài)x0在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)；如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0都不為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能觀測(cè)；如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非零狀態(tài)集合在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能觀測(cè)；如果系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)刻均為完全能觀測(cè)，即能觀測(cè)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測(cè)。該系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的？由于可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測(cè)性與x(t0)的能觀測(cè)性是等價(jià)的。3/3,3/45第一百零四頁，共309頁。4．2連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)

結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣（|A|≠0）證明充分性為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控說明系統(tǒng)是能控的1/8,4/45第一百零五頁，共309頁。反證法必要性是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾的結(jié)果。由于是奇異的，故的行向量在[t0,t1]上線性相關(guān)，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]區(qū)間成立，若選擇非零的初始狀態(tài)x(t0)=αT,則說明α=0,矛盾2/8,5/45第一百零六頁，共309頁。結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)：完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。結(jié)論3：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),B(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時(shí)刻t0∈J完全能控的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1∈J，t1>t0，,使3/8,6/45第一百零七頁，共309頁。結(jié)論4對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣滿秩，即rankQc=n結(jié)論5n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：rank[SI-A∶B]=n,或?yàn)橄到y(tǒng)特征值結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值λi，使同時(shí)滿足αTA=λi

αT，αTB=0的左特征向量αT=0。4/8,7/45P76—例1和3第一百零八頁，共309頁。結(jié)論7：對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。結(jié)論8：對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：

①特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。②特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān)。5/8,8/45第一百零九頁，共309頁。例

圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件解

選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：6/8,9/45第一百一十頁，共309頁。（R1R4=R2R3）時(shí)，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。例

系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組{bl11、bl12、bl13}線性無關(guān)以及{bl21}線性無關(guān)（即不為零）。7/8,10/45第一百一十一頁，共309頁。定義：令對(duì)完全能控連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為：μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k。結(jié)論9：對(duì)完全能控單輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則系統(tǒng)能控性指數(shù)μ＝n。結(jié)論10：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r,則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：8/8,11/45第一百一十二頁，共309頁。4．3連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)

結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。1/5,12/45格蘭姆判據(jù)格蘭姆判據(jù)（分時(shí)不變/時(shí)變---定常/時(shí)變系統(tǒng)討論）格蘭姆矩陣---正定矩陣非奇異矩陣，|A|≠0

設(shè)M是n階方陣，如果對(duì)任何非零向量z，都有z‘Mz>0，其中z’表示z的轉(zhuǎn)置，就稱M正定矩陣。第一百一十三頁，共309頁。結(jié)論3：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時(shí)刻t0∈J完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1∈J，t1>t0，,使2/5,13/45第一百一十四頁，共309頁。結(jié)論4對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為能觀測(cè)性判別矩陣滿秩，即rankQo=n結(jié)論5n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值，使同時(shí)滿足的右特征向量3/5,14/45P86-例1秩判據(jù)（CA描述？）PBH秩判據(jù)PBH特征向量判據(jù)第一百一十五頁，共309頁。結(jié)論7：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。結(jié)論8：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是：特征值互異的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。特征值相同的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān)。4/5,15/45約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)P86第一百一十六頁，共309頁。能觀測(cè)性指數(shù)定義：令完全能觀測(cè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)定義為＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。結(jié)論9：對(duì)完全能觀測(cè)單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測(cè)性指數(shù)為結(jié)論10：對(duì)完全能觀測(cè)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：對(duì)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是：5/5,16/45P89第一百一十七頁，共309頁。4.4離散時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)

時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果對(duì)初始時(shí)刻h∈Jk和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時(shí)刻l∈Jk,l>h和對(duì)應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻l∈Jk達(dá)到原點(diǎn)，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控；

如果對(duì)初始時(shí)刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時(shí)刻l∈Jk,l>h和對(duì)應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻l∈Jk達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)。結(jié)論1離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異1/8,17/45能控：非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)；能達(dá)：零狀態(tài)達(dá)到非零狀態(tài)第一百一十八頁，共309頁。結(jié)論2若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)一個(gè)或一些k∈[h,l-1]奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控的一個(gè)充分條件。

若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。

若離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。2/8,18/45第一百一十九頁，共309頁。時(shí)不變系統(tǒng)（定常）的能控性和能達(dá)性判據(jù)結(jié)論3離散時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時(shí)刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。3/8,19/45第一百二十頁，共309頁。結(jié)論4n維離散時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣滿秩若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件。P93,3.122式結(jié)論5對(duì)于單輸入離散時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下一組輸入控制則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。

若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。

若離散時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。4/8,20/45第一百二十一頁，共309頁。例

設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解

系統(tǒng)是能控的5/8,21/45第一百二十二頁，共309頁。

令

若令

無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。6/8,22/45第一百二十三頁，共309頁。時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論6離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l∈Jk,l>h,使格蘭姆矩陣為非奇異時(shí)不變（定常）系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)

結(jié)論7離散時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l>0,使格蘭姆矩陣為非奇異7/8,23/45第一百二十四頁，共309頁。結(jié)論8n維離散時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為滿秩結(jié)論9若單輸出離散時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài)8/8,24/45第一百二十五頁，共309頁。4.5對(duì)偶性定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其對(duì)偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其中,狀態(tài)X為n維行向量,協(xié)狀態(tài)Ψ為n維行向量輸入u為p維列向量,輸入η為q維行向量輸出Y為q維列向量,輸出φ為p維行向量結(jié)論10:原構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之間滿足如下關(guān)系1/2,25/45第一百二十六頁，共309頁。結(jié)論11設(shè)Σ為原構(gòu)線性系統(tǒng),Σd為對(duì)偶線性系統(tǒng),則有Σ完全能控Σd完全能觀測(cè)Σ完全能觀測(cè)Σd

完全能控2/2,26/45證明：P91第一百二十七頁，共309頁。4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件P95

（定常）

設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)其中G=eATH=A的特征值結(jié)論12如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測(cè)），則對(duì)任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測(cè)）的。證明用反證法設(shè)連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對(duì)于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n1/3,27/45第一百二十八頁，共309頁。容易驗(yàn)證為可交換陣，故由于eAiT可用I、A、A2、…An-1線性表示，故連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測(cè)）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測(cè)）的。2/3,28/45第一百二十九頁，共309頁。結(jié)論13：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測(cè)）的必要條件是：不是A的特征值。其中k為非零整數(shù)結(jié)論14對(duì)時(shí)間離散化，使采樣周期T的值則時(shí)間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無關(guān)結(jié)論15連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，其時(shí)間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對(duì)A的任意兩個(gè)特征值λ1、λ2，不存在非零整數(shù)k，使成立對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。3/3,29/45第一百三十頁，共309頁。4.7能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

結(jié)論16如果A的特征值互不相同，則系統(tǒng)（A、B、C）為能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：傳遞矩陣G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消結(jié)論17單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。結(jié)論18單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若傳遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)或是狀態(tài)不能控或是狀態(tài)不能觀測(cè)的；若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀測(cè)的。證明：?jiǎn)屋斎?、單輸出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為如果A的特征值互不相同，則一定可利用非奇異線性變換，使A成為對(duì)角陣。即：1/4,30/45第一百三十一頁，共309頁。

狀態(tài)方程可寫為：在初始條件為零的情況下，拉氏變換得對(duì)輸出方程拉氏變換此式即為傳遞函數(shù)的部分分式2/4,31/45第一百三十二頁，共309頁。若傳遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對(duì)消，傳遞函數(shù)的部分分式中應(yīng)缺少相應(yīng)項(xiàng)。如傳遞函數(shù)中相消的零、極點(diǎn)為s-λk，則說明fkγk=0，γk=0，fk≠0系統(tǒng)是不能控的；fk=0，γk≠0，系統(tǒng)是不能觀測(cè)的；γk=0，fk=0，系統(tǒng)是既不能控也不能觀測(cè)的。若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對(duì)消，傳遞函數(shù)的部分分式中，應(yīng)有fkγk≠0（k=1、2、…n）系統(tǒng)是既能控又能觀測(cè)的。3/4,32/45第一百三十三頁，共309頁。例設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于存在零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測(cè)的。結(jié)論19如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件）結(jié)論20如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量X（0）之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能觀測(cè)的。（充分必要條件）4/4,33/45第一百三十四頁，共309頁。4．8能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：SISO情形

結(jié)論21：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測(cè)性指數(shù)也保持不變。定義一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形1/5,34/45第一百三十五頁，共309頁。結(jié)論22：對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)則通過變換矩陣(詳見P99)

2/5,35/45通過引入線性非奇異變換第一百三十六頁，共309頁?？蓪⑾到y(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即導(dǎo)出3/5,36/45第一百三十七頁，共309頁。定義一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能觀測(cè)，此時(shí)的A、c陣稱為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形結(jié)論23：對(duì)完全能觀測(cè)的n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)，其能觀測(cè)規(guī)范形可基于線性非奇異變換導(dǎo)出4/5,37/45第一百三十八頁，共309頁。其中5/5,38/45第一百三十九頁，共309頁。4．9能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形MIMO情形（自學(xué)）

旺納姆能控規(guī)范形，旺納姆能觀測(cè)規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形，龍伯格能觀測(cè)規(guī)范形1/1,39/45第一百四十頁，共309頁。4．10連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

系統(tǒng)按能控性分解設(shè)不能控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其能控性矩陣的秩為r<n，選出其中r個(gè)線性無關(guān)列，再加任意n-r個(gè)列，構(gòu)成非奇異變換T-1

其中1/6,40/45第一百四十一頁，共309頁。經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫為于是可得能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為2/6,41/45第一百四十二頁，共309頁。例已知試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解解系統(tǒng)不完全能控，取能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為3/6,42/45第一百四十三頁，共309頁。系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解設(shè)不能觀測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其能觀測(cè)性矩陣的秩為l<n，選出其中l(wèi)個(gè)線性無關(guān)行，再加任意n-l個(gè)行，構(gòu)成非奇異變換T能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為4/6,43/45第一百四十四頁，共309頁。系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性的標(biāo)準(zhǔn)分解設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不能控、不能觀測(cè)，可先對(duì)系統(tǒng)按能控性分解，即令再分別對(duì)能控子系統(tǒng)、不能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解最后得到5/6,44/45第一百四十五頁，共309頁。經(jīng)T-1變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

能控、能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：能控、不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控、能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控、不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為6/6,45/45第一百四十六頁，共309頁。第5章系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

5．1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性定義：稱一個(gè)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對(duì)任何一個(gè)有界輸入u(t),即：‖u(t)‖≤β1<∞的任意輸入u(t)，對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即結(jié)論1：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，t∈[t0,+∞）則t0時(shí)刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)β，使對(duì)一切t∈[t0,+∞)脈沖響應(yīng)矩陣H(t,τ)所有元均滿足關(guān)系式證明考慮SISO情形充分性1/4,1/18BIBO—BoundedInputBoundedOutput第一百四十七頁，共309頁。必要性采用反證法，即系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，卻存在某個(gè)t1使可以取有矛盾結(jié)論2：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，令t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：存在一個(gè)有限正常數(shù)β，使脈沖響應(yīng)矩陣H(t)所有元均滿足關(guān)系式2/4,2/18第一百四十八頁，共309頁。結(jié)論3：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，令初始時(shí)刻t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。定義：稱連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對(duì)t∈[t0,+∞)有界，并滿足漸近屬性，即：結(jié)論4：設(shè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變自治系統(tǒng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ф(t,t0)對(duì)所有t∈[t0,+∞]為有界，并滿足：結(jié)論5：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為或矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即：Re{λi(A)}<0。3/4,3/18自治系統(tǒng):自控中---網(wǎng)絡(luò)中第一百四十九頁，共309頁。內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系結(jié)論6：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定→BIBO穩(wěn)定，反之不成立。若系統(tǒng)能控且能觀測(cè)，則內(nèi)部穩(wěn)定←→BIBO穩(wěn)定。4/4,4/18第一百五十頁，共309頁。5．2李亞普諾夫意義下運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性的一些基本概念

李亞普諾夫第一方法：間接法李亞普諾夫第二方法：直接法自治系統(tǒng)：沒有輸入作用的一類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿足的一個(gè)狀態(tài)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，如果對(duì)任給一個(gè)實(shí)數(shù)ε>0，都對(duì)應(yīng)存在另一位賴于ε和t0的實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0，使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t；x0,t0)都滿足不等式：‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε⑴穩(wěn)定的幾何解釋（P125）⑵李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定（P125）⑶時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性（李亞普諾夫意義下穩(wěn)定等價(jià)于一致穩(wěn)定）⑷李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實(shí)質(zhì)（理論上的一致穩(wěn)定，工程意義的臨界不穩(wěn)定）1/2,5/18第一百五十一頁，共309頁。漸近穩(wěn)定（工程意義下的穩(wěn)定）稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為漸近穩(wěn)定，如果ⅰ)Xe=0在時(shí)刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，ⅱ）對(duì)實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0和任給實(shí)數(shù)μ<0，都存在實(shí)數(shù)T(μ,δ,t0)>0使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t；x0,t0)滿足不等式‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤μ，不穩(wěn)定稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為不穩(wěn)定，如果不管取實(shí)數(shù)ε>0為多么大，都不存在對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0，使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t；x0,t0)滿足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對(duì)于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定2/2,6/18（P126）第一百五十二頁，共309頁。5．3李亞普諾夫第二方法的主要定理

結(jié)論7：對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自治系統(tǒng)X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對(duì)x和t具有連續(xù)一階偏倒數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，且對(duì)狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：?。￢(x,t)正定且有界，即存在兩個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)α(‖x‖)和β(‖x‖)，α(0)＝0，β(0)＝0，使對(duì)所有t∈[t0,∞)有：β(‖x‖)≥V(x,t)≥α(‖x‖)＞0ⅱ)V(x,t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)負(fù)定且有界。ⅲ)當(dāng)‖x‖→∞，有V(x,t)→∞則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。結(jié)論8：對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對(duì)x具有連續(xù)一階偏倒數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，且對(duì)狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：?。￢(x)為正定ⅱ)為負(fù)定ⅲ)當(dāng)‖x‖→∞，有V(x)→∞則系統(tǒng)原點(diǎn)的平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。1/4,7/18第一百五十三頁，共309頁。例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性解取一正定的標(biāo)量函數(shù)為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2/4,8/18第一百五十四頁，共309頁。結(jié)論9[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω和所有t∈[t0,∞)滿足如下條件：V(x,t)為正定且有界；為負(fù)定且有界；則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為一致漸近穩(wěn)定。結(jié)論10[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω，滿足如下條件：V(x)為正定；為負(fù)定

則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為漸近穩(wěn)定3/4,9/18第一百五十五頁，共309頁。結(jié)論11[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω，滿足如下條件：

V(x)為正定；為負(fù)半定對(duì)任意非零x0∈Ω則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為漸近穩(wěn)定結(jié)論12[不穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)域Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω和所有t∈[t0,∞)滿足如下條件：（?。￢(x,t)為正定且有界；（ⅱ）為正定且有界；則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為不穩(wěn)定。4/4,10/18第一百五十六頁，共309頁。5．4構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法變量梯度法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，(1)設(shè)V(x)的梯度為(2)設(shè)梯度▽V(x)對(duì)應(yīng)于有勢(shì)場(chǎng)，則旋度rot▽V(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)1/3,11/18第一百五十七頁，共309頁。(6)判斷V(x)計(jì)算結(jié)果的正定性克拉索夫斯基方法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，系統(tǒng)雅可比矩陣克拉索夫斯基指出：如果存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣B，使對(duì)稱陣S（x）=BJ（x）+[BJ（x）]T是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：V（x）=f（x）TBf（x）如果則平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。結(jié)論13：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),矩陣A為非奇異，若A+AT為負(fù)定，則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。2/3,12/18第一百五十八頁，共309頁。例確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性解取B=I為對(duì)稱負(fù)定陣，所以平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的