專題14空間向量與立體幾何（解答題）

6種常見考法歸類

知識五年考情（2021?2025）命題趨勢

考點01平行關(guān)系的判定

1.線面關(guān)系證明是基礎(chǔ)必考題

知識1線面關(guān)2025?上海2023?全國乙卷2022?全國甲卷

平行關(guān)系（如線面平行、面面平行）

系的證明考點02垂直關(guān)系的判定

和垂直關(guān)系（線面垂直、面面垂直）

（5年4考）2023?全國甲卷2022?全國乙卷2021?全國甲卷

的判定是解答題的“保底”考點，

2021?全國乙卷

題目通常以常見幾何體（棱柱、棱

考點（）3求異面直線所成的角錐、棱臺等）為載體，要求結(jié)合幾

2025?全國一卷2021?上海何定義、判定定理進行邏輯推理，

考點04求直線與平面所成的角強調(diào)對空間線面位置關(guān)系的直觀

2025?北京2024?上海2023?全國甲卷2022?上感知與嚴(yán)謹(jǐn)論證能力，難度中等，

海是得分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

2022?浙江2022?全國甲卷2022?全國乙卷2.空間角的計算是高頻堇難點

空間角（異面直線所成角、直線與

知識2空間角2022?北京2021?浙江

平面所成角、二面角）的求解在近

（5年5考）考點05求面面角或二面角

2025?全國二卷2025?天津2024?新課標(biāo)I卷5年保持“5年5考”的高頻態(tài)

2024?新課標(biāo)I【卷2024?全國甲卷2024?北京勢，其中二面角是絕對核心（幾乎

2023?新課標(biāo)I卷2023?新課標(biāo)II卷2023?北京每年必考，覆蓋全國卷、地方卷多

2023?上海2023?全國乙卷2022?新高考全國I卷個地區(qū)），其次是直線與平面所成

2022?新高考全國II卷2022?天津2021?新高考全角，異面直線所成角偶有涉及。題

國I卷2021?新高考全國H卷2021?全國甲卷目通常需要結(jié)合空間向景法（建

2021?全國乙卷2021?天津2021?北京系、求法向量）或幾何法（作輔助

線、找角）求解，既考查空間想象

能力，也注重運算準(zhǔn)確性，是區(qū)分

度的重要體現(xiàn)。

3.空間距離的考查聚焦點到面距離

空間距離的考查以“點到面的距

知識3空間距

考點06求點到面的距離離”為核心（近5年多次出現(xiàn)），

離

2024?全國甲卷2024?天津2023?天津常與體積計算、空間角綜合命題，

（5年2考）

需要借助等體積法或空間向量的

投影公式求解，體現(xiàn)“空間度量”

的統(tǒng)一性，難度中等偏上。

分考點?精準(zhǔn)練

考點01平行關(guān)系的判定

1.（2025?上海?高考真題）如圖，尸是圓錐的頂點，。是底面圓心，力〃是底面直徑，且48=2.

⑴若直線PA與圓錐底面的所成角為。，求圓錐的側(cè)面積；

⑵已知。是母線處的中點，點C、。在底面圓周上，且弧力。的長為三，CD//AB.設(shè)點射在線段OC

上，證明；直線?！啊ㄆ矫?/p>

2.（2023?全國乙卷?高考真題）如國，在三棱錐P-48C中，ABLBC,AB=2,8c=2四，PB=PC=?

BPMRBC的中點分別為力，瓦。，點尸在4c上，BFVAO.

⑴求證：EF〃平面4D。；

⑵若/PO/=120。，求三棱錐P-48c的體積.

3.（2022?全國甲卷?高考真題）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示:

底面月8CO是邊長為8（單位：cm）的正方形，△以8,“806。。0〃。4均為正三角形，且它們所在的平

面都與平面X8CO垂直.

⑴證明：EF//^ABCD；

⑵求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

考點02垂直關(guān)系的判定

4.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱柱48c中，4。_1.平面力8。,//1。8=90。.

⑴證明：平面4CC/_L平面88￡C；

（2）設(shè)/方=4叢44=2,求四棱錐4-8gC的高.

5.（2022?全國乙卷?高考真題）如圖，四面體力8CO中，ADAX、D,AD=CD4DB=/BDC,七為AC的

中點.

A

⑴證明：平面平面力CQ；

（2）設(shè)48=4。=2,41。8=60。，點尸在3。上，當(dāng)"產(chǎn)C的面積最小時，求三棱錐/一48c的體積.

6.（2021?全國甲卷?高考真題）已知直三棱柱力4c一4/心中，側(cè)面力力內(nèi)4為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為力C和CG的中點，BFLA^.

（1）若屹為等邊三角形，求四棱錐夕-/"CD的體積；

（2）若CO的中點為尸，P尸與平面48CO所成角為45。，求與/C所成角的大小.

考點04求直線與平面所成的角

10.（2025?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-力4?！辏┲校珹/DC與△8/1C均為等腰直角三角形,

4。。=90。，ZBAC=90°,E為8c的中點.

C

⑴若EG分別為PRPE的中點，求證：/G//平面以僅

⑵若2f_L平面力8CO,PA=AC,求直線與平面尸CO所成角的正弦值.

11.（2024?上海?高考真題）如圖為正四棱錐夕-48。，。為底面48c。的中心.

⑴若AP=5,AD=3日求JOA繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；

⑵若4尸二4DE為網(wǎng)的中點，求直線8D與平面力后。所成角的大小.

12.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱柱力8C—44G白，4。，底面48C,N/1C8=90。,44=2,

4到平面8CG耳的距離為1.

（1）證明：A}C=AC；

⑵已知AA}與BB、的距禽為2,求力片與平面BCCM所成角的正弦值.

13.（2022?上海?高考真題）如圖所示三棱錐PMBC,底面為等邊三角形。為水;邊中點，且尸。，底

面,4〃C,AP=AC=2

⑴求三棱錐Pd8c的體積；

⑵若〃為4c中點，求PW與平面以C所成角大?。ńY(jié)果用反三角數(shù)值表示）.

14.（2022?浙江?高考真題）如圖，匕知力8c。和CQ￡F都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=\,NBAD=NCDE=60。，二面角b-。。-8的平面角為60。.設(shè)M,N分別為力瓦4c的中點.

（1）證明：FNLAD；

（2）求直線8M與平囿ADE明成角的止弦值.

15.（2022?全國甲卷?高考真題）在四棱錐尸-/14CQ中，PO_L底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=百.

p

⑴證明：BDLPA：

⑵求PO與平面產(chǎn)片8所成的角的正弦值.

16.（2022?全國乙卷?高考真題）如圖，四面體/8CO中，AD1CD,AD=CD,AADB=ZBDC,七為力。的

中點.

（1）證明：平面8EO_L平面AC。；

出設(shè)"=8。=2,乙4。8=60。，點尸在8。上，當(dāng)"FC的面積最小時，求C尸與平面力“。所成的角的正弦

值.

17.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-A^Ci中，側(cè)面BCC畫為正方形，平面8CC出1平面,

AB=BC=2,M,N分別為44，4C的中點.

⑴求證：MN〃平面4。。百；

⑵再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求直線力8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1M/V：

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.（2021?浙江?高考真題）如圖，在四棱錐尸-力8CQ中，底面48CO是平行四邊形，

N/48C=120°,48=1,8C=4/力=后，M,N分別為8C,0C的中點，PDIDC,PM1MD.

B

（1）證明：AB1PM；

（2）求直線4V與平面PDM所成角的正弦值.

考點05求面面角或二面角

19.（2021?全國乙卷?高考真題）如圖，四棱錐P-48CO的底面是矩形，/7）_1_底面/8。。，PD=DC=l,

時為8c的中點，且P8_L4U.

（1）求8C；

（2）求二面角力-PM-8的正弦值.

20.（2023?北京?高考真題）如圖，在三棱錐2-力灰？中，211平面為8C,PA=AB=BC=1,PC=6.

⑴求證：8C_L平面配&

⑵求二面角4—PC—A的大小.

21.（2025?全國二卷?高考真題）如圖，在四邊形力8c。中，AB//CD,NDAB=90。,”為CD的中點，點￡

在.48上，EF/IAD,44=34。,CQ=2/。，將四邊形Q7M沿翻折至四邊形￡尸力卬，使得面EFQW與

面EFCB所成的二面角為60。.

（1）證明:H8〃平面C。'尸;

⑵求面BCD1與面EFDN所成的二面角的正弦值.

22.（2025?天津?高考真題）正方體力4。。-44GA的棱長為4,￡、尸分別為4R,C石中點，CG=3GC,.

⑴求證：6/_1平面/8月；

⑵求平面FBE與平面EAG夾角的余弦值；

⑶求三棱錐。-反E的體積.

23.（2024?全國甲卷?高考真題）如圖，在以兒B,C,D,E,“為頂點的五面體中，四邊形/14C。與四

邊形4OE/均為等腰梯形，EF//AD,BC//ADtAD=4,AB=BC=EF=2,ED=?FB=26M為AD

⑴證明：8M//平面C￡>￡；

⑵求二面角/的正弦值.

24.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐夕一/BC。中，BCNAD,4B=BC=1,力。=3,點￡在力。上,

且尸石立力O,PE=DE=2.

p

5

⑴若“為線段0E中點，求證：B尸〃平面PCD.

⑵若平面尸/。，求平面產(chǎn)43與平面PCQ夾角的余弦值.

25.（2024?新課標(biāo)II卷?高考真題）如圖，平面四邊形力4C。中，48=8,CD=3,AD=5后,//。。=90°,

ND=30°,點七，“滿足而=|五5,AF=^ABt將沿環(huán)翻折至！PE/L使得PC=46.

⑴證明：EF工PD；

（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

26.（2023?上海?高考真題）在直四棱柱力8CO—44GA中，ABHCD,ABLAD,AB=2,AD=3,DC=4

⑵若四棱柱4RCD-A，凡CQ體積為36,求二面角4一。。一力大小.

27.（2023?全國乙卷?高考真題）如圖，在三棱錐尸一力4。中，AB1.BC,AB=2,8C=2后，PB=PC=4l，

BP，AP,8C的中點分別為。，E,O,AD=MDO，息F在AC上,BF1AO.

（1）證明：〃平面400；

（2）證明：平面4DO_L平面5ER

⑶求二面角D-AO-C的正弦值.

28.（2023?新課標(biāo)II卷?高考真題）如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BD上CD,NADB=/ADC=60°,

E為BC的中點.

⑵點產(chǎn)滿足加=而，求二面角D-48-尸的正弦值.

29.（2022?天津?高考真題）如圖，在直三棱柱力AC—44G中，ACLAB,點、D、E、產(chǎn)分別為力及四,8

⑴求證：EF〃平面4BC；

⑵求直線RE與平面CCyD所成角的正弦值；

⑶求平面4co與平面CG。夾角的余弦值.

30.（2022?新高考全國I【卷?高考真題）如圖，PO是三棱錐P-48c的高，PA=PB,AB^LAC,E是PB

的中點.

⑴證明：0E”平面P4C；

⑵若N48O=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二曲角C—4E—8的正弦值.

31.（2022?新高考全國I卷?高考真題）如圖，直三棱柱。-481G的體積為4,△48C的面積為2啦.

⑴求力到平面48C的距離；

⑵設(shè)。為4c的中點，AA}=AB,平面48C_L平面488/,求二面角力一8。一。的正弦值.

32.（2021?新高考全國H卷?高考真題）在四棱錐中，底面/18C。是正方形，若

4）=2,00=0/=技0c=3.

（1）證明：平面。力。,平面力8CO；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

33.（2021?天津?高考真題）如圖，在校長為2的正方體力8C力-4々GA中，E為棱4c的中點，尸為棱

CQ的中點.

小

5

當(dāng)

AD

B

(i)求證；。尸〃平面4EG；

(II)求直線4G與平面4改71所成角的正弦值.

(III)求二面角4-4G-E的正弦值.

34.(2021?新高考全國【卷?高考真題)如圖，在三棱錐4-8CZ)中，平面平面8CO,AB=AD,()

為8。的中點.

(1)證明：04LCD；

(2)若AOC。是邊長為1的等邊三角形，點E在棱力加上，DE=2EA,且二面角石-8C-。的大小為45。,

求三棱錐4-8CO的體積.

35.(2023?新課標(biāo)I卷?高考真題)如圖，在正四棱柱48CO-48cA中，4B=2,AA,=4.點、&4弓，6

分別在棱例,陰,CG,O〃上,AA2=\yBB2=DD2=2,CC2=3.

（2）點尸在棱8月上,當(dāng)二面角尸-力夕2-。2為150。時，求B2P.

36.（2021?北京?高考真題）如圖：在正方體彳8cO-44GA中，E為4A中點，4G與平面CQ￡?交于點尸.

（2）點M是棱44上一點，且二面角M-尸C-E的余弦值為g,求箸的值.

37.（2024?新課標(biāo)I卷?高考真題）如圖，四棱錐尸-9