2024-2025學年黑龍江省大慶左思高中高一(下)期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在菱形48C7)中，AC-AB+CD=()

A.而B.DBC.ADD.AC

2.已知向量益=(々,1),石=(2,1),若五〃石，則實數々二()

A.；B.-/C.2D.—2

3.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若Q=2JI,A=^,sinC=則c=()

AqB.76C.等D.73

4.如圖所示，4A'O'B'表示水平放置的△力。8的直觀圖，MAAOB

的面積是()

A.2M

B.4

C.72

D.2

5.已知向量3=(1,3),石=(1,-1),下=(-2,4),則方.0+4=()

A.-8B.8C.-4D.4

6.一個圓臺的母線長為5,上、下底面的半徑分別為2,5,則圓臺的體積為()

A.64TIB.567rC.487rD.527r

7.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(a+七產一c?=4,C=120。，則△48C的面積為

A./3BC.73D.2yp3

T.孚

8.如圖，正方體ABCO-ZT8,C，0,的棱長為2,E為。。的中點，戶為線段4'C上的動點，給出下列四

個結論：

①存在唯一的點心使得4B’，E,F四點共面；

②EF+D'尸的最小值為2

③1?在點尸，使得4FJ.D'E：

仍且僅有一個點F，使得平面AEF截正方體48。。-力，B，C。所得截面的

面積為2n.

第1頁，共15頁

其中所有正確結論的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.若直線/與平面a垂直，則下列說法正確的是（）

A.直線L與平面a的所有直線都垂直B.在平面a內存在與直線1異面的直線

C.在平面a內存在無數條直線與直線，相交D.在平面a內存在與直線1平行的直線

10.已知復數z=5-4i,以下說法正確的是（）

A.z的實部是5B.\z\=

C.z=5+4/D.z在復平面內對應的點在第一象限

11.如圖，在長方體48。0—4叢（；1。1中，AB=2,AD=4,AAX=6.F,F,G,"分別為為&，A}DifCD,

的中點，下列說法正確的是（）

A.長方體ABCO-ABiCiDi外接球的表面積為567r

B.BF與HG所成角的余弦值為號

C.E/7/平面

D.尸G與平面4BCD所成角的正切值為皚

三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。

12.已知向量五=（1,2）5=（2,-1）,則位+石|的值為

13.已知/-=2+3則復數z=___.

四、解答題：本題共6小題，共65分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

14.（本小題5分）

如圖所示，在中，斜邊8M=5,它在平面48C上的射影48長為4,^MBC=60°,求MC與平面&48

所成角的正弦值.

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15.(本小題12分)

求實數m的值，使得復數z=m2+m-2+(m2-l)i分別是:

(1)實數；

(2)純虛數.

16.(本小題12分)

已知向量工=(3,-1),b=(4,2).

(1)求成+囪;

(2)求向量五與石的夾角；

(3)若0+ml)_Lm+石)，求實數771的值.

17.(本小潁12分)

如圖，在直三棱柱48。一4當。1中，AB1BC,AAX=AC=2tBC=1,E,G分別為BC的中點.

(1)證明：gG//平面HBE；

(2)求三棱錐C-力BE的體積.

18.(本小題12分)

在△ABC中，內角4B,C所對的邊分別為mb,c,且cosC=若.

(1)求角A的大??；

(2)若A的角平分線交BC于0,且4)=3,求△A8C面積的最小值.

19.(本小題12分)

三棱臺4BC-41%的中，若4送1平面48。，AB1AC,AB=AC=AA1=2,AlC1=1,M,N分別是BC,

84的中點.

(1)求AN與CCi所成角的余弦值；

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答案解析

1.【答案】A

【解析】解：菱形/18C0中，根據向量加法及減法的運算可得，AC-AB+CD=BC+CD=BD.

故選：A.

應用平面向量的減法法則和加法法則直接運算即可.

本題主要考查了向量加法及減法法則的應用，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：由己知可得2-k=0,即Z=2.

故選：C.

由向量平行的坐標運算求解即可.

本題考查平面向量平行的坐標運算，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：因為Q=2JI,sinC=

44

由正弦定理急=晟艮喘二各解得

4V

故選：D.

根據正弦定理即可求解.

本題考查了正弦定理，屬于基礎題.

4.【答案】B

【脩析】解：由斜二測畫法規(guī)則可知，原圖形△力?！ㄖ?0B=0'B'=2,邊OB上的高九=2x2=4,

所以△力。8的面積是/xOFx/i=1x2x4=4.

故選：B.

5.【答案】A

【解析】解：由題意，a+C=(-1,7),而b=(l,-1),

所以(a+7)=—14-(-7)=-8.

故選：A.

根據給定條件，利用向量坐標運算列式求解.

本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題.

6.【答案】D

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【解析】解：由題意圓臺的母線長為5,上、下底面的半徑分別為2,5,

可得圓臺的高為九=J52-(5-2)2=4,

???阿臺的體積V=1TT(22+52+2X5)X4=527r.

故選D.

7.【答案】C

【解析】解：cosC=_(、十%：—""=cos120。=-1,

lablabL

且(a+b)2-c2=4,

2ab2

BP8—4ab=—2ab,即ab=4,

則S/^BC=\absinC=1x4x=x/-3.

故選：c.

利用余弦定理表示出cosC,并利月完全平方公式變形，將已知等式及cosC的值代入求出時的值，再由sine

的值，利用三角形面積公式即可求出三角形48c面積.

此題考查了余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：⑦取CC'中點為G,連接4E,EG,GBf,8,4

因為正方體ABC?！狝，B，C，D，，E為CD的中點，

所以GE〃C'D//B'A,

即4B',E,G四點共面,

該平面與線段力'C有且僅有一個交點，故①正確；

領為O'F=B'G求EF+O'F的最小值，即求EF+8'尸的最小值,

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因為正方體力BCD-'C'D，,所以為'，B',E,C四點共面，所以EB'與A'C相交于一點，設為F',

f2222

此時(￡F+B'F)min=EF+B'F'=EB，=JCE+B'C=Jl+(2\/~2)=3,

因為3<2，5，

所以EF+D'尸的最小值不是2，I，故②IS誤；

③分別取CC'，BB'的中點G,H,連接DG,GH,HA,

設DG交ED,于點P,若力'Cn平面。G/M=F,

在平面C。。'C'中，易知△GCD%AEDD'，所以/CGD=乙DEP,

所以NOEP+乙PDE=Z.CGD+乙PDE=%

所以K￡PD=*即DG1ED',

因為力。1平面CD。，C，，￡7)'u平面CDO，C，，所以4。1ED'

y.DGQAD=D,ADu平面DGH4,DGu平面。G/M,

所以ED'_L平面。GH4,

因為4'Cn平面DG/M=凡4/u平面DG/M,所以ED'1/IF.

所以存在點八使得4/1Z)'E,故③正確；

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@當點/與點力'重合時，截面為矩形，截面面積為2y，

當點尸為力'C上靠近點C的三等分點時，取CC'中點G,連接力E,EG,GB'，AB'，EB'，AG,

此時四邊形￡GB‘A即為平面截正方體力8C0-4'B'C'D，所得截面，證明如下：

已知4'Cn平面EGBfA=F,求證點尸為力'C上靠近點C的三等分點，

因為EC〃/TB',所以焉=焉=今所以點?為A'C上靠近點。的三等分點，得證，

乂GE〃B'A,且GE/B'A,AE=GB7J可，所以四邊形EGB'4為等腰梯形，面積為今，

所以當點尸為4,C上靠近點。的三等分點時，截面面積為|；

當點小趨近于點C時，截面面積趨近于3,

因為￡>2，夙3<2代，點尸從4,C上靠近點C的三等分點向點C運動時，截面面積的變化是連續(xù)的,

所以點尸從A'C上靠近點C的三等分點向點C運動時存在某點凡使得截面面積為26，

所以線段4'C上至少存在兩個點?使得截面面積為2門，故?錯誤.

④乍出經過點力'，B，，E的截面即可判斷；②由?！瓼=B'凡分析可得(EF+Z)，F)min=E8，=3，

即可判斷；③(乍出經過點A且與直線ZTE垂直的平面，判斷該平面與力’C是否看交點即可；物析點卜.與點

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A/重合和點/從力’C上靠近點C的三等分點向點C運動這兩種情況下，平面;4EF截正方體所得截面的面積變

化情況即可判斷.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握棱柱的結構特征，平面的基本性質與推論，以及截面問題的處理

方法是解題的關鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于難題.

9.【答案】ABC

【解析】解：對于4根據線面垂直的定義，

若］，％貝〃_L。面內的所有直線，故力正確；

對于B,v11a,設1na=P,平面a內所有不過點P的直線均與I異面，

???存在無數條這樣的直線，故8正確；

對于C,平面a內所有過垂足P的直線均與2相交于P,

這樣的直線有無數條，故C正確；

對干。，若11a,則平面a內所有直線均與/乖百，

不可能存在與2平行的直線，故。錯誤.

故選：ABC.

根據線面垂直的定義與性質，逐一分析各選項.

本題考查線面垂直的判定與性質、點到平面的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：更數z-5-4i的實部是5,故4正確：

由z=5-4i,得|z|=J52+(-4)=故8正確：

z=5+4i,故C1E確；

復數z在復平面內對應的點的坐標為(5,-4),在第四象限，故。錯誤.

故選：ABC.

根據給定條件，求出復數的實部、模、共規(guī)復數及復平面內對應點依次判斷48CD.

本題考查復數的基本概念及復數模的求法，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.

11.【答案】AD

【脩析】解：對于4長方體力8。一4々。10外接球的直徑即為體對角線，

則其外接球的半徑為gJAB2+AD2+AAI=1.V22+42+62=浮,

則其外接球的表面積為4/rx(苧尸=56m故選項A正確；

對于8設的。1中點為/,連接/G,FhFH,BF,BH,Bl,BG,4加,

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在長方體力BCD-AiBiGDi中，曰于F,G,，分別為4。1，CD，力。的中點,

所以FH〃D\D//IG,FH=D[D=IG,

則四邊形F/GH為平行四邊形，則門〃HG,

所以Z8月為8F與HG所成角（或補角），

因為48=2,AD=4,AA1=6,

所以/”=2,FH=IG=6,CG=1,

則BH=AH2+AB2=2/2，BG=VBC2+CG2=/17,

則BF=VBH2+FH2=2/11，Bl=VFG24-IG2=^453?

22

又4cl=JAXD\+DjCf=V44-2=2<5?則尸/=541。1=后，

8盧+月2一引2、怎

在△"/中,cos乙BFI=9

-2BTFI-55

則B9與HG所成角的余弦值為票，故選項8錯誤;

對干C,連接BD,ACVBQ,

因為E,F分別為4。1的中點,所以EF//B[D[,

在長方體A8CD-41B1C1D1中,BD//8孫，則EF〃BD,

而BD與平面AB的相交，則不平行于平面NBC],故選項C錯誤;

對干。，連接/H,FG,D]G,由B知，FH//D{D,

在長方體A8C力一AiBiGOi中,3。1平面A8Q

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則FH1平面48CD,又HGu平面/BCD,則FH1HG,

所以ZJM4為FG與平面力BCD所成角，

由48=2,AD=4,AA}=6,

所以FH=6,HD=2,DG=1,

則HG=VHD2+DG2=

所以在Rt△產HG中，tan/FGH=2=華，故選項。正確.

HG5

故選：AD.

對于4根據長方體4慶?0-力道道1處外接球的直徑即為體對角線，進而求出外接球的半徑，再求解其表面

積，即可判斷；

對干B,設CWi中點為/,連接/G,FLFH,BF,BH,BI,BG,4C1，可證明々〃，G,得至叱8口為

與HG所成角(或補角)，進而求解即可；

對于C,連接/。］,BD,力*,BQ,易得EF〃BD,進而判斷即可;

對干0,連接尸H,FG,DG易得FH1平面48CD,可得上FGH為FG與平面ABCD所成角，進而求解判斷即

可.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

12.【答案】/10

【解析】解：因為石=(3,1),所以同+石|=GFT=CU.

故答案為：VIo.

利用向量的坐標運算求模即可.

本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題.

13.【答案】3-i

【脩析】解：由題意，z=(2+1)(1-0=2-2i+i-i2=3-i.

故答案為：3—i.

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根據復數的運算求解即可.

本題考查復數的運算，屬于基礎題.

14.【答案】等.

【解析】解：由題意知，48是M8在平面內的射影,

所以1平面力BC,

所以乙MC4即為直線MC與平面C45所成的角，

在AtaMBC中，BM=5,4MBC=60。，

所以MC=BMsinZ.MBC=5s出60。=萼

在股△中，M4=VMB2-AB2=V52-42=3,

s\nz.MCA=粵32代

在MAC中,MC季二亍

故MC與平面CA8所成角的正弦值為等.

由M力人平面MC,如心MCA是MC與平面&48所成角，再結合勾股定理與銳角三角函數，求解即可.

本題考查空間中線面角的求法，熟練掌握線面角的定義，線面垂直的性質定理是解題的關鍵，考杳空間立

體感，邏輯推理能力和運算能力，屬「中檔題.

15.【答案】解：(1)由題知，更數z=7H2+-2+(m2-l)i為實數當且僅當m2-1=0，即巾=1或m=-1,

所以當m=1或m=-1時，復數z=m2+m-2+(m2-l)i為實數.

(2)復數z=+血一2+(血2一I、為純虛數當且僅當=0[(m+2)(m—1)=。

1l(7H+l)(7n-l)^0,

唯一滿足此條件的根的值是m=-2,

所以當m=-2時，復數Z=7H2+zn-2+(zn2-l)i為純虛數.

【解析】(1)根據復數為實數時m2-1=0解決即可：

(2)根據純虛數的定義，即可求解；

本題主要考查實數、純虛數的定義，屬于基礎題.

16.【答案】五7=10,同+目=5心；

n

4:

m=-

【解析】(1)向量方=(3,—1),方=(4,2),

則小石=(3,-1)?(4,2)=3x4-1x2=10.

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fa+b\=|(3,-1)4-(4,2)|=|(7,1)|=V72+I2=5<2.

(2)因為cos何小=豳=渦再=苧，所以何為=%

(3)由0+mb)10+匕)=0+mb)?伍+b)=0.

2

所以(3+4m,-1+2m)-(7,1)=0=7(3+4m)+(-1+2m)=0=m=-泉

(1)根據向量的坐標運算求數量積和模.

(2)利用平面數量積的坐標運算求向量的夾角.

(3)根據向量垂直，可得向量的數量積為0求參數的值.

本題主要考查向量的坐標運算法則，屬于基礎題.

17.【答案】解：(1)證明：取A8的中點從連接EH,HG,

???6為8。的中點，.?.“6〃3/1(?,且HG=T力C，

???E為力的中點，且ECI=T月C,

AHG//EC},且HG=ECi，.??四邊形EHGC］為平行四邊形,

C1G//EH.y.C1G《平面48E,EHu平面A8E,

:3//平面4BE；

(2)vAB1FC,AC=2,BC=1,:.AB=6,

???S^ABC=|xlx/3=^-

〃平面/IBC,

.?.點E到面/BC的距離等于點4到面4BC的距離，

E-ABC=匕41-4BC，又力4JL平面ABC,

x

^C-ABE=^E-ABC=At-ABC=力4=苧

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【解析】(1)構造平行四邊形E〃GCi，證明CiG〃E”，然后結合線面平行判定定理即可得證；

(2)利用線面平行,得出VE-ABC=匕41TB從而得解.

本題考查線面平行的證明，三棱錐的體積的求解，屬中檔題.

18.【答案】力=等9/3.

【解析】解：(1)由正弦定理及cosC=誓，得cosC="9鬻”，

所以2sinAcosC=2sinB+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC+sinC,

所以2cosAsinC+sinC=0,

因為sinC>0,所以2cosA+l=0,即cos4=-1

又4W(0,TT),所以A=亭.

(2)因為力的角平分線交BC于D,

所以NBA。=Z,CAD=^BAC=3，

4J

因為18c=S^ABD+S&ACD?

所以Jbcsin484c=?ADsin^BAD+^b?ADsin/.CAD,

整理得bc=