2024-2025學(xué)年河北省秦皇島實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）

A.t(l-i)B.i(l+02C.i3(l+i)D.(1+i)2

2.如圖，△是水平放置的△。48的直觀圖，則AOAB的面積是（）

B.3/2C.12D.672

3.若i是關(guān)于x的方程/+px+q=0（p,qeR）的一個(gè)根，則q=（）

A.1B.-1C.2D.-2

4.已知為兩條不同的直線，a,￡為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題:

@mca,nua,m//p,n//p=>a//p@n//m,nccr=>m//a

③a〃￡,mca,ncp=^>m.//n(4)m//a,nu.a.0m.im

其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.如圖，在正方體ABC?！猘/iGA中,則4G與4C所成角為（）

A71

A-6

B-J

C3

6.為了調(diào)查老師對(duì)微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從力，B,C三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行

調(diào)查，已知4B,C三所學(xué)校中分別有180,270,90名教師，則從C學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）

A.10B.12C.18D.24

7.已知圓錐的表面積為27兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面直徑為（）

A.6B.3C.12D.3<3

8.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為（）

A.20+12<3B.28/2C.yD.g2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=3+i（其中i是虛數(shù)單位），貝!］（）

A.\z\=y/~5

B.z的實(shí)部是2

（12的虛部是—2

D.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)W在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

10.如圖，在正方體ABCD—&8傳1。1中，E,尸分別是的中點(diǎn)，G為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)

）.則下列結(jié)論中正確的是（）

A.4c〃平面EFG

B.G為BC中點(diǎn)時(shí)EF1FG

C.G為中點(diǎn)時(shí)異面直線4B與EG所成的角為60。

D.棱錐G-EF4的體積為定值

11.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn);

戊，重大疾病保險(xiǎn)，各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理財(cái)，該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)

查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖:

參保人數(shù)比例不同年齡段人均參保費(fèi)用

用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）

A.30-41周歲參保人數(shù)最多

B.隨著年齡的增長(zhǎng)人均參保費(fèi)用越來越少

C.丁險(xiǎn)種最受參保人青睞

D.30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)20%

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),貝Uz的虛部為.

13.一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8,7,x,4,4,1,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的:倍，則該組數(shù)據(jù)

的第60百分位數(shù)是.

14.在正三棱錐P-4BC中，AB=2<3,正三棱錐P-4BC的體積是4底，則正三棱錐P-ABC外接球的

表面積是?

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z—a—1+ai(aGR).

(1)若z是純虛數(shù)，求a；

(2)若|z|=<5,求2.

16.(本小題15分)

如圖，在長(zhǎng)方體ABC。中，E為CG的中點(diǎn).

(1)求證：AR〃平面BDE；

(2)當(dāng)點(diǎn)F在棱DO1的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面4的尸〃平面BDE.

17.(本小題15分)

如圖，己矢口點(diǎn)P為△48C所在平面外一點(diǎn)，P21平面ABC,^ABC=90°,AE1PB=^E,AF1PC^F,求

證：

(1)BC1平面PAB；

(2)PC1EF.

18.(本小題17分)

某高校舉行了一次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共有900名學(xué)生參加，為了解本次競(jìng)賽成績(jī)的情況，從中抽取了部分學(xué)

生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)你根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖，解

答下列問題:

分組頻數(shù)頻率

[50,60)40.08

[60,70)0.16

[70,80)10

[80,90)160.32

[90,100]

合計(jì)50

(1)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；

(2)補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(3)若成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的學(xué)生獲得環(huán)保紀(jì)念勛章，請(qǐng)估計(jì)該校獲得環(huán)保紀(jì)念勛章的學(xué)生有多少人.

19.(本小題17分)

已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的菱形4BCD所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在底面4BCD上的射影是4C與BD的交點(diǎn)0,已知

/.BAD=60°,APDB是等邊三角形.

(1)求證：AC1PD-,

(2)求點(diǎn)。到平面PBC的距離；

(3)若點(diǎn)E是線段4D上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PE與平面PBC所成的角為氏求s譏8的取值范圍.

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：；i(l-i)=1+i；

i(l+。2=i.2i=-2；

i(1+i)=-i(l+i)=1-i；

(1+i)2=-2i.

二運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是以

故選：D.

分別利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：△0'48'是水平放置的ACMB的直觀圖，r5

1

X4X6

2--

所以：s^0AB12

故選：C.

畫出的直觀圖，根據(jù)數(shù)據(jù)求出直觀圖的面積.

本題考查斜二測(cè)法畫直觀圖，求面積，考查計(jì)算能力，作圖能力，是

基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閕是關(guān)于％的方程/+p%+q=O(p,qGR)的一個(gè)根，

所以/+pi+q=0,化簡(jiǎn)得q-1+pi=0,可得q-1=0且p=0,解得q=1.

故選：A.

根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)相等的概念進(jìn)行解答，即可得到本題的答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：①由znuq,幾u(yù)a,m///?,n///3f則平面a與￡可能相交，故①不正確;

幾u(yù)a,可能有mua,則zn〃a不成立，可得②不正確；

③a〃/?,ma,nuR今m/Jn或m,九異面，則③不正確；

@m//a,幾u(yù)a=TH〃幾或九異面，則④不正確.

綜上可得，沒有正確的命題.

故選：A.

由面面平行的判定定理，即可判斷①的正誤；運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，即可判斷②的正誤；

由面面平行的判定定理和性質(zhì)，即可判斷③的正誤；由線面的位置關(guān)系，及線面平行的性質(zhì)即可判斷④

的正誤.

本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，注意運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理，考查空間想象能力和

推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：連接DA，DC「

在正方體ABC?！猘/iGA中，

&B//CD且=CD,

即四邊形481CD是平行四邊形，

所以DAJ/B1C,

所以ND41G即為&G與B1C所成角.

又△D&C1是等邊三角形，

即=60°,

所以力?與所成的角為?

故選：C.

在正方體4BCD-4/1的。1中，&BJ/CD且=CD,即四邊形是平行四邊形，所以

DA1//B1C,即乙口41G即為所求的角，再求解即可.

本題考查異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解:為了調(diào)查老師對(duì)微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從4B,C三所中學(xué)抽取60

名教師進(jìn)行調(diào)查，

A,B,C三所學(xué)校中分別有180,270,90名教師，

從C學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為：60X—=10.

loU+Z/U十VU

故選：A.

利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.

本題考查樣本中單元數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分層抽樣的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查圓錐的表面積公式以及應(yīng)用，利用條件建立母線和半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，即2m■=〃/,解得/=2r,再根據(jù)圓錐的表面積可解得r=3,可得結(jié)

果.

【解答】

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為

???圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，

2itr—ill,

I=2r,

:圓錐的表面積為兀產(chǎn)+nr1—71T2_|_277T2-277T,

「2=9,

即r=3,所以底面直徑為6.

故選A.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查四棱臺(tái)的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力、推理論證能力，屬于中檔題.

過4作AElAiBi，得&￡1=?=1,AE=個(gè)4由一右甲=Q連接",人前，過4作aG_L&G，求出

&G=72,從而4G=/4宙-&G2=72,由此能求出正四棱分的體積.

4BCD—1c也為正四棱臺(tái)，AB=2,A1Bi=4,AA1=2.

在等腰梯形BA中，過2作4E1可得&E=^=1,

AE=/4宙-40=74^1=0.

連接力C,ArCr,

AC=A<TT4=2，I,41cl=V16+16=

過4作AG14G，=^2，

ArG="2"

2

AG=JAA1—ArG=V4—2=V-2?

???正四棱臺(tái)的體積為：

s±+sr+Js±'sr

v=--------------------xh

22+42+V22x42「

=---------3---------x血

_28<2

-3

故選。.

9.【答案】ABD

【解析】解：由(l+i)z=3+i,得z=含==2—i,

所以|z|=122+(—1尸=門,故A正確；

z的實(shí)部是2,故3正確；

z的虛部是-1,故C錯(cuò)誤；

z=2+i,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),在第一象限，故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除求出z,然后由模的計(jì)算公式及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，逐一分析求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)

題.

10.【答案】ABD

【解析】解：如圖，連接4C,46，

E,F分別是QD1的中點(diǎn)，EF〃&Q,

又AC//41G，貝!IEF//2C,又4CC平面EFG,EFu平面EFG,

AC//nEFG,故A正確；

設(shè)CD中點(diǎn)為M,連接FM,若G為BC中點(diǎn)，連接MG,

則有力CIMG,又ACIMF,MGClMF=M,MG,MFu平面

MFG,

則4C1平面MFG,又FGu平面MFG,

貝ijAC1FG,???EF//4C,EF1FG,故B正確；

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,取BiG中點(diǎn)為N,連接EN,NG,-.-EN//AB,

???異面直線4B與EG所成的角即為NNEG,

??,G為8c中點(diǎn)，在正方體ABCD—AiBiGDi中，易得EN=NG,EN1NG,

.?.角NNEG=45。，故C錯(cuò)誤；

易知8C〃平面則點(diǎn)G到平面EFDi的距離為定值，

???三棱錐G-EFDi的體積為定值，故。正確.

故選：ABD.

作出圖形，由線面平行的判定定理判斷力，線面垂直的判定定理及性質(zhì)判斷B,由異面直線所成角的解法判

斷C,由點(diǎn)G到平面EFA的距離為定值，由三棱錐體積公式判斷D.

本題主要考查線面平行的判定，異面直線所成角的求法，棱錐體積的求法，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理

能力，屬于中檔題.

1L【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4扇形圖可知，31?41周歲的參保人數(shù)最多，故A正確；

對(duì)于B,由折線圖可知，隨著年齡的增長(zhǎng)人均參保費(fèi)用越來越多，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由柱狀圖知丁險(xiǎn)種參保比例最高，故C正確.

對(duì)于D,曲扇形圖可知，30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的80%,故。錯(cuò)誤；

故選：AC.

根據(jù)選項(xiàng)逐一對(duì)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析判斷即可.

本題考查命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、條形圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

12.【答案】-1

【解析】解：由題意，復(fù)數(shù)z=2-i,則其虛部為-1.

故答案為：-1.

根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得z=2-i,再利用復(fù)數(shù)的虛部概念即可得到答案.

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】6

【解析】解：一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8,7,X,4,4,1,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的:倍,

又中位數(shù)為手，眾數(shù)為4,

所以程=4x|,得x=6,

因?yàn)?x60%=3.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是6.

故答案為：6.

先根據(jù)中位數(shù)是眾數(shù)的1倍，求出久，然后根據(jù)百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果.

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

14.【答案】257r

【解析】解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)G為A4BC的外3貝UPGJL平面4BC,

由%-ABC=-PG=jX1x273x273x-PG=4/3，

PG=4,則三棱錐P-4BC的外接球的球心。在直線PG上，

AD

設(shè)其外接球的半徑為R，由正弦定理得4G=研=2,

在RMO4G中，OG=\PG-R\=\4-R\,由勾股定理得。弟=OG2+

AG2,即R2=22+|4—R/，解得R=g,

2

.?.正三棱錐P—ABC外接球的表面積是S=4TTR2=4兀x(|)=25兀,

故答案為：257r.

根據(jù)體積求得錐體高度，利用正弦定理求出底面所在的圓的半徑，結(jié)合勾股定理求得外接球的半徑，即可

求出其表面積.

本題主要考查了三棱錐的外接球問題，屬于中檔題.

15.【答案】解：(1)若z是純虛數(shù),

則｛':°

所以Q=1.

(2)因?yàn)閨z|=，(a-1)2+a2=

所以a?—a—2=0,

所以Q=2或a=-1.

當(dāng)Q=2時(shí)，z=l+2i,z=1—2i,

當(dāng)Q=-1時(shí)，z=-2—ifz=-2+i.

【解析】(1)若z是純虛數(shù)，可得解出即可得出.

(2)由|z|=y](a—l)2+a2=V-5,解出即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義、模的計(jì)算公式及其共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】證明見解析；

證明見解析.

【解析】證明：(1)連接力C,設(shè)力CGBD=。，連接OE,

???0、E為別為4C、eq的中點(diǎn)，

OE//AC1,

又4G，平面BDE,OEu平面BDE,

???4C"/平面BDE.

(2)???點(diǎn)F為棱為A中點(diǎn),E為CQ的中點(diǎn).

11

DFZ/C^ESLDF==1cct=QE,

???四邊形DFCiE為平行四邊形，

FCJ/DE,

又FC1《平面BDE,DEu平面

FC]〃平面8DE,

又4C1〃平面BDE,MFGnACt=C1；FC1，AQu平面4QF,

平面AC/〃平面BDE.

(1)連接AC交8D于。，由三角形中位線性質(zhì)得。E〃ACi，利用線面垂直的判定定理證明即可；

(2)先證四邊形DFQE為平行四邊形，再由線面平行的判定定理及面面平行的判定定理證明即可.

本題考查直線與平面、平面與平面垂直的判定，是中檔題.

17.【答案】證明見解析.

證明見解析.

【解析】證明：(1)點(diǎn)P為△48C所在平面外一點(diǎn)，

PA!_平面ABC,4ABC=90°,AE1PB于E,AF1PC于F,

R

■：BCu平面力BC,???PA1BC,

■：AABC=90°,BC1AB,

■■■ABCiPA=A,AB,PAu平面PAB,

???BC1平面P48；

(2)由(1)得BC，平面PAB,

???AEu平面P4B,???BCLAE,

AE1PB,PBCBC=B,PB,BCu平面PBC,

.-.AE1平面PBC,

???PCu平面PBC,???AE1PC,

■：AF1PC,AE(\AF=A,AE,AFu平面2EF,

.-.PC_L平面AEF,

???u平面PCLEF.

(1)由P4，平面ABC,得PAIBC,結(jié)合BC1AB利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

(2)由(1)可得BC12E,結(jié)合4E1P8可證得2E_1_平面P8C,則AE_LPC,再結(jié)合4F_LPC可證得PC_1_平面

AEF,進(jìn)而可證得PCIEF.

本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【答案】補(bǔ)全后的頻率分布表見解答；補(bǔ)全后的頻率分布直方圖見解答;504人.

【解析】(1)由已知樣本容量為50,故第二組的頻數(shù)為0.16x50=8,

第三組的頻率為=0.20,

第四組的頻數(shù)為：50—(4+8+10+16)=12,頻率為4=0.24,

故頻率分布表為:

分組頻數(shù)頻率

[50,60)40.08

[60,70)80.16

[70,80)100.20

[80.90)160.32

[90,100]120.24

合計(jì)501

(2)因?yàn)椋?0,100］這一組的高為詈=0.024,

所以補(bǔ)全的頻率分布直方圖如下所示：

頻率

麗

0.032-

0.028-

(3)樣本中成績(jī)?cè)冢?0,100］的頻率為0.32+0.24=0.56,

所以估計(jì)該校獲得環(huán)保紀(jì)念勛章的學(xué)生有900X0.56=504人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)頻率分布表補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解.

本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

19.【答案】證明見解析；

2AA15

5；

/TO/.八一4

<sind<

【解析】(1)證明：因?yàn)樗倪呅瘟CD為菱形，所以BD14C,

因?yàn)辄c(diǎn)P在底面4BCD上的射影是4C與BD的交點(diǎn)0,

所以P。，平