20242025學(xué)年寧夏吳忠市鹽池縣高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若復(fù)數(shù)z=右。是虛數(shù)單位)，則|z|=()

1

A.2-

2.某校高三年級(jí)共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試結(jié)束后，學(xué)校米用按性別分層隨機(jī)

抽樣的方法抽取容量為幾的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，貝也=()

A.20B.30C.40D.48

3.設(shè)a,/?,y是互不重合的平面，m,九是互不重合的直線，給出下面四個(gè)說法:

①若a_Ly,B工丫,則a_L/?；

②若zn1a,ml/?,貝！Ja〃S；

③若九la,則

④若al/?,aC\0=m,nIm,則?il/7.

其中所有錯(cuò)誤說法的序號(hào)是()

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

4.已知=1,I山2與B的夾角為1,貝囁在B上的投影向量為()

1DV-2c1r「/27*

AA.——B.——C.——bD.——b

5.經(jīng)過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為久1，%2,xn,且數(shù)據(jù)久1，%2,…，0的平均數(shù)為3方差為s2,

則下列說法正確的是()

A.若S2=0,則所有的數(shù)據(jù)/(i=1,2,…,n)都為0

B.若1=3,則％=2xt+l(i=1,2,...,n)的平均數(shù)為6

C.若s2=3,則為=2xt+l(j=1,2,...,n)的方差為12

D.若該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為90,則可以估計(jì)總體中至少有75%的數(shù)據(jù)不大于90

6.如圖，在正四棱錐P—A8CD中，PA^AB=2,E為棱4B的中點(diǎn)，則直線PE與平面P2C所成角的正弦值

()

A?下

734

D岑

7.如圖，在△ABC中，/-BAC=AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足衣=機(jī)前荏，若△ABC的面

積為，則I而I的最小值為（）

A邛

2

B-V3

C

1

D

3

4-

8.在正三棱錐P-4BC中，PA=3,AB3V2,如圖，首先將一半球水平放置于三棱錐P-ABC內(nèi)部，其

球心與△ABC的中心重合，隨后將另一小球放置于該半球正上方，使得該小球與正三棱錐P-的三個(gè)

側(cè)面均相切，則半球球面面積（不包括底面積）和小球表面積之和最小時(shí)，小球的半徑為（）

A-1

B-苧

D.苧4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知復(fù)數(shù)z=-1+（a+l）i,aER,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，貝！la=±1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，貝！Jae（-oo,-l）

C.若a=0,則z=-1—i

D.若a=0,則|z|=V~2

10.一個(gè)正四面體形的骰子，四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,先后拋擲兩次，每次取著地的數(shù)字.甲表示

事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次

拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6"，則下列說法正確的是()

A.甲發(fā)生的概率為，

B.乙發(fā)生的概率為得，/

C.甲與丙相互獨(dú)立/2\3\

D,丙與丁相互獨(dú)立

11.如圖，在正四棱臺(tái)23。。一2/16。1中，48=24/1=2，豆,441=，石，則下列說法正確的是()

A.該四棱臺(tái)的高為學(xué)c「

B.二面角6-BD-。的大小為60。

C.若點(diǎn)P在四邊形4BCD內(nèi)，4止=手，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是？

Zo

D.若點(diǎn)M在ABDCi內(nèi)部(含邊界)，貝UM4+M4的最小值為4，''、△/

AB

三、填空題：本題共3小題，共20分。

12.某圓錐的側(cè)面積為4「兀，母線長(zhǎng)為4,則該圓錐的高為.

13.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為|,乙獲勝的概率為

|,各局比賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局結(jié)束比賽的概率為.

14.在中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(bcosC+ccos8)siri8=，Wbcos4貝!]

A=；若c=2,b=l,△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)尸滿足J??=荏?荏，則刀，正2的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知平面向量方，瓦E=(1,0,舊|=1,且1與3的夾角為泉

(1)求口+2瓦；

(2)若五+23與2d-4的夾角.

16.(本小題12分)

為了解中學(xué)生的體育鍛煉情況，調(diào)查小組在某中學(xué)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們某一周的綜合體育

活動(dòng)時(shí)間(單位：時(shí))，并按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]將樣本數(shù)據(jù)分成6組，制成如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)該校學(xué)生每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù);

(2)利用頻率估計(jì)概率，若從該校隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，且兩名學(xué)生的體育活動(dòng)情況互不影響，求這兩名學(xué)

生中至少有一人每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于8小時(shí)的概率.

頻率/組距‘

0150.........

0.125

0.100―]......

0.075-

0.050—

0.025-

17.(本小題12分)024681012時(shí)間小

如圖，在三棱柱4BC一力iBiG中，側(cè)棱_L底面ABC,AB1BC,。為4c的中點(diǎn)，A1A=AB=BC=

2.

(I)求證：4邑〃平面BC】。；

(II)求證：BO1平面TMIGC；

(III)求直線BC】與平面44iC】C所成角的大小.

18.(本小題12分)

如圖，AABC內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,。為邊8c上一點(diǎn)，S.ADLAC,4ACB=々BAD.

(1)己知sin/ACB=g.

(i)求需的值;

DU

(ii)若虧，求AABC的面積；

(2)求與2的最小值.

A

19.（本小題12分）

唐代詩(shī)人溫庭筠的瓶添聲楊柳枝詞二首》中寫道“玲瓏骰子安紅豆，入骨相思知不知”，表達(dá)了詩(shī)人的

相思之情.為迎接七夕，某超市購(gòu)進(jìn)了一批“玲瓏骰子”（如圖所示）：棱長(zhǎng)為1的水晶正八面體（八個(gè)面都是

全等的正三角形），中間的球體部分是被挖空的（表面不被破壞），并嵌入了紅豆.

（1）當(dāng)給紅豆留出最大空間時(shí)，求骰子中間被挖空的球體的表面積.

（2）超市推出一項(xiàng)活動(dòng)，在“玲瓏骰子”的所有頂點(diǎn)中每次隨機(jī)抽取三個(gè)不同的頂點(diǎn)，能構(gòu)成等邊三角形

即可獲得“花好”卡片，能構(gòu)成直角三角形即可獲得“月圓”卡片.甲乙兩人每人抽取一次（抽取結(jié)果互不

影響），求兩人所獲得的卡片能湊成“花好月圓”的概率.

（3）若點(diǎn)P為（1）中球面上的任一點(diǎn)，設(shè)NP4B=%,^PAD=e2,乙PAD="，二面角8—HP—D的平面角

為＜p,求證：tcm。1?加71。2,COS3為定值.

C

A

F

答案解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)后利用模的公式計(jì)算.

【解答】

所以w=］（一方+&2=等.

故答案選：B.

2.【答案】C

【解析】解：共有2000人，其中男生1200人，女生800人，樣本中男生比女生人數(shù)多8人,

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，樣本中男生人數(shù)為：幾＞黑=等，

樣本中女生人數(shù)為：九義黑=勺，

由題意，所以爭(zhēng)一等=8,

所以n=40.

故選：C.

利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.

本題主要考查分層抽樣的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：a,B，y是互不重合的平面，m,九是互不重合的直線，

對(duì)于①，若a工丫，81丫,貝Ua與夕相交或平行，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若加,仇，ml/?,則由面面平行的判定定理得仇〃￡,故②正確；

對(duì)于③,若m〃a，n1a,則TH1幾,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若al/?,aC0=m,n1m,貝切與￡相交、平行或九〃夕，故④錯(cuò)誤.

故選：C.

對(duì)于①，仇與夕相交或平行；對(duì)于②，由面面平行的判定定理得仇〃S；對(duì)于③，加與九垂直；對(duì)于④，幾與

S相交、平行或〃//?.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：知⑷=1,|山=，1,N與石的夾角為1，

則五-b=\a\'\b|cos(a,b)=lxV-2xcos孚=-1,

4

所以R在3上的投影向量為駁不=-:股

網(wǎng)22

故選：C.

求出鼠3,再利用投影向量的意義求解即可.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：方差s2=0時(shí)，說明所有的數(shù)據(jù)與，X2，…，與都相等，但不一定為O,故A錯(cuò)誤；

數(shù)據(jù)修，久2，…，?的平均數(shù)1=3,數(shù)據(jù)%=2%+l(i=L2,...,①的平均數(shù)為2x3+1=7,故B錯(cuò)

誤；

數(shù)據(jù)%i，x2,的方差為$2=3,數(shù)據(jù)%=2久1+l(i=1,2,…，冗)的方差為2?x3=12,故C正確；

數(shù)據(jù)x2,今的25%分位數(shù)為90,則可以估計(jì)總體中有至少有75%的數(shù)據(jù)大于或等于90,故D錯(cuò)

誤.

故選：C.

由平均數(shù)和方差的性質(zhì)可判斷4B,C；由百分位數(shù)的定義可判斷0.

本題考查平均數(shù)、方差、百分位數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

p

【解析】解:如圖，連接4C交8。于點(diǎn)。，連接PO,

因?yàn)樗睦忮FP-ABCD為正四棱錐，所以P。，平面A8CD,

過點(diǎn)E作EH于點(diǎn)H,連接PH,因?yàn)镋Hu平面48C。，所以EH1P。，上、二二》

因?yàn)镻0Ci4C=。，PO,ACu平面P4C,所以E”1平面PAC,/乙“號(hào)」

故NEPH為直線PE與平面P4C所成角.

因?yàn)镻A=4B=2,E為棱4B的中點(diǎn)，

所以EP=^AB=6,EH=\BD=，X2=W，

2442

故sin/EPH=霽=若=?.

故選：C.

連接2C交BD于點(diǎn)0,連接P0,過點(diǎn)E作E”14c于點(diǎn)H,連接P”，證明EH1平面PAC,推得NEPH為直線

PE與平面P4C所成角，解三角形即得答案.

本題主要考查直線與平面所成角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：???△ABC的面積為門，

：.^\AB\\AC|sinzBXC=^\AB\\AC|sin^=~\AB\\AC\=<3,

2234

|AB||^C|=4,

■■.AB-AC=\AB\\AC\cosABAC=4cos^=2,

???AD=2DB,???AB=%O，

由#=771萬+々荏得：AP=mAC^AD,

L4

Q1

???C,P,。三點(diǎn)共線??.zn+彳=1,解得：m=-.

44

11

用

2+碼21------>21------->21------>------>1------>21------>2+>

---

2=而“+/B+/C"=/C+-AB22xi|AC|x||XB|+i=

3

2-

當(dāng)且僅當(dāng)|4C|=2MBi時(shí)取等號(hào)，

???IAP\min=苧.

故選：A.

根據(jù)三角形面積公式可求得|南||冠|=4,進(jìn)而求得四?前=2；根據(jù)南=5前可知和=小前+

^AD,由向量共線定理可知爪=p利用|說『=+之荏產(chǎn)結(jié)合基本不等式可求得最小值.

本題考查了平面向量基本定理，考查了平面向量模長(zhǎng)的最值求解，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖，

設(shè)半球的球心為點(diǎn)01，連接P01，連接力01并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)D,

因另一小球在該半球正上方，且與正三棱錐P-4BC的三個(gè)側(cè)面均相切，故其球心。在線段POi上，

連接PD,則球。必與PD相切，設(shè)切點(diǎn)為E,連接。E.

設(shè)球。的半徑為r,半球。1的半徑為

因?yàn)榱=3>[2,所以4D=當(dāng)AB=等X=爭(zhēng)，

D01==畢，4。1=|4D=V~6>

P0i=J32-(V6)2=6,PD=J(73)2+(苧)2=

OEPO5y5r_

易得△POE與工PD。1相似，故有正5=~PD9即得P。=-/3-=

T

因?yàn)槭?。。1=V-3r+7+G=P。1=V-3>即/1=V-3—V-3r—r,

所以半球球面面積(不包括底面面積)和小球表面積之和為：

2兀懺+4;rr2=27r(*+2r2)=27r—V-3r—r)2+2r2]

=2TI[(6+2<3)r2-(6+2/3)r+3],

該二次函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為直線廠=今

故當(dāng)丁=；時(shí)，2兀斤+4幾產(chǎn)取得最小值?-V-3)TT.

故選：A.

設(shè)半球的球心為點(diǎn)。1，連接PO】，連接AO】并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,判斷小球球心。在線段PO1上，設(shè)球。的半

徑為r,半球3的半徑為q,利用三角形相似求得P。=依題得q=C-Cr-r，列出題中的面積

之和表示式，消元后得到關(guān)于r的一元二次函數(shù)，利用其圖象性質(zhì)即可求得r=去時(shí)，所求面積之和最小.

本題主要考查球的表面積，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：若Z為純虛數(shù)，則a2一1=0且a+170,解得a=l,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，

則M-1>0且a+1<0,

解得Q<—1,即aE(—8,—1),故5選項(xiàng)正確；

若。=0,則z=-l+i,得z=故。選項(xiàng)正確；

若。=0,則z=—1+。得|z|=J(-1)2+I?=故。選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

利用復(fù)數(shù)的概念求解選項(xiàng)A,利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解選項(xiàng)以利用共輾復(fù)數(shù)的概念求解選項(xiàng)C,利用復(fù)

數(shù)的模求解選項(xiàng)D

本題考查了復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，甲表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，

乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，

丙表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5"，

丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6"，

續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的正四面體形的骰子兩次，有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16種等可能的不同結(jié)果，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于2,第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1的情況有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

甲發(fā)生的概率為：P(甲)=2另，故A正確；

對(duì)于B,第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2的情況有：(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),

乙發(fā)生的概率為：P(乙)=”另，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5的情況有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

丙發(fā)生的概率為：P(丙)=2另，

1O4

兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6的情況有：(2,4),(4,2),丁發(fā)生的概率為：P(T)==

loO

P(甲丙)=2，P(丙丁)=。，P(甲丙)=P(甲)P(丙)=；X；=2，

1O441O

故事件甲與丙相互獨(dú)立，故C正確；

111

對(duì)于。，P(丙丁)=P(丙)P(丁)=^*己=右力0,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

由列舉法求解所有基本事件，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解概率，依次分析選項(xiàng)即可逐一求解.

本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件的性質(zhì)，涉及古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：如圖1,過點(diǎn)4作4擔(dān)14C,垂足為H,則四棱臺(tái)的高為

A圖18/圖284圖38

因?yàn)榱Q=yJ_6,AC=所以AH=—）

所以AAl-AH2=等，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)2：設(shè)。為四邊形4BCD對(duì)角線的交點(diǎn)，則。為8。中點(diǎn)，CO1BD,

由CiD=GB,知G01B。，

所以二面角G-BD-C的平面角為NQOC,

又CC]=AAt=Q。=y/~6,CO=1J4C=y/~6,

所以△Goc為正三角形，

所以二面角Ci-BD-C的大小為60。，故選項(xiàng)2正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由勾股定理得PH=J&P2-&爐=苧,

故點(diǎn)P的軌跡為以H為圓心，以苧為半徑的圓在正方形4BCD內(nèi)部，

因?yàn)辄c(diǎn)H到邊4B,4。的距離都為苧，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是27Tx/=門兀，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：由圖1易得BD14H,BD1XC,ArHCtAC=A,ArH,ACc^AA^C,

所以BD1平面a&GC,

不妨設(shè)M落在圖2的M'（在GO外）處，

過M'作M'MJ/BD,交G。于Mi，

則M'Mi1平面A41GC,M^Au平面力&GC,

故MM1MrA,

故在Rt△AMiM'中，M^A<M2（直角邊小于斜邊）；

同理,M1A±<M'A1,所以風(fēng)力+MrA1<M'A+M'Ar,

故動(dòng)點(diǎn)M只有落在G。上，MA+才有可能取得最小值；

再看圖3,易知41c"/OC,41cl=OC=CCi=0cl=y/~6,&Q=OC=CCt=0cl=<6,

A。1。。和4都為正三角形，4關(guān)于C1。的對(duì)稱點(diǎn)為C,

可知M4+M21=Ma+MC24C=2，^,即M與。重合時(shí)，MA+有最小值2混，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AB.

過點(diǎn)兒作&"14C,垂足為“，求得占“判斷力；

設(shè)。為四邊形48CD對(duì)角線的交點(diǎn)，可得二面角G-BD-C的平面角為NQOC,求解可判斷B；

點(diǎn)P的軌跡為以H為圓心，以?為半徑的圓(在正方形48CD內(nèi)，計(jì)算可判斷C；

由題意可得點(diǎn)M只有落在G。上，AL4+才有可能取得最小值；求得最小值判斷。.

本題考查立體幾何綜合，屬于難題.

12.【答案】3

【解析】解：由題意圓錐的側(cè)面積為4，7兀，母線長(zhǎng)為4,

可設(shè)底面半徑為r,母線長(zhǎng)為I，

因?yàn)閭?cè)面積S=母線長(zhǎng)1=4,

所以兀丁X4=4V77T,解得丁=V-7.

圓錐的高九=山2—八=J42-(77)2=V16-7=79=3.

故答案為：3.

根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出底面半徑，再結(jié)合母線長(zhǎng)，利用勾股定理求出圓錐的高.

本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，是中檔題.

13.【答案】票

【解析】解：恰好進(jìn)行了4局結(jié)束比賽分兩種情況,

①四局比賽獲勝隊(duì)伍分別為甲乙甲甲,

323354

概率為A=5X5X5X5=625；

②四局比賽獲勝隊(duì)伍分別為乙甲乙乙,

32224

概率為02=XXX

5555625,

???恰好進(jìn)行了4局結(jié)束比賽的概率為P=關(guān)+益=黑.

625625625

故答案為：

OZD

利用相互獨(dú)立事件概率公式求解.

本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】^4-2/3

【解析】解：因?yàn)?bcosC+ccosB)sinB=y/~3bcosA,由正弦定理得(sinBcosC+sinCcosB)sinB=

yT^sinBcosA=sinAsinB,

又Be因此s譏8豐0,因此tcmA=/3,又/6(O,TT),因此A=p

因?yàn)閏=2,b=1,易得C=m,B—

Zo

22

因?yàn)楹?AP-AB,因此希-AP-AB=AP-BP=0.

因此點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，要使P/+配之取得最小值，則點(diǎn)P在劣弧北上，此時(shí)NCP4=m

O

在APaC中，由余弦定理得AC?=pa2+pc2-2p4-pccosNAPC,BP1=PA2+PC2+y[3PA-PC<

PA2+PC2+V3-PJ2；PC2,

因此PA?+PC2>-？-==4-2/3,當(dāng)且僅當(dāng)24=PC=與退時(shí)等號(hào)成立，因此Pf+配的最小值為

Z+v3Z

4-2/3.

故答案為：4—2V-3.

先根據(jù)正弦定理和三角函數(shù)公式求出角力，再結(jié)合已知邊求出角B、C.由而=布?南推出點(diǎn)P在以4B為

__>2__>2

直徑的圓上.要使P4+PC最小，確定點(diǎn)P位置，得到NCP2大小.然后在APAC中用余弦定理得出AC與

PA2+PC\P4-PC的關(guān)系，再利用基本不等式P4-PCW嗎小求出P42+PC2的最小值.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬于中檔題.

15.【答案】2<3;

71

2,

【解析】⑴由方=(1,門),|另|二1和五石的夾角為全

則⑷=2,a^b=|a|||cos^=2xlx1=l；

Ia+2KI=J14+2「『=J方2+4鏟1+4/=74+4x1+4=2V3；

(2)(a+2fo)-(2a-4b)=2a2—4a^/j+4a~^h—8b=2a2—8b

=2x4-8xl=0,

所以d+23與2d-43的夾角為》

⑴由萬=(l,四),|B|=l和a,3的夾角為爭(zhēng)得到云3,進(jìn)而求出口+2畝;

(2)求0+2另)?(2五一41),求出夾角.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】頻率分布直方圖見解析，中位數(shù)為6.4,平均數(shù)為6.2.

0.51.

【解析】(1)第五組的頻率為1一2x(0.05+0.075+0.10+0.125+0,050)=0.2,

所以該組對(duì)應(yīng)的小矩形高度為苧=0.100,

故補(bǔ)全頻率分布直方圖如下:

頻率/組距T

0.150rV;r

0.125…+-+…?——

0.100—-1-----------

0.075-1....................

0.050-------

0.025-------

024681012時(shí)間小

設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為機(jī)，平均數(shù)為啟

因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在［0,6)的頻率為2X(0.05+0.075+0.1)=0.45<0.5,

樣本數(shù)據(jù)在［0,8)的頻率為2X(0.05+0.075+0.1+0.125)=0.7>0,5,

則me(6,8),所以0.45+0.125x(m—6)=0.5,解得上=6.4,

x=1x0.1+3x0.15+5x0.2+7x0.25+9x0.2+11x0.1

=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2,

由樣本估計(jì)總體，該校學(xué)生每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)分別為6.4和6.2.

(2)由頻率分布直方圖可估計(jì)該校學(xué)生每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于8小時(shí)的頻率為(0.1+0.05)x2=

0.3.

記事件4="抽取的第1名學(xué)生每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于8小時(shí)”，

4="抽取的第2名學(xué)生每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于8小時(shí)”，

由題意義,4相互獨(dú)立.

利用頻率估計(jì)概率，P(2)=P(X2)=0.2+0.1=0.3.

記事件M="抽取的兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于8小時(shí)”，

貝Up(M)=PGM2+4遇2+=1-PQM2)

=1一(1—0.3)x(1-0.3)=0.51.

所以抽取的兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于8小時(shí)的概率為0.51.

(1)根據(jù)頻率之和為1,可求出［8,10)這一組的頻率，進(jìn)而求出矩形的“高度”，補(bǔ)全頻率分布直方圖，再

根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的概念，用評(píng)率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù).

(2)利用對(duì)立事件概率的關(guān)系，結(jié)合獨(dú)立事件計(jì)算公式，可求解.

本題考查頻率分布直方圖、求平均數(shù)、中位數(shù)、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式等，屬于中檔題.

17.【答案】(I)證明過程見詳解；

(II)證明過程見詳解；

(明去

【解析】(I)證明：連接8住，設(shè)=連接。D,

由題意可得。為C8i的中點(diǎn)，而。為4C的中點(diǎn)，

所以。

而ABi平面BG。，u平面86。，

所以4〃平面Be/；

(II)證明：因?yàn)閭?cè)棱力4J■底面ABC,

可得平面A&GC1平面ABC,平面A41cleC平面ABC=ArC,

又因?yàn)?B=BC,。為力C的中點(diǎn)，所以BD14C,

BDu平面4BC,

所以BD1平面441GC；

(III)解：由(II)可得NBC/為直線BG與平面2&C1C所成角，

可得sin/BGD=瞿,

￡>LJ

因?yàn)?81BC,4〃==2,

所以BD=苧X4B=M，BCi=7BC2+CC1=7m=2/2,

所以sin/BCi。=券=a

DC]ZvZZ

又因?yàn)镹BCi。G[0,1],

可得乙BC1。=Z

(1)連接當(dāng)。，設(shè)BiCnBCi=。，連接OD,由題意可證得。D〃281，再由線面平行的判定定理，可證得

結(jié)論；

(II)易證得BD14C,再由面面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論；

(III)由(II)NBGD為直線BQ與平面力&GC所成角，再由棱長(zhǎng)的關(guān)系，可求得sinNBQD的值，再求出

NBC1。的大小.

本題考查線面平行的判定定理的應(yīng)用及線面所成的角的求法，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)(助因?yàn)锳D14C,4ACB=4BAD,sin乙4cB=卷，

所以sin/ZMC=1,sin^DAB=裳，

所以￡￡_S/ZCD_孤/DsinzlMC__b__/5b_AsinB

BD~SAABD~icAD-sin^DAB~-c-sinC'

2c5

注意到/=5+(7,4+8+C=TT,

故B=7T-X-C=^-2C,

i^LsinB=cos2C,

2

—pzsCD_\/~5sinB_y/~5cos2C_V~5(l—2sinC)_?

寸BDsinCsinCsinC'

(ii)由(i)知，CD=3BD=3/5,

AD=CD?sinC=3,

AC=yjCD2-AD2=6,

1

SAACD=/AD-AC—9,

由=需=3，得%4BD=3,

故&L4BC=^AACD+^AABD=12.

0、b2+c2_sin2B+sin2C_cos22C+sin2C_(2cos2C—1)2+1—cos2C

22

()十一Sin71.sin(^+C)-cos2c，

令t=COS2c6[1,1],

可得=(21)乙+1="2+2二5t=40+2—5之471—5,當(dāng)且僅當(dāng)1=苧時(shí)，等號(hào)成立，

aLttt2

故包乙的最小值為-5.

aL

【解析】(1)(團(tuán))利用三角形的面積公式，正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得累=注*,可求sinB=cos2C,進(jìn)

DL)SITLL

而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可求解；

(ii)由①知，CD=3BD=3<5,可求4。=3,進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解；

(2)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求*=(2C°S2：：、；-8S2C,令t=cos2Cegl],化簡(jiǎn)所求利用二

次函數(shù)的性質(zhì)即可求解字的最小值.

本題考查了三角形的面積公式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)

化思想和函數(shù)思想，屬于中檔題.

19.【答案】|兀；||；證明見解析.

【解析】(1)設(shè)被挖空的球體的半徑為球心為。，根據(jù)題意，

當(dāng)球體為正八面體的內(nèi)切球時(shí)，留給紅豆的空間最大，

此時(shí)設(shè)四棱錐E