2022年小學(xué)六年級(jí)小升初數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)

（22）

―排列與組合

口知識(shí)歸納總結(jié)

一、簡(jiǎn)單的排列、組合

知識(shí)歸納

i.排列組合的概念：

所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序.

組合則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序.

排列組合的中心問(wèn)題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù).

2.解決排列、組合問(wèn)題的基本原理：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.

（1）分類計(jì)數(shù)原理（也稱加法原理）：

指完成一件事有很多種方法，各種方法相互獨(dú)立，但用其中任何一種方法都可以做完這件事.

那么各種不同的方法數(shù)加起來(lái)，其和就是完成這件事的方法總數(shù).

如從甲地到乙地，乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地,

所以共有3+2=5種不同的走法.

（2）分步計(jì)數(shù)原理（也稱乘法原理）：

指完成一件事，需要分成多個(gè)步驟，每個(gè)步驟中又有多種方法，各個(gè)步驟中的方法相互依存,

只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事.

那么，每個(gè)步驟中的方法數(shù)相乘，其積就是完成這件事的方法總數(shù).

如從甲地經(jīng)過(guò)丙地到乙地，先有3條路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3義2=6種

不同的走法.

?？碱}型

例1：有4支足球隊(duì)，每?jī)芍蜿?duì)打一場(chǎng)比賽，一共要比賽（）

A、4場(chǎng)B、6場(chǎng)C、8場(chǎng)

分析：兩兩之間比賽，每只球隊(duì)就要打3場(chǎng)比賽，一共要打4X3場(chǎng)比賽，這樣每場(chǎng)比賽就

被算了2次，所以再除以2就是全部的比賽場(chǎng)次.

解：4X34-2,

=124-2,

=6（場(chǎng)）；

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：甲與乙比賽和乙與甲的比賽是同一場(chǎng)比賽，所以要再除以2.

例2：小華從學(xué)校到少年宮有2條路線，從少年宮到公園有3條路線，那么小華從學(xué)校到公

園一共有（）條路線可以走.

A、3B、4C、5D、6

分析：小華從學(xué)校到公園分兩個(gè)步驟完成，第■步小華從學(xué)校到少年宮有2條路線即有兩種

方法，第二步從少年宮到公園有3條路線即有3種方法，根據(jù)乘法原理，即可得解.

解：2X3=6,

答：小華從學(xué)校到少年宮有2條路線，從小年宮到公園有3條路線，那么小華從學(xué)校到公園

一共有6條路線可以走；

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了簡(jiǎn)單的排列組合，分步完成用乘法原理.

口拔高訓(xùn)練備考

選擇題（共6小題）

1.用3、5、0三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)有（）個(gè)。

A.2B.4C.6

2.今年“國(guó)慶七日長(zhǎng)假”，陸老師想?yún)⒓印扒u湖雙日游"，哪兩天去呢，陸老師共有多

少種不同的選擇？（）

A.5種B.6種C.4種

3.一個(gè)興趣小組共有8人，我們要從這些人中選出7人參加比賽，則一共有多少種選法？

（）

A.6B.7C.8D.9

4.把5件相同的禮物全部分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都分到禮物，分禮物的不同方法

一共有（）種.

A.3B.4C.5D.6

5.小華從學(xué)校到少年宮有2條路線，從少年宮到公園有3條路線，那么小華從學(xué)校到公園

一共有（）條路線可以走.

A.3B.4C.5D.6

6.小東、小華、小平，3個(gè)人排成一行照相，有（）種不同的排法.

A.8B.6C.12

二.填空題（共6小題）

7.茂名到廣州的。7454高鐵，途經(jīng)站點(diǎn)依次分別為茂名、陽(yáng)江，新會(huì)、廣州南，單程需要

準(zhǔn)備種不同的車票。

8.佳佳有兩件不同的上衣和三條不同的褲子，她一共有種穿法。

9.用6,5,2,1四張卡片能組成的最大三位數(shù)是,能組成的最小三位數(shù)是,

它們相差O

10.有三把鎖和三把鑰匙，現(xiàn)在用三把鑰匙去打開(kāi)三把鎖，最多要試次.

11.在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有

利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟種植方法有

種.

12.六年級(jí)4個(gè)班之間將舉行拔河比賽，采用單循環(huán)制進(jìn)行比賽，全年級(jí)一共要進(jìn)行

場(chǎng)比賽.

三.判斷題（共5小題）

13.有3個(gè)數(shù)4、6、8,任意選取其中2個(gè)求和，得數(shù)有3種可能。

14.用2件上衣和3件褲子搭配穿，一共有6種穿法..

15.5個(gè)身高各不相同的同學(xué)按從高到矮的順序排列，只能有1種排法..

16.媽媽向貝貝推薦了《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)》、《中國(guó)少年報(bào)》、《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》三種報(bào)紙.如

果貝貝至少訂閱一種，最多訂閱三種，貝貝一共有7種不同的訂閱方法..

17.李阿姨從A地到8地，途中在C地停留.從A地到C地有3條路可以到達(dá)，從C地到

B地有2條路可以到達(dá).李阿姨從A地到2地一共有5條路可以到達(dá).….

四.應(yīng)用題（共8小題）

18.有8枝花，分別插在兩個(gè)花瓶中，在花瓶下寫一寫，一共有多少種不同的插花方法？

19.爸爸帶小明去快餐店。

［如一只能選升一中的兩bA

Q@I。幾器箍絲耳|

20.利用火警電話、報(bào)警電話、急救電話，組成的最大的數(shù)是多少？最小的數(shù)是多少？

21.下棋比賽。甲、乙、丙、丁四個(gè)選手比賽下棋，每?jī)蓚€(gè)對(duì)手都要交手比賽一次，至少要

進(jìn)行幾局比賽？

22.如果北京到廣州的高鐵中途要?？苦嵵?，武漢兩個(gè)火車站，那這些車站間的往返火車票

共需多少種？

23.有3名小朋友，每2名小朋友進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要比幾場(chǎng)？

24.明明有3、5、8三張數(shù)字卡片和一張小數(shù)點(diǎn)的卡片，他可以擺出哪些一位小數(shù)？

25.用0、1、5、8這四個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？從小到大排列，1850是第

幾個(gè)？

參考答案與試題解析

選擇題(共6小題)

1.【分析】認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察和分析題干中的已知條件，根據(jù)簡(jiǎn)單的排列組合的解題方

法，利用枚舉法，一一列舉所有可能。用3、5、0三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)有：35,30,

50,53,共4個(gè)。

【解答】解：用3、5、0三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)有：35,30,50,53,共4個(gè)。

故選：Bo

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單的排列組合，分步完成用枚舉法。

2.【分析】度假的這兩天是相鄰的兩天，只要不把第一天放在10月7日(最后一天)即可.

【解答】解：陸老師可以選擇以下的兩天去旅游：

10月1日和10月2日；10月2日和10月3日；10月3日和。月4日；10月4日和10

月5日；10月5日和10月6日；10月6日和10月7日.

共6種選擇.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題只要理解這兩天是相鄰的兩天，問(wèn)題不難解決.

3.【分析】把8個(gè)人進(jìn)行編號(hào)，分別為①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，如果選7人進(jìn)

行比賽，先讓前7號(hào)去比賽；然后再排除⑦，再排除⑥，就這樣一個(gè)一個(gè)排除，就這樣

以此類推最后排除完①號(hào)，所有排列完成。

【解答】解：先給8人編號(hào)，一個(gè)一個(gè)排除，這樣的排列總共有8種。

故選：Co

【點(diǎn)評(píng)】所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。

4.【分析】每個(gè)小朋友都分到禮物，至少有一件禮物，最多3件禮物，這樣，分法有：(1,

2,2)、(2、2、1)、(2,1,2)、(3,1,1)、(1,3,1)、(1,1,3),共6

種.

【解答】解：每個(gè)小朋友都分到禮物，至少有一件禮物，最多3件禮物，這樣，分法有：

(1,2,2)、(2、2、1)、(2,1,2)、(3,1,1)、(1,3,1)、(1,1,3),

共6種.

答：分禮物的不同方法一共有6種；

故選：D。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單的排列、組合.

5.【分析】小華從學(xué)校到公園分兩個(gè)步驟完成，第一步小華從學(xué)校到少年宮有2條路線即

有兩種方法，第二步從少年宮到公園有3條路線即有3種方法，根據(jù)乘法原理，即可得

解.

【解答】解：2X3=6,

答：小華從學(xué)校到少年宮有2條路線，從小年宮到公園有3條路線，那么小華從學(xué)校到

公園一共有6條路線可以走；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單的排列組合，分步完成用乘法原理.

6.【分析】先確定第一位有三種排法，再看剩下的兩人有2種排法，一共有3X2=6（種）.

【解答】解：三人可以有以下幾種排列方法：

小東、小華、小平；

小東、小平、小華；

小華、小東、小平；

小華、小平、小東；

小平、小東、小華；

小平、小華、小東.

一共有6種排法.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題關(guān)鍵是確定一位，排列其他兩人，每交換位置就多一種方法，要做到

不重不漏.

二.填空題（共6小題）

7.【分析】把4個(gè)高鐵站看作握手問(wèn)題解答，由于每個(gè)高鐵站都要和另外的2個(gè)握一次手,

一共要：3X4=12（次）；又因?yàn)閮蓚€(gè)火車站只握一次，去掉重復(fù)計(jì)算的情況，單程實(shí)

際只有：12+2=6（次），據(jù)此解答。

【解答】解：（4-DX4+2

=124-2

—6（種）

答：?jiǎn)纬绦枰獪?zhǔn)備6種不同的車票。

故答案為：6。

【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的握手問(wèn)題，如果目數(shù)比較少，可以用枚舉法解答；如果數(shù)目比較

多，可以用公式：n（?-1）+2解答。

8.【分析】佳佳有兩件不同的上衣和三條不同的褲子，上衣有2種不同的選擇，褲子有3

種不同的選擇，根據(jù)乘法原理可得，共有2義3=6（種）不同的穿法，即可解答。

【解答】解：2X3=6（種）

答：她一共有6種穿法。

故答案為：6。

【點(diǎn)評(píng)】本題需要用乘法原理去考慮問(wèn)題，需要明確2件上衣和3條褲子各有幾種選擇，

然后相乘即可解答。

9.【分析】要使四個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)最大，6要放在百位上，5要放在十位上，2要放在

個(gè)位上；要使四個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)最小，1要放在百位上，2要放在十位上，5要放在

個(gè)位上；然后求差即可解答。

【解答】解：652-125=527

用6,5,2,1四張卡片能組成的最大三位數(shù)是652,能組成的最小三位數(shù)是125,它們

相差527。

故答案為：652；125；527o

【點(diǎn)評(píng)】要使組成的數(shù)最大，從最高位開(kāi)始把這些數(shù)字按從大到小的順序排列；要使組

成的數(shù)最小，最小的數(shù)字（0除外）要放在最高位上，然后把剩下的數(shù)字按從小到大的順

序排列。

10.【分析】第一把鑰匙最壞的情況要試2次，把這把鑰匙和這把鎖拿出；剩下的2把鎖和

2把鑰匙，最壞的情況要試1次，把這把鑰匙和這把鎖拿出；剩下的1把鎖和1把鑰匙就

不用試了.

【解答】解：2+1=3（次）.

答：最多要試3次.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵在于要考慮最壞的結(jié)果，運(yùn)用類推的方法解答問(wèn)題.

11.【分析】如下圖所示，滿足條件的情況有6種可能，當(dāng)A或8種在第一壟，要求A、B

兩種作物的間隔不小于6壟，則B或A有3種可能，即種在第八或第九或第十壟；

當(dāng)A或3種在第二壟，要求A、3兩種作物的間隔不小于6壟，則8或A有2種可能，

即種在第九或第十壟；

當(dāng)A或8種在第三壟，要求A、8兩種作物的間隔不小于6壟，則5或A有1種可能，

12345678910

0DDDDDD00H

即種在第十壟；因此得解.□目□□□□□□回回

□DR□口□口□□閆

【解答】解：（3+2+1）X2=6X2=12（種）；

答：則不同的選壟種植方法有12種.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單的排列、組合.分類完成工作，每一類中的方法可以獨(dú)立完成

工作，用加法.

12.【分析】由于采用單循環(huán)制進(jìn)行比賽，所以每個(gè)班都要和其它三個(gè)班賽一場(chǎng)，即進(jìn)行3

場(chǎng)比賽；四個(gè)班一共要有3X4=12場(chǎng)比賽，又因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)班重復(fù)計(jì)算了一次，所以實(shí)際

全年級(jí)一共要進(jìn)行了12+2=6場(chǎng)比賽.

【解答】解：3X44-2,

=124-2,

—6（場(chǎng)）；

答：全年級(jí)一共要進(jìn)行6場(chǎng)比賽.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了加法原理即完成一件事情有”類方法，第一類中又有"1種方法，第

二類中又有此種方法，…，第”類中又有種方法，那么完成這件事情就有加1+%+…

+M,種方法.

三.判斷題（共5小題）

13.【分析】4、6、8,任意選取其中2個(gè)求和，得數(shù)有4+6=10,6+8=14,4+8=12,一

共有3種，分別是10,14,12。

【解答】解：4+6=10

4+8=12

6+8=14

所以原題說(shuō)法正確。

故答案為：V

【點(diǎn)評(píng)】排列組合的中心問(wèn)題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。

14.【分析】從用2件上衣選一件有2種不同的選法；從3件褲子選一件有種不同的選法;

根據(jù)乘法原理可列式為：2X3=6（種），據(jù)此解答.

【解答】解:根據(jù)分析可得，

2X3=6（種）,

答：一共有6種穿法.

故答案為：V.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成〃個(gè)步驟，做第一步有

Ml種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，…，做第〃步有腸?種不同的方法，

那么完成這件事就有M1XM2X…義Mn種不同的方法.

15.【分析】因?yàn)闆](méi)有說(shuō)是站成橫隊(duì)還是縱隊(duì)，所以從前到后的順序，從后到前；從左到右

或從右到左排列方法都不同，據(jù)此解答即可.

【解答】解：由分析得出：5個(gè)身高各不相同的同學(xué)按從高到矮的順序排列，只能有1

種排法說(shuō)法錯(cuò)誤.

故答案為：X.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是明確方向的不同也會(huì)造成排列方法的不同.

16.【分析】分訂閱1種，訂閱2種，訂閱3種進(jìn)行討論，求出每種的各有幾種訂法，再相

加.

【解答】解：（1）訂閱1種時(shí)：

是從3種報(bào)紙中任選1種，有3種選法；

（2）訂閱2種時(shí)：

是從3種報(bào)紙中選2種訂閱，即選出1種不訂閱的，也有3種選法；

（3）訂閱3種時(shí):

3本全選，有1種選法；

3+3+1=7（種）.

故答案為：V.

【點(diǎn)評(píng)】本題分情況討論后，每一種情況都可以看成簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題.

17.【分析】用圖示比較直觀，AC;I一B,從A到c的每條路再到B都

有2種走法，所以共有3X2=6（條）.

【解答】解：一共有：3X2=6（條）.

答：李阿姨從A地到8地一共有6條路可以到達(dá).

所以李阿姨從A地到B地一共有5條路可以到達(dá)，說(shuō)法錯(cuò)誤.

故答案為：X.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)作圖明確從A到C的每條路再到2都有2種走法，共有

6種走法.也可以用列舉法.

四.應(yīng)用題（共8小題）

18?【分析】不重不漏地列舉出所有的情況即可，此題實(shí)際上就是8可以分成幾和幾的問(wèn)題,

由于是分別插在兩個(gè)花瓶中，所以枝數(shù)不能是0。

【解答】解：

一共有4種不同的插花方法。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要使用了枚舉法來(lái)解決簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，要熟練掌握。

19.【分析】三種食品分別用A、B、C表示，選2種的選法：A、B；A、C；B、C。共三

種不同的選法。據(jù)此解答即可。

【解答】解:三種食品分別用A、B、C表不，選2種的選法：A、B；A、C；B、C。共

三種不同的選法。

答：有3種不同的選法。

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)簡(jiǎn)單的組合的知識(shí)，解答此題即可。

20.【分析】火警電話119、報(bào)警電話110、急救電話120；利用火警電話、報(bào)警電話、急

救電話，組成的最大的數(shù)是120119110,最小的數(shù)是110119120,據(jù)此解答即可。

【解答】解：利用火警電話、報(bào)警電話、急救電話，組成的最大的數(shù)是120119110,最小

的數(shù)是110119120?

【點(diǎn)評(píng)】知道火警電話119、報(bào)警電話110、急救電話120,是解答此題的關(guān)鍵。

21.【分析】甲要與其他三位棋手下每人下一局，甲共下了3局完成自己所有的比賽，乙還

要與剩下的兩位棋手每人下1局才能完成比賽，乙還要下2局，丙還要與丁下一局才能

完成比賽，丙還要下1局，此時(shí)丁已經(jīng)完成比賽，整個(gè)比賽結(jié)束，一共下了（3+2+1）局。

【解答】解：3+2+1=6（局）

答：至少要進(jìn)行6局比賽。

【點(diǎn)評(píng)】按一定的順序排列、計(jì)數(shù)，避免重復(fù)和遺漏情況發(fā)生。

22.【分析】北京到廣州的高鐵共有（2+2）=4（個(gè)）車站，每個(gè)車站都要和其它3個(gè)車

站有往返的車票，所以根據(jù)乘法原理，北京到廣州的高鐵共有4X3（種）不同的往返火

車票。

【解答】解：4X（4-1）

=4X3

=12（種）

答：這些車站間的往返火車票共需12種。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查計(jì)數(shù)方法的應(yīng)用，根據(jù)乘法原理進(jìn)行解答，需要注意的是A到8

和B到A是不同的兩種車票。

23.【分析】如果每?jī)擅∨笥阎g都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每名小朋友都要和其他的2人進(jìn)行一

場(chǎng)比賽，每個(gè)同學(xué)賽2場(chǎng)，共有2X3+2=3（場(chǎng)），據(jù)此解答即可。

【解答】解：（3-1）X3+2