2024-2025學年陜西省榆林市綏德中學高二（下）期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合M={%|-4<%<2],N={x\y=J（久+2）。-4）},則MClN=（）

A.{2}B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-4<x<2}D.{x|-2<%<2]

2.若復數(shù)z=M（a為實數(shù)，i為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點在第二象限內，則實數(shù)a的值可以是（）

A.-2B.1C.0D.-1

3.已知cos。=V（8€（0,兀）），則cos管一。）=（）

A.一等B.-|C.等D.|

4.函數(shù)丫=誓包的部分圖象大致為（）

5.第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日在北京開幕.為保證冬奧會順利進行，組委會需要提前把各項工

作安排好.現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服務，若甲去兩天，乙去三天丙和丁各去一天

則不同的安排方法有（）

A.840種B.140種C.420種D.210種

6.函數(shù)/'（久）=與。⑺=尸均單調遞減的一?個充分不必要條件是（）

A.（0,2）B.[0,1）C.[1,2）D.（1,2]

7.在△ABC中，BC=BA=6,BC=3BD,AC=4AE,則而?麗=（）

31

A.-9B.|C.-jD.-24

8.若關于x的不等式仇x+a--<0有且只有兩個整數(shù)解，則正實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(3仇3+l,4ln2+4]B.[—仇2+1,3/113+1)

C.(Zn2+1,3Zn3+1]D.(3ln2+1,2仇3+3]

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9已知復數(shù)ZI=3+i和Z2=1+3則()

A.|zt|=V10B.-z2-4+4i

C.久=2-iD.^在復平面對應的點在第二象限

z2

10.已知函數(shù)/(久)為R上的奇函數(shù)，且f(2x+l)為偶函數(shù)，則下列說法正確的是()

A.對任意xGR都有f(2-x)=/(x)B"(x)圖象關于直線x=—1對稱

C.函數(shù)f(x)的周期是2D./(2022)=0

11.在平面直角坐標系中，A,B是圓C：(刀-2)2+必=2上的兩個動點，P點坐標為(0,2),則下列判斷正

確的有()

A.AABC面積的最大值為1

B.N4PB的取值范圍為[0,§

C.若48為直徑，則|市+而|=2，1

D.若直線，過點P.則點2到直線I距離的最大值為371

三、填空題：本題共3小題，共15分。

12.已知雙曲線/一，=1(6>0)的兩條漸近線的夾角為泉則6=—

13.在A/WC中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c,若2cs出8=(2a+

c^tanC,bsinAsinC=y/^sinB,則ac的最小值為.

14.在側棱長為2的正三棱錐D-ABC中，DA,DB,DC兩兩垂直，M、E分別

為AC、4B的中點，則三棱錐D-4CE的外接球的表面積為,若P為DM

上的動點，Q是平面ECD上的動點，則4P+PQ的最小值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

為鑒定某疫苗的效力，將400只實驗鼠分為兩組，其中一組接種疫苗，另一組不接種疫苗，然后對這400只

實驗鼠注射病原菌，其結果列于如表:

發(fā)病沒發(fā)病合計

接種a200

沒接種40d

合計80400

(1)求a,d的值，并判斷是否有95%的把握認為實驗鼠是否發(fā)病與疫苗有關？

(2)若將(1)中的頻率視為概率，從該批實驗鼠中任取3只，設其中接種疫苗且發(fā)病的實驗鼠的只數(shù)為隨機變

量X,求X的期望.

參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗界值表：

2

P(K>fc0)0.150.100.050.00250.01

k。2.0722.7063.8415.0246.635

其中，n-a+b+c+d,*…圖鼠)°i(注：保留一位小數(shù)).

16.(本小題15分)

2a”n為奇數(shù)

已知數(shù)列｛即｝滿足a】=1,an+1=

an+2,ri為偶數(shù)

(1)記源=。2?，求證：數(shù)列也+4｝為等比數(shù)列;

(2)求｛a。｝的前2n項和S2rl.

17.(本小題15分)

在四棱錐P—ABC。中，平面PAD1平面2BCD,。為4。的中點，DC//AB,DC1AD,PA=PD,PO=

AB=2DC,BC=<3C￡).

(1)求證：平面PBC_L平面POC；

(2)求平面PA8與平面PCB所成角的余弦值.

18.(本小題17分)

如圖，已知尸是拋物線必=2px(p>0)的焦點，過點4(4,0)的直線/與拋物線交于兩個不同的點M,N(M是

第一象限點)，MN的垂直平分線交拋物線于P,Q.當直線1的斜率為-趣時，|MF|=3.

(I)求拋物線的方程；

(II)若p>L求|PQ|的最小值.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(%)=alnx+-%+—(aW0).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調性；

1

(2)設g(%)=2/一77w%(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))，當」=一工。時,對任意%16[1,4],存在&E

O

(1,3),使0(%1)2/(%2)，求實數(shù)M的取值范圍.

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：集合N={x\y=J(久+2)(x—4)}={x|(x+2)(%-4)>0}={x\x<-2或x>4},

MC\N—{x\-4-<x<2].

故選：B.

求出函數(shù)y=JQ+2)(久一4)的定義域,得到集合N,再利用集合的交集的定義求解.

本題主要考查了求函數(shù)的定義域，考查了集合的基本運算，是基礎題.

2.【答案】A

CL_i(CL_Q(1—i)1,?、I,

【解析】解:Z=而B=2(a-l)—2(a+l)i,

"一1)<°，解得一

由題意可知,

-?a+1)>0

結合選項，故實數(shù)a的值可以是-2.

故選：A.

先利用復數(shù)的除法法則化簡復數(shù)，再利用復數(shù)的幾何意義得到關于a的不等式組，再結合選項進行求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解:由已知條件得：sin0=V1-cos20=誓,

故cos怎-0)=—sin3-—號X

故選：A.

直接利用三角函數(shù)的誘導公式求出結果.

本題考查的知識點：三角函數(shù)的誘導公式，三角函數(shù)的值，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：函數(shù)y=件空的定義域為R，

J2—cosx

手(、_—xsin(—2%)_xsin2x_"、

/(x)2-cos(-x)2-cosx八'

可得f(x)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，可排除選項8、D；

由/Q)=0，可得x=?；騭in2x=0,即x=0或x=導kEZ,

而啰)>0,可排除選項C.

故選：A.

首先判斷f(x)的奇偶性，求得零點，考慮//)的符號，由排除法可得結論.

本題考查函數(shù)的圖象的判斷，注意運用函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)形結合思想和推理能力，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：由已知，甲的安排方法為讖，乙的方法為它,剩余的兩天安排丙丁有掰種方法，

故共有C>4?掰=420.

故選：C.

按計數(shù)原理，依次將甲，乙，丙丁的服務時間確定好，然后利用乘法計數(shù)原理求解.

本題考查計數(shù)原理的應用，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：與g(x)=均單調遞減，

(CL—2<0

,*,<g<],.,.0<。<2,

???[1,2)是(0,2),

函數(shù)/'(X)=姆菖與g(久)=(；尸均單調遞減的一個充分不必要條件是口,2),

故選：C.

根據(jù)函數(shù)的性質求出/(X),g(x)是減函數(shù)的充要條件，再根據(jù)集合的包含關系判斷即可.

本題考查了常見函數(shù)的性質，考查函數(shù)的單調性問題，考查充分必要條件以及集合的包含關系，屬于中檔

題.

7.【答案】D

【解析】解：因為說=3而，AC=4AE,

3

一

所以而=加一百1=之前一瓦BE^BA+AEBA+^AC=~BA+^（BC-~BA4-吁

344

BA+7XC^BA+^（BC-BA）=yBA+\~BC,

441744

因為BC=BA=6,

所以赤.而=6比—源）.《雨+”前）=/能~l~BA=-^X62-1X62=3-27=-24.

3441241L4

故選：D.

將向量而,旗轉化為前,瓦?，進而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求得答案.

本題考查平面向量的線性運算與數(shù)量積，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：原不等式可化簡為%仇％+1<4a-ax,設f(%)=xlnx+1,g(%)=4a-ax,

由/(%)=%伉%+1得，/'(%)=M％+1,易知函數(shù)f(%)在(0』)單調遞減，在g+8)單調遞增,

作出/(%)的圖象如下圖所示，

而函數(shù)g(x)=4a-ax恒過點C(4,0),要使關于久的不等式必比+a-等<0有且只有兩個整數(shù)解，則函數(shù)

g(x)的圖象應介于直線4C與直線BC之間(可以為直線BC),又4(2,2伉2+1),8(3,3)3+1),

I0-(2加2+1)7Q170-(3"3+1)Q7Q.

???kAC=-—=一伍2-kBC=———=一3"3-1,

1

—3/113—14—a<一)2——,

1

?,?)2+-<a<3仇3+1.

故選：C.

原不等式可化簡為%+1<4a-a%,設/(%)=%①%+1,g(%)=4a—a%,作出函數(shù)/(、)的圖象，由圖

象可知函數(shù)g(%)的圖象應介于直線AC與直線之間(可以為直線BC),進而求得答案.

本題考查函數(shù)零點與方程根的關系，考查數(shù)形結合思想及運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：由題意，|zi|=V94-1=VZO,A正確;

Zi,=(3+i)(l+i)=3+3i+i+i12*&=2+4i,B錯誤;

&=含=^^=苧=2-3C正確;

z2l+i(l+t)(l-i)2

z2=l-i,在復平面上對應的點為(1,一1),在第四象限，。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)復數(shù)模的公式、運算法則、共朝復數(shù)的定義、復數(shù)對應的點判斷各選項即可.

本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對選項A,因為〃2x+l)為偶函數(shù)，所以f(一2x+l)=/(2K+1),

所以/'(-X+1)=/(X+1),/(2-x)=/(%),故A正確.

對選項C,因為知函數(shù)/(久)為R上的奇函數(shù)，所以/(-X)=-/0),

因為f(2—x)=f(x),f(2+x)="f)=

所以f(4+x)=f(x),則函數(shù)f(久)的周期是4k且k€N*,故C錯誤.

對選項8,函數(shù)f(x)的周期是4,所以/(—2—x)=/(2—x),

因為“2—久)=/(*),所以"―2—x)=/(x),

所以/(%)圖象關于直線久=-1對稱，故B正確.

對選項。，因為函數(shù)f(x)的周期是4,

所以/"(2022)=/(2),又f(2-x)=f(x),函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，

所以「(2022)=/(2)=/(0)=0,故D正確.

故選：ABD.

利用函數(shù)的周期性，對稱性和奇偶性依次判斷選項即可.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：由題意得圓C：Q—2)2+V=2的圓心。(2,0),半徑r=

對于4：S44BC=||CX|'\CB\sinZ-ACB=|r2-smZ.ACB=smZ-ACB<1,

當且僅當NACB=90。時，等號成立，??.△ABC面積的最大值為1,故A正確；

對于B：作出圓C,如圖所示：

圖①圖②

由圖象①可得當P,A,B三點共線時，止匕時乙4PB最小，且為0。,

由圖象②可得當P4PB分別與圓C相切時，此時乙4PB最大，

由題意得|PC|=V22+22=2，W,\CA\=r=

在RtAACP中，sinzXPC=得=2，則N2PC=/

由圓的性質可得乙4PB=2乙4PC=I，

??.N4PB的取值范圍為［0,芻，故8正確；

對于C：若4B為直徑，且C是的中點，

由平行四邊形法則得成+方=2定，\PC\=V22+22=2，2

：.\~PA+~PB\=2\~PC\=4/2，故C錯誤；

對于。：作圖，如圖所示：

由圖象可得當月P1L垂足為P時，此時點4到直線I的距離最大，設最大距離為d,

則d=|PC|+r==3，至，故。正確，

故選：ABD.

由題意得圓C：（久一2）2+必=2的圓心C（2,0）,半徑r=逐一分析選項，即可得出答案.

本題考查直線與圓的位置關系和圓的基本性質，考查直觀想象和邏輯推理能力、運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】?或門

【解析】解：雙曲線/=1仙＞0）的漸近線方程為y=+bx,

b

漸近線斜率是±6,而夾角是最

因為兩直線關于無軸對稱,

所以和工軸夾角是總逑

即b=tang=苧或tang=V_3,

OD3

故答案為：?或，^,

先根據(jù)雙曲線方程求得漸近線的斜率進而根據(jù)夾角是60。，求得2的值，即可得到結果.

a

本題主要考查了雙曲線的性質，主要是漸近線方程的求法，注意兩直線的夾角問題時要注意考慮兩個方

面.

13.【答案】12

【解析】【分析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求cosB,進而可得B的值，利用正弦定理化簡已知等式可

得ac=2b,又由余弦定理，基本不等式即可求解.

本題考查正弦定理，余弦定理以及三角恒等變換的公式的應用，考查基本不等式的應用，本題把，Is出B

變形為2x亨XsinB=是關鍵，屬中檔題.

【解答】

解：因為=(2a+c)tanC,

由正弦定理可得2sinCs譏B=(2sinA+sinC)tanC=(2sinA+s譏C)嬴不

又sinCH0,

所以2s譏8cosc=2sinA+sinC=2sin(B+C)+sinC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC,

???2cosBsinC+sinC=0,可得2cosB=-1,

1

???cosB=-

O-TT

???由B6(0,7T),可得B,

因為bsizh4s譏C=y/~3sinB=2sinBsinB,

所以bac=2bxb,所以QC=2b,

又由余弦定理有爐=a2+c2—2accosB=a2+c2+ac,

所以肯/>2ac+ac=3ac,當且僅當a=c時等號成立，

所以ac>12,當且僅當a=c時等號成立.

故答案為：12.

14.【答案】8兀竺丑

【解析】解：因為DB,DC兩兩垂直，DA=DB=DC=2,

所以48=4。=BC=2/2,

因為M,E分別為AC、4B的中點，

所以MA=MC=MD=ME=/2,

故M為三棱錐D-4CE的外接球球心，

所以三棱錐。-4CE的外接球的表面積S=4兀7?2=4兀x(/2)2=8兀;

由題知在正三棱錐4BCD中，E為中點，

AB1DE,AB1CE,

：.AB1平面CDE,

設CE中點為G,連接MG,

???M為4C中點，

MG//AE,且MG=^AE=苧，

.-.MG1平面CDE,

DG即為DM在平面CDE上的射影，

沿DM展開平面2DM,使之與平面GDM重合，

此時，AP+PQ的最小值即為點力到DG的距離，

故過點4作4Q1DG于點Q.

又DM=

sinzMOG=饕=44MDG=30°,

MD2

???乙ADM=45°.

???sin^ADQ=sin(z40M+乙MDG)=sin(45°+30°)=維C,

???AQ=AD?smZ-ADQ=2x——-——=——-——,

故答案為：8兀；省1

根據(jù)條件可計算得MA=MC=MD=ME=^2,故M為三棱錐D-ACE外接球球心，代入球的表面積公

式計算即可;

由4B1平面CDE,找出DM在平面CDE上的射影DG,再沿DM展開平面4DM,使之與平面GDM重合，此

時，4P+PQ的最小值即為點4到DG的距離，最后結合數(shù)據(jù)解三角形即可.

本題考查幾何體外接球以及空間幾何體中的距離最值問題，需要學生有較強的空間想象和思維能力，屬于

難題.

15.【答案】解：(l)a=80-40=40,d=400-80-200=120,2x2列聯(lián)表如下:

發(fā)病沒發(fā)病合計

接種40200240

沒接種40120160

合計80320400

2_400(40x120-200x40)2

__240x160x320x80?4.167>3.841,

.??有95%的把握認為實驗鼠是否發(fā)病與疫苗有關.

(2)由(1)的列聯(lián)表可知，接種疫苗且發(fā)病的實驗鼠的只數(shù)占樣本總數(shù)的頻率為魯=之,

4UU1U

從而在抽取的實驗鼠中接種疫苗且發(fā)病的概率為0.1,

???X?8(3,0.1),

??.隨機變量X的期望為E(X)=3x0.1=0.3.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結合獨立性檢驗公式，即可求解.

(2)由(1)的列聯(lián)表可知，接種疫苗且發(fā)病的實驗鼠的只數(shù)占樣本總數(shù)的頻率為魯=白，從而在抽取的實驗

4UU1U

鼠中接種疫苗且發(fā)病的概率為0.1,X服從二項分布，結合期望公式，即可求解.

本題主要考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了二項分布的期望公式，屬于基礎題.

16.【答案】(1)證明：由已知得，瓦=g=2al=2,所以瓦+4=6,

a9aa

由力九=2n知4;+1=2n+2=^2n+l~2(tt2n+2)=2bn+4,

所以b九+i+4=2(bn+4),

故數(shù)列｛b九+4｝是首項為6,公比為2的等比數(shù)列.

n

(2)解：由(1)可得，hn=3x2-4,即。2"=3'2九一4,

記〃=4+⑦+…+勾=3(2+22+…+2九)-4九=3X2n+1-4n-6,

又。2九二2a2九-1，所以。2九-1=2a2九，

13

+++

11-g的--++-

故S2rl=+02+…++。2九=502++萬+04+.2nn2?4^2

|7^=9x2n-6n-9.

【解析】(1)由g=a2nf知既+i=a2n+2,利用a九的遞推公式可得e+i=2bn+4,再米用構造法，得

證；

(2)易知a2n=3X271—4,先求得數(shù)列｛4｝的前幾項和7；,由Cl2n=2a2nT，知a2n.l=2a2n，從而推得

3

S2n=沔.

本題考查數(shù)列的求和，熟練掌握奇偶項數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，分組求和法是解題的關鍵，考查邏輯

推理能力和運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：連接。B,在APAD中，PA=PD,且。為2D的中點，

POLAD,

?.?平面PAD1平面力BCD,平面PADC平面4BCD=AD,POu平面PAD,

???PO_L平面4BCD,

???BCu平面4BCD,POIBC,

■：DC//AB,DC1AD,：.ABLAD,

在RM02B中，OB2=OA2+AB2=OA2+4DC2,

在RtAOCD中，。。2=。。2+。。2=。4+。。2,

???BC=0CD,■■OB2=0C2+BC2,BC1OC,

?；POCOC=0,PO,。。＜=平面。。。，BC_L平面POC,

,；BCu平面PBC,平面PBC_L平面POC.

(2)如圖，以。為坐標原點，。4OP年在直線分別為x軸，y軸，過。且垂直于4D的直線為y軸，建立空間

直角坐標系，

設DC=2,貝i]P。=AB=4,BC=20，由題意得4D=2，I，

則4(涯,0,0),5(72,4,0),C(-/2,2,0),P(0,0,4),

???AB=(0,4,0),CB=(272,2,0)，PB=(72,4,-4),

設平面P4B的一個法向量為元=(x,y,z),

則pt-AB=4y=0,

取x=4,得記=(4,0,2)，

[n-PB=y/~2x+4y-4z=0

設平面PCB的一個法向量為沅=(a,b,c),

貝/記?CB=2A/~2CI+2b=0

Im-PB=y[2a+4b-4c=0取a=2A/-2>得記=(2A/-2,—4,—3)?

設平面P4B與平面PC8的夾角為8,

\n-m\|8/2-3<2|5/33

|cos0|=|cos<m,n>\=

同?9|/18-/3399

由圖可知，。為銳角,

???平面P4B與平面PCB所成角的余弦值為嚶1

【解析】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

⑴推導出P0_L4D,通過證明BC_L平面P0C,證明平面PBC1平面P0C.

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面P4B與平面PCB所成角的余弦值.

18.【答案】解：(I)由題意可得直線1的方程為％=—+4,MyI),y1>0,

由拋物線的方程y2=2px,可得焦點F《,0),準線方程為x=-5

f

yl=2pxr

則=—苧yi+4,可得*=2[6-2(-苧yi+4)](一年y1+4),BP3yf-10/2yi+16=0,yx>

乙乙乙

ji+%3

0,

可得力=、7~^，「=：或%=27"^,p-2,

所以拋物線的方程為：y2=3或y2=4X；

(II)由(I)可得p>1時，拋物線的方程為：y2=4x,

由題意可得直線Z的斜率存在且不為0,設直線/的方程為x=my+4,yt>0,N(x2,y2),

P(x3,y3),Q(x4,y4),

聯(lián)立代”?+4,整理可得：y2_4w_16=0,可得yi+y2=4m,+x2=+y2)+8=

(y=4%一

4m2+8,

所以MN的中點的坐標(2m2+4,2m),

所以MN的中垂線的方程為％=-^(y-2m)+2m2+4,

聯(lián)立“=一芯y_2m)+2W+4,整理可得：2+±8而—24=0,

(y=4x

47

丫3+、4=_而y3y4=-8血-24,

于是可得|PQ|=Jl+^2,1%-y2l=27n2+8+、+3,

171

令t=^29并記f(t)—2t+8+工+”,(￡>0),

求得導函數(shù)[(t)=2—L