13.3.2三角形的外角（原卷版）

目錄

類型一、利用三角形的外角求角度...............................................................1

類型二、利用三角形的外角解決實(shí)際問(wèn)題.........................................

夯基礎(chǔ)

類型一、利用三角形的外角求角度

1.一副三角板如圖放置，若N2=75。，則/I的度數(shù)為（）

2.如圖，在VA2C中，4=29。，。為4B延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OE〃3C.若ND=46。，則NC的度

3.如圖，把一個(gè)含有45。角的直角三角板放在一張對(duì)邊平行的紙條上，其中直角頂點(diǎn)落在紙條的一邊上,

4.如圖，直線CE〃DF,ZCAB=125°,ZABD=S5°,則Nl+N2=()

C.36°D.40°

5.如圖是某款鏟子的側(cè)面示意圖，已知AB〃。尸，AC//EG,BD//CE,若4=126。，ZD=116°,則/A

C.11°D.12°

6.如圖，一把直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=52。，則N2的度數(shù)為（）

C.138°D.142°

7.如圖，D,E兩點(diǎn)分別在VA5c的兩邊A5,AC上，連接已知Nl+N2=a,則/A=()

180。一aC.67-180°D.360。一a

8.如圖，直線ab,Zl=70°,N3=40。，則N2等于()

A.40°B.35°C.30°D.50°

9.如圖，兩直線。，6被直線c所截，已知a〃八?270?,Z3=120°,則N1的度數(shù)為（）

C.60°D.70°

10.如圖，將一塊直角三角板放于兩條平行線上，若/1=130。，則/2=（）

11.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么N1等于（）

12.如圖，平分/ACB,DEAC.若4=35。，則N2的度數(shù)為（）

13.如圖，把一個(gè)含60。角的直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直尺上，ZA=60°,則Nl-N2等于（)

A.10°B.20°C.30°D.40°

14.如圖所示，已知直線。〃6,4=110。，/2=62。，則N3的度數(shù)為

AC

1

2

Z>\

b

B

15.如圖.AD是VABC的外角/C4E的平分線.AB=35°,NDAE=55°.則NACB的度數(shù)是度.

16.如圖，Z1=75°,Z2=105°,ZC=ZD.

(1)判斷AC與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)若比NA大25。，求N尸的度數(shù).

17.如圖，已知N3CD=130。，EF//DC,/E4P=100。，ZEFA=20P,求上3的度數(shù).

18.如圖，在VA2C中，AD,AF分別是VABC的中線和高，即是的角平分線.

⑴若VA2C的面積為60,BD=W,求AF的長(zhǎng)；

⑵若NBED=42。，/BAD=25°,求ZBAF的大小.

類型二、利用三角形的外角解決實(shí)際問(wèn)題

19.汽車前燈是由燈泡、反光鏡和配光鏡三部分組成，光源位于焦點(diǎn)處，光線經(jīng)反射后互相平行射出.如

圖為其側(cè)面示意圖，己知4=20。，Z3=56°,則N2的度數(shù)為（）

A.20°B.26°C.36°D.56°

20.如圖，平放在桌面上的燒杯中放著液體，當(dāng)光線從空氣射入液體中時(shí)，光線的傳播方向會(huì)發(fā)生改變.若

圖中Nl=40。，Z2=30°,則N3的度數(shù)為（）

21.圖1是某折疊椅的側(cè)面圖，圖2是該折疊椅抽象成的幾何圖形，椅面。E與地面平行，4=50。,

ZBCD=105°,則椅子靠背與椅面夾角NED尸的度數(shù)為（）

A.130°C.115°D.105°

22.唐朝李白的《行路難》有句詩(shī)“長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海.”如圖是小明作的一個(gè)帆船模型抽象

的幾何圖形，已知3C〃EF,^A=30°.若NADE=70。,則/C的度數(shù)為（）

C.45°D.57°

23.空竹在我國(guó)有悠久的歷史，明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法記述，明定陵亦有出

土的文物為證，可見(jiàn)抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上，為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，感受我國(guó)的傳統(tǒng)文化，

某學(xué)校將國(guó)家級(jí)市物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹，，引入陽(yáng)光特色大課間.如圖1是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間.王

聰把它抽象成如圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知AB〃C￡>,ZE=22°,NECD=103°,以NA的度數(shù)為（）

24.如圖，平行于主光軸的光線A8經(jīng)凸透鏡折射后，折射光線與經(jīng)過(guò)光心。的光線OE相交.若

Z1=160°,Z2=45°,則N3=

B?.通m

1.如圖AB〃CD,/G4B的平分線AE與/ACT的平分線CE交于點(diǎn)E,且NE=NBAF=14°,則//=()

GJ

CD

A.28°B.42°C.56°D.58°

2.如圖，AB//CD,有圖中a,6y三角之間的關(guān)系是()

AB

CD

A.a+/+/=180。B,。一萬(wàn)+/=180°

C.cr+/7-/=18O°D,a+/3+y=360°

3.如圖，三角形。防是由三角形A3C平移得到的，點(diǎn)。在邊AC上,連接CE.若/BCE和/C即中其中

一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，ZB=60°,則/CED的度數(shù)為_(kāi)________.

BE

ADC尸

4.VA5C中，NC=70。，點(diǎn)。，E分別是VABC邊AC,5C上的點(diǎn)，點(diǎn)尸是一動(dòng)點(diǎn)，令NPZM=N1,

NPEB=Z2,4DPE=4a.

cc

C/Kc上c

APBAPBABPABAB

圖1圖2圖3圖4圖5

初探：

(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段A3上，且Na=60。,貝l」Nl+N2=________°；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段A3上運(yùn)動(dòng)，則NLZ2,/tz之間的關(guān)系為_(kāi)________；

(3)如圖3,若點(diǎn)P在線段A5的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),則Nl,Z2,/a之間的關(guān)系為_(kāi)_________.

再探：

(4)如圖4,若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到VABC的內(nèi)部，寫出此時(shí)Nl,Z2,N&之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(5)若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到VABC的外部，請(qǐng)?jiān)趫D5中畫出一種情形，寫出此時(shí)/I,Z2,Na之間的關(guān)系，并說(shuō)明

理由.

1.【認(rèn)識(shí)概念】如圖①，在一ABC中，若NABD=NDBE=NEBC,則BE叫做—A3C的“三分線”.其

中，是“近AB三分線”，BE是“近BC三分線”.

(1)【解決問(wèn)題】如圖②，在VABC中，ZA=60°,ZB=45°,若N3的三分線3。交AC于點(diǎn)D,則ZSDC=

(2)如圖③，在VABC中，BP、CP分別是—4BC近A8三分線和一AC3近AC三分線，且族，CP,求NA

的度數(shù)；

(3)【方法延伸】如圖④，直線AC、BD交于點(diǎn)O,NAZ汨的三分線所在的直線與—ACB的三分線所在的

直線交于點(diǎn)P.ZA=55°,ZB=25°,ZADB=m°,直接寫出ZDPC的度數(shù).

2.【問(wèn)題情境】

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線"N,P。和一塊含30。角的直角三角尺ABC(其中

ZACB=90°,/ABC=30。)”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).將三角尺30。角的頂點(diǎn)2放在直線P。上，直線AC與

直線相交于點(diǎn)E.

【操作探究】

(1)聰聰同學(xué)將三角尺ABC按圖1所示放置，若ZAEM=30。，求/C3P的度數(shù)；

(2)明明同學(xué)將三角尺ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，N4SW與/C3P有什么數(shù)量關(guān)系，猜想并證明；

【深入探究】

(3)如圖3,如果直線尸。不動(dòng)，慧慧同學(xué)加大了平行線與尸。之間的距離，使平行線之間的距離大于

AB.繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)三角尺ABC,點(diǎn)A始終在平行線之間，請(qǐng)直接寫出NA￡"與/C3P所有可能的數(shù)量關(guān)系.

3.問(wèn)題情境:如圖①，AB//CD,ZPAB=130°,/PCD=120。，求—APC度數(shù).小明的思路是:過(guò)P作PEAB,

通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求一APC的度數(shù).

圖①圖②圖③圖④

(1)按小明的思路，易求得NAPC的度數(shù)為_(kāi)____度；

(2)問(wèn)題遷移：如圖②，AB//CD,點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動(dòng)，記=4PCD=/3.

①當(dāng)點(diǎn)尸在8、。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出/APC與a,4之間的數(shù)量關(guān)系；

②如果點(diǎn)尸在8、。兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)尸與點(diǎn)。、B、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)直接寫出ZAPC與a,4之間

的數(shù)量關(guān)系；

(3)問(wèn)題解決：

如圖③是北斗七星的位置圖，將其抽象成圖④，其中北斗七星分別標(biāo)為4B、C、D、E、尸、G,將4、B、

C、D、E、F、A順次連接，天文小組發(fā)現(xiàn)若AP恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,S.AF//DE,/B=ZBCD+5。,〃=95。，

那么—3與/CGF有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明.

4.在VABC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作ODLOB,交邊BC于點(diǎn)。.

(1)如圖1,①若44C=50。，則NCOD=；

②若NAOC=110。，求NODC的度數(shù)；

(2)如圖2,作一ABC外角XABE的平分線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

①求證：BF//OD；

②在08戶中，如果有兩個(gè)角度數(shù)的比是1:3,請(qǐng)直接寫出/A4c的度數(shù).

1332三角形的外角（解析版）

目錄

類型一、利用三角形的外角求角度................................................................1

類型二、利用三角形的外角解決實(shí)際問(wèn)題.........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

夯基礎(chǔ)

類型一、利用三角形的外角求角度

1.一副三角板如圖放置，若N2=75。，則N1的度數(shù)為（）

A.45。B.60°c.75。D.90。

【答案】D

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).明確角度之間的數(shù)量關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.如圖，由題意知，ZA=30°,ZD=45°,由三角形外角的性質(zhì)得到N2=NA+/AGE,求出

ZAGE=45°,由對(duì)頂角的定義得到NHGD=NAGE=45。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到

NGHD=180。-ND-/HGD,最后由對(duì)頂角的定義即可得到結(jié)果.

【詳解】解：如圖，由題意知，ZA=30°,Z￡>=45°,

團(tuán)N2=NA+NAGE,Z2=75°

EINAGE=45°,

BZHGD=ZAGE=45°,

0ZGHD=1800-ZD-ZHGD=90°,

I3/1=/GHD=9O°.

故選：D.

2.如圖，在VABC中，ZA=29°,。為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE〃3c.若ND=46。，則―C的度

C.17°D.23°

【答案】C

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和外角的性質(zhì)定理，熟記性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

根據(jù)OE〃3C,可得NCBD=NADE=46。，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得/C=/CBD—/A=17。.

【詳解】解：DE//BC,

:.NCBD=ZADE=46°,

ZCBD是，ABC的外角，ZA=29。,

.'.ZC=ZCBD-ZA=17°.

故選：C.

3.如圖，把一個(gè)含有45。角的直角三角板放在一張對(duì)邊平行的紙條上，其中直角頂點(diǎn)落在紙條的一邊上,

(

C.120°D.135°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出N3的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外

角的性質(zhì)，求出N2的度數(shù)即可.

【詳解】解：回對(duì)邊平行的紙條,

回/3=/1=60。，

由題意，Z4=45°,

0Z2=Z3+Z4=1O5°；

故選B.

4

32

4.如圖，直線CE〃。/，ZCAB=125°,ZABD=85°,則Nl+N2=()

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得/C防+/￡>￡￡=180。，

再由三角形外角的定義及性質(zhì)可得NCEF=125O-N1,ZDFE=85°-Z2,計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知

識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：SCE//DF,

0ZCEF+ZDF￡=180°,

EIZ2+Zr>FE=85o,Z1+ZCEF=125°,

0ZCEF=125°-Zl,ZDFE=85°-Z2,

0125°-Zl+85°-Z2=18O°,

0Z1+Z2=3O°,

故選：A.

5.如圖是某款鏟子的側(cè)面示意圖，已知AB〃。尸，AC//EG,BD//CE.若NE=126。，NO=116。，則NA

的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì).利用平行線的性質(zhì)求得N3=/D=n6。,

ZACE=ZE=126°,ZAHD=ZACE=126°,再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)AC交8。于點(diǎn)H,

團(tuán)N3=ND=116。,

團(tuán)AC〃石G,ZE=126°,

ZACE=ZE=126°f

^\BD//CE,

^\ZAHD=ZACE=126°,

團(tuán)NA=ZAHD-ZB=126°-116°=10°,

故選：B.

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)定理，利用平行線的性質(zhì)得出N2=NBCQ是解此題

的關(guān)鍵.先根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NF8的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

團(tuán)NFTD=N2.

團(tuán)ZFCD=N1+ZA,Zl=52°,ZA=90°.

^Z2=ZFCD=142°.

故選：D.

7.如圖，D,E兩點(diǎn)分別在VABC的兩邊AB,AC上，連接OE,已知Nl+N2=c,則/A=()

A.?-90°B.180°-aC.a—180°D.360°-。

【答案】C

【分析】本題考查鄰補(bǔ)角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得/ADE+乙皿=360。-戊，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：0ZADE=180°-Zl,NAED=180°-N2,

0ZADE+ZAED=360°-(Zl+Z2)=360°-a,

BiZADE+ZAED+ZA=180°,

0ZA=18O°-（ZADE+ZA￡D）=18Oo-（36Oo-a）=tz-18Oo,

故選：C.

8.如圖，直線。b,Zl=70°,Z3=40°,則/2等于（）

A.40°B.35°C.30°D.50°

【答案】C

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì).根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N4=/l=70。,再根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)得到N2=N4—N3=30°即可.

【詳解】解：如圖，

回直線。b,Zl=70°,

m/4=/1=70°,

0Z2+Z3=Z4,

0^2=Z4-Z3=3O°

故選：C.

9.如圖，兩直線。，6被直線c所截，已知a〃6,?270?,/3=120。，則N1的度數(shù)為()

【答案】A

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)三角形外角的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合思想.由?！ㄈ烁鶕?jù)兩直線平行，同位角相等，可得N1=N4,由三角形外角的性質(zhì)可得

/3=/2+/4=120。，求出/4=50。，即可求得4的度數(shù).

【詳解】解：如圖，

0Z2=7O°,Z3=Z2+Z4=120°,

.-.Z4=50o,

.?.Zl=Z4=50°.

故選：A.

10.如圖，將一塊直角三角板放于兩條平行線上，若4=130。，則/2=()

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得

Z4=Zl-90°=40°,進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等，即可求解.

【詳解】解：如圖，

13/1=130°,

回/4=/1一90°=40°

回兩直線平行，

0Z3=Z4=4O°

0Z2=Z3=4O°,

故選：B.

11.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么N1等于（）

A.45°B.60°C.105°D.120°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的

關(guān)鍵.首先求出/ABC==45。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：將一副三角板按如圖方式疊放，如圖，A、B、C、。標(biāo)記如下：

BD

由題意知：2ABD90?,ZCBD=45°f

/.ZABC=ZABD-ZCBD=45°,

ZA=60。，

/.Z1=ZA+ZABC=60°+45°=105°

故選：C

12.如圖，CO平分NACB,DEAC,若Nl=35。，則N2的度數(shù)為（）

A.45°B.55°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知

NECD=Z1=35。，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知NEDC=N1=35。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知

Z2=ZECD+ZEDC=70°.

【詳解】解：CO平分NACB,

.\ZECD=Zl=35°f

DEAC,

/EDC=/I=35。,

N2是二?！?。的外角，

.\Z2=ZECD+ZEDC=35°+35°=70°.

故選：C.

13.如圖，把一個(gè)含60。角的直角三角板A5C的直角頂點(diǎn)C放在直尺上，NA=60。，則4-N2等于（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是

解題關(guān)鍵.根據(jù)三角板可得N3=30。，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，得至IJN1=4+N2,即可

求解.

【詳解】解：ZA=60°,ZACB=90°,

.?.Zfi=30。，

a//b,

"l=/3,

Z3=ZB+Z2,

.-.Z1=ZB+Z2

.-.Z1-Z2=ZB=3O°，

故選：C.

14.如圖所示，已知直線?！?,4=110。，Z2=62°,則N3的度數(shù)為

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由三角形外角的性質(zhì)得到NC4B=48。，再根據(jù)平

行線的性質(zhì)即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：EZl=110°,Z2=62°,

0ZC4B=Z1-Z2=48°,

Sa//b,

E1N3=NC4B=48°,

故答案為：48。.

15.如圖.AD是VABC的外角NC4E的平分線.ZB=35°,NDAE=55°.則,ACS的度數(shù)是度.

【分析】本題主要查了三角形外角的性質(zhì).先根據(jù)角平分線的定義可得/C4E=2/ZME=110。，然后根據(jù)

三角形外角的性質(zhì)解答，即可.

【詳解】解：回AO是VA2C的外角/C4E的平分線，ZZME=55°,

ElNC4E=2/ZME=H0。，

S1ZCAE=ZB+ZACB,4=35°,

0NACB=ZCAE-ZB=75°.

故答案為：75

16.如圖，Z1=75°,Z2=105°,ZC=ZD

⑴判斷AC與。尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)若NC比一A大25。，求N尸的度數(shù).

【答案】(1)AC〃。尸，理由見(jiàn)解析

(2)40°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)平行線的判定可得BD〃CE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NO=NCEF,然后根據(jù)等量代換可得

NC=NCEF,最后根據(jù)平行線的判定即可得；

(2)設(shè)NA=x,從而可得/C=x+25。，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出x的值，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)

即可得.

【詳解】(1)解：AC//DF,理由如下：

Z1=75°,Z2=1O5°,

.-.Zl+Z2=180o,

;.BD//CE,

:./D=NCEF,

又NC=ZD,

:.ZC=ZCEF,

:.AC//DF；

(2)設(shè)ZA=x,貝|NC=x+25。，

由三角形的外角性質(zhì)得：N2=ZA+NC,即105。=工+了+25。，

解得x=40。，

即ZA=4O°,

由(1)己證：AC//DF,

.-.ZF=ZA=40°.

17.如圖，已知N3CD=130。，EF//DC,ZEAF=100°,ZEFA=20°,求N3的度數(shù).

【答案】4=30。

【分析】本題主要考查三角形外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，弄清楚角之間的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵，

由三角形內(nèi)角和定理以及已知條件可得NE=60。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NECD=/E=60。，易得

ZACB=70°,最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答.

【詳解】證明：Z￡fA+ZE4F+Z￡'=180o,ZE4F=100°,ZEFA=20°,

:.ZE=180°-ZEFA-ZEAF=60°,

^EF//DC,

:.NECD=/E=60。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

?BCD130?,

ZACB=NBCD—NECD=70°,

ZEAF=ZB+ZACB（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），

:.ZB=NEAF-ZACB=30°.

18.如圖，在VABC中，AD,AF分別是VABC的中線和高，5E是△ABD的角平分線.

⑴若VABC的面積為60,BD=W,求AF的長(zhǎng)；

（2）若ZBED=42。,ZBAD=25°,求NSAb的大小.

【答案】（1）AF=6

（2）ZBAF=56°

【分析】本題考查了三角形的中線、高和角平分線，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是掌握相關(guān)知識(shí).

⑴由三角形的中線定理可得：Swf/=3。，CD=BD=10,再結(jié)合即可

求解；

（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出Z4BE=17。，根據(jù)角平分線的定義可得NABF=34。，最后根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】（1）解:AO是VABC的中線，VABC的面積為60,

^AACD=23△ABC=30,CD-BD=10,

SACD=；CD?AF=30,

y2x3060，

二.AF=------=——=6,

CD10

AF=6；

(2)ZBED=42°,ZBAD=25°,

AZABE=/BED—/BAD=42。-25。=17。,

班1是的角平分線，

ZABF=2ZABE=34°f

.AF是VABC的高，

ZAFB=90°,

ZBAF=180°-ZABF-ZAFB=180°-34°-90°=56%

ZBAF=56°.

類型二、利用三角形的外角解決實(shí)際問(wèn)題

19.汽車前燈是由燈泡、反光鏡和配光鏡三部分組成，光源位于焦點(diǎn)處，光線經(jīng)反射后互相平行射出.如

圖為其側(cè)面示意圖，已知Nl=20。，N3=56。，則N2的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得“EF=N3=56。，然后利用三

角形的外角性質(zhì)即可得解.

【詳解】解：由題意可得反〃CD,如圖，

反光攤

團(tuán)/I=20°,

ElZ2=Zr)EF-Zl=36o,

故選：c.

20.如圖，平放在桌面上的燒杯中放著液體，當(dāng)光線從空氣射入液體中時(shí)，光線的傳播方向會(huì)發(fā)生改變.若

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的定義，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NEFG=4=40。，再根據(jù)三角形外角的定義即可得出答案.

.Z2=30°,

,Z3=N2+ZEFG=30°+40°=70°,

故選D.

21.圖1是某折疊椅的側(cè)面圖，圖2是該折疊椅抽象成的幾何圖形，椅面。E與地面平行，々=50。,

ZBCD=105°f則椅子靠背與椅面夾角NED尸的度數(shù)為（）

C.115°D.105°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等；由平行線的性質(zhì)得N區(qū)=/石=50。，由三角形外

角的性質(zhì)得NEZ乃=180。-NCD￡,即可求解；能熟練利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回椅面與地面平行,

AB//DE,

:.ZB=ZE=50°,

ZBCD=105°,

.\ZCDE=ZBCD-ZE

=105°-50°=55°,

ZEDF=1800-ZCDE

=180°-55°

=125°；

即椅子靠背與椅面夾角NEDb的度數(shù)為125。.

故選：B.

22.唐朝李白的《行路難》有句詩(shī)“長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海.〃如圖是小明作的一個(gè)帆船模型抽象

的幾何圖形，已知〃石F,/4=30。.若NADE=70。,則NC的度數(shù)為（）

C.45°D.57°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NC5D=NAT史=70。,

進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得/C=NCBD-/A,即可求解.

【詳解】解：回BC〃EF,

ElZCBD=ZADE=70°,

fflZA=30°,

ZC=/CBD—ZA=70?！?0°=40°,

故選：A.

23.空竹在我國(guó)有悠久的歷史，明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法記述，明定陵亦有出

土的文物為證，可見(jiàn)抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上，為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，感受我國(guó)的傳統(tǒng)文化，

某學(xué)校將國(guó)家級(jí)市物質(zhì)文化遺產(chǎn)"抖空竹"引入陽(yáng)光特色大課間.如圖1是某同學(xué)"抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間.王

聰把它抽象成如圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知4=22。，^ECD=103°,以—A的度數(shù)為（）

W2

A.77°B.80°C.81°D.99°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，準(zhǔn)確利用三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.直

接利用三角形外角的性質(zhì)求出NEFC=81。，再利用平行線的性質(zhì)得出NA=NEFC=81。即可；

【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)。C交AE于點(diǎn)產(chǎn)，

0ZEFC=ZECD-ZE=103°-22°=81°.

^\AB//CD,

0ZA=ZEFC=81°,

故選：C.

24.如圖，平行于主光軸VN的光線AB經(jīng)凸透鏡折射后，折射光線3c與經(jīng)過(guò)光心。的光線相交.若

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等.設(shè)3cMN交于點(diǎn)G,根據(jù)平行

線的性質(zhì)，可得N頗/=180°-Z1=20°,再由三角形外角的性質(zhì)，可得定=N2-ABGM=25°,然

后根據(jù)對(duì)頂角相等，即可解答.

0Z1+ABGM=180°,

團(tuán)Nl=160。，

^ABGM=180°-Z1=20°,

IEZ2=ABGM+ACOE.Z2=45°,

^ACOE=Z2-ABGM=25°,

團(tuán)N3=ACOE=25°.

故答案為：25

B提能力

1.如圖AB〃CD,/GAB的平分線AE與/AC/的平分線CE交于點(diǎn)且NE=44F=14。，貝!!ZF=()

A.28°B.42°C.56°D.58°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)尸作FP〃AB,由AB〃CD〃尸產(chǎn)得NAFC=4AF+NFCD,

ZDCF=2ZGAE-2ZACE=2(/GAE-ZACE)=28°,即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作FP〃AB,如圖

^ZAFP=ZBAF=14°,

^AB//CD,/GAB的平分線AE與NAC尸的平分線CE交于點(diǎn)E

田AB〃CD〃PF,ZBAG=ZACDfZGAB=2ZGAE,ZACF=2ZACE,

⑦NPFC=NFCD,2ZGAE=ZACD=ZACF+ZDCF,

即2/GAE=2ZACE+ZDCF,

團(tuán)NG4E=NE+NACE,

0ZGAE-ZACE=ZE=14°,

團(tuán)ZDCF=2ZGAE-2ZACE=2(ZGAE-ZACE)=28°,

ZPFC=ZFCD=28°,

團(tuán)NAFC=NAFP+NCFP=14。+28。=42。

故選B.

2.如圖，AB//CD,有圖中。，仇》三角之間的關(guān)系是()

A.。+￡+/=180。B.a—尸+/=180。

C.。+4一/=180°D.a+/7+y=36O°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì).延長(zhǎng)AE交直線C。于E利用平行線的性質(zhì)，求

得N(z+ZAFD=180。，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AE交直線C。于凡

EIAB〃CD,

0Za+ZAfD=180°,

0ZAfZ)=Z/?-Z/,

0Za+Z/?-Z/=18O°,

故選：C.

3.如圖，三角形OEF是由三角形ABC平移得到的，點(diǎn)。在邊AC上，連接CE.若ZBCE和NCEO中其中

一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，ZB=60°,則NCED的度數(shù)為.

【答案】15?；?5。

【分析】本題主要考查圖形的平移的性質(zhì)，三角形外角和性質(zhì)的綜合，理解圖示，掌握平移的性質(zhì)，平行

線的性質(zhì)，三角形外角和的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圖形的平移，可知〃。瓦/B=6(r,/DGC是，CGE的外角，可得NDGC=NBCE+NCEG,分類討

論，當(dāng)ZBCE=3NCEG時(shí)；當(dāng)3N3CB=NCEG時(shí)；根據(jù)角的和差倍分關(guān)系即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)BC與DE交于點(diǎn)G,

BE

團(tuán)三角形ABC平移得到三角形。麻,

^\AB//DE,ZB=60°,

SZDGC=ZB=m°,

回/OGC是.CGE的外角，

ZDGC=ZBCE+ZCEG,

當(dāng)NBCE=3NCEG時(shí)，ZDGC=3NCEG+ZCEG=60°,

解得,ZCEG=15°；

當(dāng)3ZBCE=NCEG時(shí)，貝ijZBCEMLNCEG,

3

0ZDGC=|ZCEG+ZCEG=60°,解得，ZCEG=45°；

綜上所述，NCED的度數(shù)為15?；?5。，

故答案為：15?；?5。.

4.VA3C中，ZC=70°,點(diǎn),D,E分別是VABC邊AG3c上的點(diǎn)，點(diǎn)尸是一動(dòng)點(diǎn)，令/PDA=N1,

ZP￡B=Z2,ZDPE=Aa.

(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB上，且/a=60。，則Nl+N2=

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則/I,Z2,之間的關(guān)系為

(3)如圖3,若點(diǎn)P在線段A5的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，則Nl,N2,N&之間的關(guān)系為

再探:

(4)如圖4,若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到VABC的內(nèi)部，寫出此時(shí)Nl,Z2,/a之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（5）若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到VASC的外部，請(qǐng)?jiān)趫D5中畫出一種情形，寫出此時(shí)Nl,Z2,之間的關(guān)系，并說(shuō)明

理由.

【答案】⑴130

(2)Zl+Z2=700+Za

(3)Zl=Z2+Za+70°

(4)Z1+Z2=430°-Ztz,理由見(jiàn)解析

(5)Zl-Z2=70°-Z6Z^Z2-Zl=Za-70°,圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等等，熟知三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖1所示，連接CP,證明/1+N2=N4cB+/DPE即可得到答案；

(2)只需要證明N1+N2=NC+"PE即可得到答案；

(3)利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；

(4)利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；

(5)根據(jù)題意畫出圖形，利用三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(1)如圖1所示，連接CP,

回Nl=Z.DCP+NCPD,Z2=ZCPE+ZECP,

0Z1+Z2=ZDCP+ZCPD+NCPE+ZECP=ZACB+ZDPE,

SIZACB=70°,NOPE=60°,

0Z1+Z2=13O°,

故答案為：130；

圖1

(2)解：EZl+ZCDP=180°,Z2+ZCEP=180°,

0Z1+Z2+ZCDP+NCEP=360°,

0ZC=7O°,NDPE=/a,Z,CDP+ZCEP+ZC+ZDPE=360°,

ElZ1+Z2=ZC+ZDPE=70°+(z

故答案為：Zl+Z2=70°+Za；

(3)解:設(shè)。尸與BC交于F,

SZC+ZCFD=Z1,ZCFD=Z2+Za,

0Z1=Z2+Za+7O°,

故答案為：Zl=Z2+Za+70°；

(4)解：如圖所示，連接CP,

⑦/1=ZDCP+NCPD,N2=NCPE+/ECP,

團(tuán)N1+N2=/DCP+4DPC+/ECP+/COD=NACB+360。-ZDPE,

團(tuán)Nl+N2=430。一Na；

C

國(guó)N1=NC+NCOD,/2=/P+/POE,/COD=/POE,

團(tuán)N1—N2=ZC-ZP=70°-/a

C

圖5-1

如圖5-2所示，

國(guó)/1=NP+/POD,/2=NC+NCOE,/POD=/COE,

團(tuán)N2—N1=NP-NC=Na—70。

C

AB

圖5-2

1.【認(rèn)識(shí)概念】如圖①，在NABC中，若NABD=NDBE=/EBC,則師叫做—ABC的"三分線”.其

中，是“近三分線"，8E是"近8C三分線

(1)【解決問(wèn)題】如圖②，在VABC中，ZA=60°,48=45。，若23的三分線交AC于點(diǎn)。，則ZBDC=

(2)如圖③，在VA2C中，BP、CP分別是/A5c近三分線和-4CB近AC三分線，且BPLCP,求—A

的度數(shù)；

⑶【方法延伸】如圖④，直線AC、BD交于點(diǎn)0,NADS的三分線所在的直線與NACB的三分線所在的

直線交于點(diǎn)P.若/4=55。,48=25。,43=相。，直接寫出/OPC的度數(shù).

【答案】⑴75?；?0。

(2)45°

⑶/DPC的度數(shù)為35?；?35-gm]?；?5°或(45+：“|。

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的外角性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.注意要分情況討論.

(1)根據(jù)題意可得-8的三分線8。有兩種情況，畫圖根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得/BDC的度數(shù)；

(2)根據(jù)3尸、CP分別是—ABC近AB三分線和—ACB近AC三分線，且3尸，CP可得？ABC?ACB135?,

進(jìn)而可求—A的度數(shù)；

(3)畫出符合條件的所有情況，①當(dāng)OP和CP分別是"近AD三分線"、"近BC三分線"時(shí)，②當(dāng)DP和CP

分別是“近AD三分線"、"近AC三分線"時(shí)，③當(dāng)DP和CP分別是“近OD三分線"、"近BC三分線"時(shí)，④

當(dāng)DP和CP分別是“近8三分線"、"近AC三分線”時(shí)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出答案即可.

【詳解】([)解：如圖，

當(dāng)BD是“近AB三分線"時(shí)，NBD'C=60。+15。=75°；

當(dāng)BD是“近BC三分線”時(shí)，ZBDC=60O+30°=90°;

綜上，ZBDC=75°或/BDC=90°.

(2)解：[3BP±CP,

國(guó)NBPC=90。,

ZPBC+ZPCB=90°f

團(tuán)5P、CP分別是—ABC近A3三分線和NAC5近AC三分線，

22

⑦NPBC=—/ABC,/PCB=—ZACB,

33

22

17]-?ABC-？ACB90?,

33

國(guó)？ABC2ACB135?,

團(tuán)ZA=180。-(ZABC+ZACB)=180°-135°=45°；

(3)解：①如圖1,當(dāng)。尸和C尸分別是〃近AO三分線〃、〃近5C三分線〃時(shí),

333

ZAOD=ZBOC,

ZA-^-ZADB=ZB+ZACB,

NA=55。，NB=25。，ZADB=m°f

.?.55o+m°=25°+ZACB,

/.ZACB=30°+m°,

22

ZACP=-ZACB=20°+-m°,

33

ZAED=ZCEP,

:.ZA^ZADE=ZDPC-^ZACP

:.55°+-m°=ZDPC+20°+-m°

33

ZDPC=^35-1；

②如圖2,當(dāng)。尸和CP分別是“近AD三分線"、"近AC三分線”時(shí),

圖2

ZADE=-ZADB=-m°,ZACP=-ZACB,

333

由①得/ACB=30°+〃，

同理可得：55°+-m°=ZDPC+10°+-zn°,

33

:.NDPC=45°；

圖3

222

/.ZADE=-ZADB=-m°,ZACP=-ZACB,

333

由①得NACB=300+征，

22

同理可得：55°+-m°=ZZ)PC+20o+-mo,

.\ZDPC=35°；

④如圖4,當(dāng)DP和CP分別是〃近OD三分線〃、〃近AC三分線”時(shí),

B三0

圖4

22

ZADE=-ZADB=-mo,ZACP=-ZACB,

333

由①得ZACB=300+川，

21m°,Z￡>PC=|^45+；

同理可得：55°+-mo=ZZ)PC+10°+-

綜上，/DPC的度數(shù)為35?；?5-gw)。或45?；颍?5+；加卜

2.【問(wèn)題情境】

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以"兩條平行線跖V,尸。和一塊含30。角的直角三角尺A3C(其中

ZACB=90°,NABC=30。)”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).將三角尺30。角的頂點(diǎn)8放在直線尸。上，直線AC與

直線相交于點(diǎn)E.

【操作探究】

(1)聰聰同學(xué)將三角尺ABC按圖1所示放置，若/A￡M=30。，求NC3P的度數(shù)；

(2)明明同學(xué)將三角尺ABC繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，NAE欣與/C3P有什么數(shù)量關(guān)系，猜想并證明；

【深入探究】

(3)如圖3,如果直線尸。不動(dòng)，慧慧同學(xué)加大了平行線MN與P。之間的距離，使平行線之間的距離大于

AB.繞點(diǎn)、B旋轉(zhuǎn)三角尺ABC,點(diǎn)A始終在平行線之間，請(qǐng)直接寫出與/CBP所有可能的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)60°；(2)=90。，證明見(jiàn)解析;(3)/AEM+NCBP=90?；?AEM+NCBP=270。

或NC3P—ZAEM=90°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)

并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

(1)延長(zhǎng)C4交PQ于下，由平行線的性質(zhì)可得NEEB==30。，再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解；

(2)延長(zhǎng)AC交P。于G,由平行線的性質(zhì)結(jié)合對(duì)頂角相等可得NAEM=NCEN=NBGC,再由三角形外角

的定義及性質(zhì)計(jì)算即可得解；

(3)分三種情況：根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

圖I

S1MN//PQ,

BlZEFB=ZAEM=30°,

BlZACB=90o,

0Z.CBP=90°-NEFB=60°；

(2)ZCBP-ZAEM=90°,證