向量基本概念題目及答案1.題目：向量\(\vec{a}=(1,2)\)和向量\(\vec=(3,4)\)，求向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的點積。答案：向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的點積計算公式為：\[\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2\]將向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的對應分量代入公式中，得到：\[\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times4=3+8=11\]所以，向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的點積為11。2.題目：已知向量\(\vec{u}=(2,-3)\)和向量\(\vec{v}=(4,6)\)，求向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)的叉積。答案：向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)的叉積計算公式為：\[\vec{u}\times\vec{v}=u_1v_2-u_2v_1\]將向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)的對應分量代入公式中，得到：\[\vec{u}\times\vec{v}=2\times6-(-3)\times4=12+12=24\]所以，向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)的叉積為24。3.題目：向量\(\vec{p}=(5,7)\)，求向量\(\vec{p}\)的模長。答案：向量\(\vec{p}\)的模長計算公式為：\[|\vec{p}|=\sqrt{p_1^2+p_2^2}\]將向量\(\vec{p}\)的分量代入公式中，得到：\[|\vec{p}|=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\]所以，向量\(\vec{p}\)的模長為\(\sqrt{74}\)。4.題目：向量\(\vec{a}=(3,-2)\)和向量\(\vec=(1,4)\)，求向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的夾角θ。答案：向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的夾角θ可以通過點積和模長來計算，公式為：\[\cos(\theta)=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}\]首先計算點積：\[\vec{a}\cdot\vec=3\times1+(-2)\times4=3-8=-5\]然后計算模長：\[|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\]\[|\vec|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\]代入公式計算夾角的余弦值：\[\cos(\theta)=\frac{-5}{\sqrt{13}\sqrt{17}}\]夾角θ可以通過反余弦函數(shù)求得：\[\theta=\arccos\left(\frac{-5}{\sqrt{13}\sqrt{17}}\right)\]所以，向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的夾角θ為\(\arccos\left(\frac{-5}{\sqrt{13}\sqrt{17}}\right)\)。5.題目：向量\(\vec{c}=(6,8)\)，求向量\(\vec{c}\)的單位向量。答案：向量\(\vec{c}\)的單位向量計算公式為：\[\hat{c}=\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}\]首先計算向量\(\vec{c}\)的模長：\[|\vec{c}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]然后計算單位向量：\[\hat{c}=\left(\frac{6}{10},\frac{8}{10}\right)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\]所以，向量\(\vec{c}\)的單位向量為\(\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\)。6.題目：向量\(\vecakoawcq=(4,-1)\)和向量\(\vec{e}=(2,3)\)，判斷這兩個向量是否平行。答案：兩個向量平行的條件是它們的比例相等，即存在一個非零常數(shù)k使得：\[\vecmekcsgm=k\vec{e}\]將向量\(\veckswcyea\)和向量\(\vec{e}\)的分量代入上述條件，得到：\[4=2k\quad\text{和}\quad-1=3k\]解這兩個方程，得到：\[k=2\quad\text{和}\quadk=-\frac{1}{3}\]由于兩個k值不相等，所以向量\(\veckcqceok\)和向量\(\vec{e}\)不平行。7.題目：向量\(\vec{f}=(1,1)\)和向量\(\vec{g}=(2,2)\)，求這兩個向量的線性組合\(\vec{f}+2\vec{g}\)。答案：向量\(\vec{f}\)和向量\(\vec{g}\)的線性組合計算公式為：\[\vec{f}+2\vec{g}=(1,1)+2(2,2)=(1,1)+(4,4)=(1+4,1+4)=(5,5)\]所以，向量\(\vec{f}\)和向量\(\vec{g}\)的線性組合\(\vec{f}+2\vec{g}\)為\((5,5)\)。8.題目：向量\(\vec{h}=(3,5)\)，求向量\(\vec{h}\)關于x軸和y軸的對稱向量。答案：向量\(\vec{h}\)關于x軸的對稱向量是將y分量取反，即：\[\vec{h}_{x}