專題18圓的基本概念及垂徑定理(9大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測)

力內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué);；教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

3析教材學(xué)知識

知識點(diǎn)L圓

(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成

的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.

(2)靜態(tài)：圓心為0,半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)。的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

方法提示：

①定點(diǎn)為圓心，定長為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球

面，一個(gè)閉合的曲面.

知識點(diǎn)2.圓的有關(guān)概念

1.弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

2.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.

方法提示：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

3.弧的有關(guān)概念：

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作筋，讀作“圓弧AB”或“弧AB”

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.

注意：弦和孤的關(guān)系：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段，孤是圓上任意兩點(diǎn)之間的部分，是曲線，每條

孤對應(yīng)一條弦，而每條弦對應(yīng)的孤有兩條。

4.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

5.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

知識點(diǎn)3.垂直于弦的直徑

名稱交學(xué)語言符號語言

垂直于弦的直徑平分弦,并8是直徑,I

垂徑定理,=<AC=BG

且平分弦所時(shí)的兩條弧CDLABIX*

[AI>=BD

CDLAB.

平分弦（不是直徑）的直徑垂CD是直徑,'

垂徑定理

直于弦,并且平分弦所刻的AC=BC.

的推論58不是直徑）|

兩條孤AD^BD

平分弦所對的一條孤的直徑CD1AB,

AC=BC.

垂直平分弦，并且平分弦所?=>AM=BM,

8是直徑

對的另一條弧AD=BD

拓展

CD是直徑，

弦的垂直平分線經(jīng)過例心.CDLAB.

=,AC^BC.

并且平分弦所對的兩條弧AM^BM

A^BD

對于一個(gè)廁和一條直線,如果具備下列五個(gè)條件中的任意兩個(gè).那么

歸納一定具備尤他三個(gè):①過圓心;②垂直于弦；③平分弦（非直徑）S。評

分弦所對的劣?。虎萜椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧簡記為“知二推三”

練題型強(qiáng)知識

【類型】一、圓的基本概念

1.（24-25九年級下?上海?階段練習(xí)）下列語句中正確的是（

A.直徑是經(jīng)過圓心的直線B.經(jīng)過圓心的線段是半徑

C.半圓是弧D.以直徑為弦的弓形是半圓

【答案】C

【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念，掌握直徑、半徑、半圓和弧、弓形的定義是解題關(guān)鍵.由直徑是線段

不是直線，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)經(jīng)過圓心的線段兩個(gè)端點(diǎn)不一定在圓和圓心上，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)半圓

是直徑所對的弧，弓形是由弦及其所對的弧組成，可判斷C、D選項(xiàng).

【詳解】解：A、直徑是經(jīng)過圓心的弦，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、經(jīng)過圓心的線段不一定是半徑，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、半圓是弧，選項(xiàng)正確；

D、以直徑為弦的弓形不是半圓，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

2.（23-24九年級上?寧夏石嘴山?期中）如圖，下列說法正確的是（）

A.線段AB,AC,CD都是的弦

B.線段AC經(jīng)過圓心0,線段AC是直徑

C.AD=BD

D.弦AB把圓分成兩條弧，其中AC8是劣弧

【答案】B

【分析】本題考查圓的相關(guān)定義，根據(jù)弦的定義對A進(jìn)行判斷；根據(jù)直徑的定義對B進(jìn)行判斷；不能確定

AD=BD,則可對C進(jìn)行判斷；根據(jù)劣弧和優(yōu)弧的定義對D進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.線段AB,AC都是00的弦，不是，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.線段AC經(jīng)過圓心。，線段AC是直徑，所以B選項(xiàng)符合題意；

C.當(dāng)點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)時(shí)，AD=BD,所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.AC2為優(yōu)弧，所以D選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

3.（24-25九年級上?河南商丘?期中）早在兩千多年前的戰(zhàn)國時(shí)期，《墨經(jīng)》一書中就給出了圓的描述性定

義：“圜（這里讀yuan）,一中同長也”，這就是說，圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.其中“定

長”指的是.

【答案】半徑

【分析】本題考查了圓的認(rèn)識.根據(jù)圓的集合定義直接回答即可.

【詳解】解：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.其中，定點(diǎn)是圓心，定長是半徑.

故答案為：半徑.

4.（2025九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，在QO中，

（1）半徑有：.

（2）直徑有：.

【答案】OA,OBAB/BA

【分析】本題主要考查了圓的相關(guān)定義，正確識別半徑和直徑成為解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)半徑的定義即可解答；

（2）根據(jù)直徑的定義即可解答.

【詳解】解：（1）如圖，在。。中，半徑有Q4,OB.

（2）如圖，在。。中，直徑有AB.

故答案為：OA,OB..AB.

【類型2】直徑與弦長問題

5.（24-25九年級上?河南周口?期末）若A,B是半徑為4的上的兩個(gè)點(diǎn)，則弦的長不可能是（）

A.2B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】此題考查了圓的弦的性質(zhì)：直徑是圓中最長的弦，求出圓的直徑，根據(jù)直徑是圓中最長的弦判斷

即可.

【詳解】解：；圓的半徑為4,

.?.圓的直徑為8,

：A3是半徑為4的圓的一條弦,

：.0<AB<8,

弦48的長不可能是10.

故選：D.

6.（23-24九年級上?陜西渭南?期中）已知A、3為。。上的兩點(diǎn)，若。。的半徑為3,則的長不可能是

（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【分析】本題考查圓的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓的基本性質(zhì)，根據(jù)題意，可得圓的直徑為3x2=6,直徑

是圓上最長的弦，即0<ABW2r,即可得到答案.

【詳解】解：：A、8為。。上的兩點(diǎn)，若。。的半徑為3,

0<AB<2r=6,

；.D不符合題意.

故選：D.

7.（2024九年級上?安徽?專題練習(xí)）已知。。的半徑是3,A、8是圓周上的兩點(diǎn)，則AB兩點(diǎn)間的最長距離

是（）

A.3B.6C.12D.不能確定

【答案】B

【分析】本題主要查了圓的基本性質(zhì).根據(jù)圓的基本性質(zhì)解答，即可求解.

【詳解】解：經(jīng)過圓心的弦最長，即直徑是最長的弦，

;。。的半徑是3,

A3兩點(diǎn)間的最長距離是6.

故選：B.

8.（24-25九年級下?湖南長沙?開學(xué)考試）已知。。的半徑為5,AB是。0的弦，則的長度a的取值范

圍是?

【答案】0<?<10

【分析】本題考查了圓的相關(guān)知識，明確圓中最長的弦是直徑是解題的關(guān)鍵.

利用直徑是圓內(nèi)最長的弦即可求解.

【詳解】解：的半徑為5,

二0。的弦A5的長度的取值范圍為：0<aW2x5=10,

故答案為：0<aV10.

【類型3】圓有關(guān)周長與面積的計(jì)算

9.（24-25九年級上?云南玉溪?期中）如圖，在。。中，ZAOB=60°,弦A8的長為3,則。。的面積為（）

A.3兀B.6兀C.871D.9兀

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓的面積公式，證明VA03為等邊三角形得出

OA=OB=AB=3,再由圓的面積公式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：：3=03,ZAOB=60°,

.??VAOB為等邊三角形，

（M=O3=AB=3,

。。的面積為兀x3?=9兀，

故選：D.

10.（23-24九年級上.江蘇蘇州?階段練習(xí)）平面內(nèi)，長為5cm的線段O尸繞著端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，線段O尸的

中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為

【答案】5兀an

【分析】先分析出M的路徑是圓，根據(jù)題意求出圓〃的周長即可.本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，得到M的軌跡

是解題的關(guān)鍵。

【詳解】解：由題意得P的路徑是O為圓心，5為半徑的圓，

則。尸中點(diǎn)M的路徑是。為圓心，2.5為半徑的圓，

所以圓M的周長為2x%x2.5=5萬（cm）,

故答案為：5萬cm.

11.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）如圖，半徑為廠的。。沿著邊長為。的正方形ABC。的邊作無滑動(dòng)地滾動(dòng)

【分析】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，根據(jù)正方形的邊長可得正方形的周長，結(jié)合圓的周長計(jì)算，即可求

解，掌握圓的基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：。。的周長為：2兀r,正方形的周長為：4a,

，。0自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是獸+1=網(wǎng)+1,

271r7ir

.居士d2a1

故答案為：---Hl.

7ir

【類型4】垂徑定理的認(rèn)識

12.（24-25九年級上?山東德州?期中）以下命題正確的是（）

A.任何一條直徑都是圓的對稱軸B.周長相等的圓是等圓

C.平分弦的直徑垂直于弦D.直徑是圓上任意兩點(diǎn)所連的線段

【答案】B

【分析】本題考查了圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，垂徑定理等相關(guān)知識；需要特別注意的是軸對稱圖形的對稱軸

是一條直線.

根據(jù)圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，垂徑定理等知識對各個(gè)命題進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：A、圓的直徑是一條線段，而圓的對稱軸是一條直線，故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、周長相等的圓的半徑也相等，故是等圓，故此選項(xiàng)說法正確，符合題意；

C、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、通過圓心并且兩端都在圓周上的線段叫做圓的直徑，故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：B.

13.（23-24九年級上?江蘇南通?期中）如圖，CD是。。的直徑，AB是弦，CD1AB,垂足為則下列

結(jié)論中錯(cuò)送的是（）

A.AM=BMB.AC=BCC.OM=MDD.AD=BD

【答案】C

【分析】垂直于弦的直徑平分弦及弦所對的兩條弧，根據(jù)垂徑定理即可進(jìn)行判斷，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：CD是0。的直徑，是弦，CD1AB,垂足為

*'?AM=BM,AC=BC>AD=BD>

無法判斷=

故選：C

14.（21-22九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，是。。的直徑，弦于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不一定成

立的是（）

A.AE=BEB.OE=DEC.AC=BCD.AD=BD

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷.

【詳解】解：CD是。。的直徑，弦于點(diǎn)E,

:.AE=EB,AC=BC>AD=BD-

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【類型5】垂徑定理的計(jì)算

15.（24-25九年級下?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，CD垂直平分48于點(diǎn)D.現(xiàn)測得

A3=8dm,DC=2dm,則圓的半徑為（）

A.5dmB.10dmC.4dmD.6dm

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理和垂徑定理，關(guān)鍵是利用垂徑定理解答.

連接Q4OD,利用垂徑定理解答即可.

:CZ）垂直平分A3于點(diǎn)。,

ACD1AB,AD=DB=-AB=4

2f

:.OD±AB,

???點(diǎn)O,D,。三點(diǎn)共線，

/CD=2,

OD=r-2,

在RtAADO中，

AO2=AD2+OD2,即/=4?+（-2）2

解得：r=5,

則圓的半徑為5dm.

故答案為：A.

16.（2025?貴州遵義?二模）如圖，。。的半徑為10,AB=16,P是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,3重合），

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，垂線段最短等知識.取A3的中點(diǎn)C,分別連接OC、OB,由

垂徑定理及勾股定理可求得OC的長，根據(jù)垂線段最短，則。尸的值介于OC與之間，由此可求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，取48的中點(diǎn)C,分別連接OC、OB,則且3C=；AB=8,

*'-OC=ylOB2-BC2=V102-82=6，

點(diǎn)尸線段BC上（不與B重合），則OCVOP<O3,即64OP<10,

5.5<6,

，選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

17.（2025?河北唐山?二模）如圖，將一把寬為2cm的刻度尺（單位：cm）放在一個(gè)圓形茶杯的杯口上，

刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿相交的兩個(gè)交點(diǎn)的讀數(shù)恰好是2和10,則茶杯的杯口外

沿半徑為_____.

【答案】5cm

【分析】本題考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用.作8,于C,OC的延長線交圓于D,

其中點(diǎn)。為圓心，OA,03為半徑，CD=2cm,AB=8cm；設(shè)茶杯的杯口外沿半徑為r,在Rt^AOC中，

由勾股定理知/?=1（/?-2）2+42,進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】解：作SLAB于C,OC的延長線交圓于。，其中點(diǎn)。為圓心，OA,03為半徑，

0120

由題意可知CD=2cm,AB=10—2=8cm；

OD±AB

：.AC=BC=4cm,

設(shè)茶杯的杯口外沿半徑為「

則在RMAOC中，由勾股定理知r=2『+42

解得r=5

故答案為：5cm.

18.（24-25九年級上?重慶永川?期中）如圖，是的直徑，弦8，他于點(diǎn)石，連接OC,若BE=2,

CD=8.

A

(1)求CE的長度；

⑵求OC的長度.

【答案】(1)4

⑵5

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到CE=gcr＞；由勾股定理求出oc長.

(1)由垂徑定理得到CE=1CD=4；

2

(2)設(shè)OC=A,得OE=R-2,由勾股定理可得42+(R-2)2=R2,求出R的值即可.

【詳解】(1)解：：直徑ABLCD,

/.C￡,=-CD=-x8=4；

22

(2)解:VCDLAB,

：.NOEC=90。,

設(shè)OC=R,

,/BE=2,

OE=R—2,

在RtZXOEC中，CE2+OE2=OC2,

：.42+(7?-2)2=7?2,

解得R=5,

/.OC=5.

【類型5】垂徑定理與同心圓問題

19.(22-23九年級上?浙江杭州?階段練習(xí))如圖，在兩個(gè)同心圓。。中，大圓的弦43與小圓相交于C,D

(1)求證：AC=BD.

(2)若AC=2,BC=4,大圓的半徑R=5,求小圓的半徑r.

【答案】(1)證明見解析

(2)小圓的半徑廣為后.

【分析】(1)過。作于點(diǎn)E,由垂徑定理可知￡為CD和AB的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；

(2)連接OCOA,由條件可求得CD的長，則可求得CE和AE的長，在Rt"OE中，利用勾股定理可求

得OE的長，在RGCOE中可求得OC的長；

【詳解】(1)證明：過。作OE_LAB于點(diǎn)E,如圖1,

圖1

由垂徑定理可得AE=BE,CE=DE,

：.AE-CE=BE-DE,

：.AC=BD.

(2)解：連接。C,OA,如圖2,

AB=2+4=6,

AE=3,

???CE=AE-AC=1,

在RtzMOE中，由勾股定理可得。序=042-4序=52-32=16,

在RtACOE中，由勾股定理可得OC=OE2+CE2=16+12=17,

：.OC=厲,即小圓的半徑r為JF7.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，

注意輔助線的作法.

20.(24-25九年級上?河南駐馬店?期末)如圖，兩個(gè)圓都是以。為圓心，大圓的弦A3交小圓于C,。兩點(diǎn).

⑴求證：AC=5D；

(2)若AB=8,B￡>=1,小圓的半徑為5,求大圓的半徑R的值.

【答案】(1)見解析

(2)大圓的半徑為4應(yīng)

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；

(1)作于E,根據(jù)垂徑定理得到AE=BE,CE=OE,即可得到AC=3D；

(2)連接8,08,在口1403萬和口12k0￡)片中根據(jù)勾股定理得到3>2一?！?=032一3石2,代入求值計(jì)算即

可.

【詳解】(1)證明：如圖：作OEJ_AB于E,

由垂徑定理，得：

AE=BE,CE=DE,

:.BE-DE=AE-CE,

即AC=BD；

(2)解：如圖，連接QD,O8,

■.■AB=8,

;.BE=AE=4,DE=4-l=3

在和RtZ\0DE中，由勾股定理，得:

OE2=OD2-DE2,OE2=OB2-BE2,

OD2-DE2=OB2~BE2,

即52-32=OB2-42,

解得：OB=4及

，大圓的半徑為4點(diǎn).

【類型6】平行弦問題

21.（11-12九年級上.安徽蕪湖?階段練習(xí)）己知。。的半徑為13cm,弦AB〃CO,AB=24cm,CD=10cm,

則AB,CD之間的距離為（）

A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

【答案】D

【分析】此題考查了垂徑定理，勾股定理.過點(diǎn)。作OELCD于點(diǎn)E,延長交AB于點(diǎn)憶連接08OD,

由AB〃C￡）得到。尸，AB,利用垂徑定理得到r>E=5cm,BF=12cm,利用勾股定理求出0E,OF,再分

當(dāng)AB,CD在圓心同側(cè)時(shí)，當(dāng)AB,CD在圓心兩側(cè)時(shí)求出答案.

【詳解】解；如圖所示，當(dāng)平行弦AB,8在圓心。的同側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)。作垂足為E,延長?！杲籆D于點(diǎn)尸，連接OC,

則AE=5A8=12cm,CF=-CD=5cm.

22

在RtAAOE中，OE=y/o^-AE2=5cm.

在RtACOF中，OF=VOC2-CF2=12cm.

故EF=OF-OE=7cm.

如圖所示，當(dāng)平行弦AB,CD在圓心。的異側(cè)時(shí),

過點(diǎn)。作垂足為E,延長EO交CD于點(diǎn)尸，連接OC,

則AE=5A8=12cm,CF-CD=5cm.

22

在RtAAOE中，OE=y/o^-AE2=5cm.

在RtACOF中，OF=yj0C2-CF2=12cm.

故砂=0^+0/=17011.

綜上，AB,CD之間的距離為7cm或17cm,

故選：D.

22.（22-23九年級上?天津和平?期末）。。半徑為5,弦AB〃C。，AB=6,CD=8,則AB與C。間的距

離為（）

A.1B.7C.1或7D.3或4

【答案】C

【分析】過。點(diǎn)作OE，AB,E為垂足，交CD與F,連OC,由AB〃CD,得到OF_LCD,根據(jù)垂

徑定理得AE=3,CF=4,再在RtAOAE中和在RtZiOCF中分別利用勾股定理求出OE,OF,然后討論：

當(dāng)圓。點(diǎn)在AB、C。之間，與C。之間的距離=/+。尸；當(dāng)圓。點(diǎn)不在AB、C。之間，與CO之間

的距離=OE-OK

【詳解】解：過。點(diǎn)作OELAB，E為垂足，交CD與F,連。4,OC,如圖，

-,-AB//CD,

:.OF±CD,

:.AE=BE,CF=DF,

而AB=6,CD=8,

:.AE=3,CF=4,

在RtZXOAE中,0A=5,OE=JoA1-AE。=舊-3。=4；

在Rt^OB中，OC=5,OF"。??。？=代-片=3；

當(dāng)圓。點(diǎn)在A3、CD之間，AB與CD之間的距離=OE+Ob=7；

當(dāng)圓。點(diǎn)不在42、8之間，48與C。之間的距離=?！暌?。尸=1；

所以48與CD之間的距離為7或1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.也考查了勾股定理以及

分類討論的思想的運(yùn)用.

23.（23-24九年級上?浙江溫州?階段練習(xí)）如圖，。。的兩條弦AB〃CD（A3不是直徑），點(diǎn)E為A3中

點(diǎn)，連接EC,ED.

(1)求證：直線EO,AB；

(2)求證：EC=ED.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)依據(jù)垂徑定理的推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦可得結(jié)論;

(2)證明由垂徑定理可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，連接E。,

EO過點(diǎn)。，E為的中點(diǎn),

:.EO±AB.

(2)證明：延長交CD于尸.

■.■EOLABAB//CD,

EF±CD.

E尸過點(diǎn)0,

:.CF=DF,

.?.EF垂直平分CO,

:.EC=ED.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵.

24.(2023?河南駐馬店?二模)如圖，在。。中，A3是直徑，瓠EF//AB.

p

(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧所的中點(diǎn)P;(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)如圖2,在(1)的條件下連接。尸、PF,若OP交弦EF于點(diǎn)。,尸的面積6,且EF=12,求。。

的半徑；

【答案】(1)見解析

⑵10

【分析】(1)由圓的對稱性，連接AF、BE交于點(diǎn)M,連接37并延長交0。于P點(diǎn)即可；

(2)連接0尸，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OP，防，EQ=尸。=gEF=6,再利用三角形面積公式計(jì)算出尸Q=2,

設(shè)。。的半徑，貝|。。=廠-2,OF=r,利用勾股定理得到6?+(r-2)2=/,解方程即可.

【詳解】(1)解：連接■、BE,它們相交于點(diǎn)連接并延長交。。于尸點(diǎn)，如圖1,

圖1圖2

點(diǎn)戶為所作；

(2)連接。/，如圖2,

,??點(diǎn)P為劣弧所的中點(diǎn)，

：.OP±EF,EQ=FQ=；EF=6,

???APQF的面積為6,

xPQx6=6,

解得尸。=2,

設(shè)。。的半徑/，貝OF=r,

在RtAOQ產(chǎn)中，62+(r-2)2=r2,

解得r=10,

即。。的半徑為10.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，涉及垂徑定理和勾股定理，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形

的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

【類型7】垂徑定理的推論

25.（2025?廣東湛江?二模）如圖，A,B,C在上，AC,02交于點(diǎn)。.若AD=CD=8,（90=6,

A.2屈B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理的推論以及勾股定理，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)垂徑定理的推論得到OD，AC,再對Rt^OAD運(yùn)用勾股定理即可求解半徑.

【詳解】解：為半徑，AD=CD=8,

0D±AC,

1-,OD=6,

0A=y/OD2+AD2=10，

故選：D.

26.（2025?河南新鄉(xiāng)三模）如圖，A、3在。。上，連接Q4,OB,AB.的平分線交A8于點(diǎn)C,

交。。于點(diǎn)￡>,連接ADBD.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AC=BCB.OD±ABC.OC=CDD.AD=BD

【答案】C

【分析】該題考查了垂徑定理，根據(jù)垂徑定理解答即可.

【詳解】解：的平分線交A3于點(diǎn)C,OD是半徑，

:.ZAOD=/BOD,AD=BD,AC^BC,ODYAB,故A、B、D正確；

選項(xiàng)C不能證明，

故選：c.

27.（21-22九年級上?北京?階段練習(xí)）如圖，48是。。的弦，C為的中點(diǎn)，OC的延長線與。。交于點(diǎn)

求。。的半徑.

【答案】0。的半徑為10.

【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理及推論的應(yīng)用，連接。4,由C為A8的中點(diǎn)，則故有

AC=BC=^AB=6,然后由勾股定理即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

AC=BC=-AB=6,ZACO=90°,

2

設(shè)。。的半徑為廠，則OC=r-2,

在RtAACO中，由勾股定理得：OA2=AC2+OC2,

?*.r2=62+(r—2)2,解得r=10,

二。。的半徑為10.

28.（2025?安徽滁州三模）如圖，AB是。。的直徑，弦C。交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)B是劣弧CD的中點(diǎn).

⑵若NC40=6O。，。。的半徑為1,求弦CO的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）百

【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出/OCE=30。.

（1）根據(jù)垂徑定理可得答案；

（2）先求出NOCE=30。，再求出OE=《OC=],最后根據(jù)勾股定理可得答案.

【詳解】（1）解：：點(diǎn)8是劣弧C。的中點(diǎn)，是。。的直徑，

CE=ED,ABVCD,

AC=AD.

（2）解：如圖，連接OC,

NCAB=-ZCAD=30°,ZACD=60°,

2

,?AO=OC,

ZOAC=ZOCA=30°,

：.ZOCE=30°,

■：co=\,

:.OE=-OC=~,CE=y/3OE=—,

222

CD=2CE=V3.

【類型8]垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

29.（2025?陜西漢中?二模）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積，如圖，排污管道的橫截面是直徑為

1m的。。，測得淤泥（陰影部分）橫截面的最大寬度"N為0.8m,則淤泥的最大深度CD為（）

D

A.0.5mB.0.4mC.0-3mD.0.2m

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，掌握垂徑定理，勾股定理是解答本題的關(guān)鍵；連接QW,可得

OM^OD=r=-l10.5,MN=08,OC_L,MN,在RtZ\OCM中，通過勾股定理求得OC,然后即可求解;

2

【詳解】解：連接如圖：

由題可得：0M=OD=r=！？l0.5,MN=08,OC±MN,

2

：.CM=-MN=~?0.80.4,

22

在RtAOCM中，OC2+CM2=OM2,

：.OC=-CM-=J(O.5)2-(0.4)2=03,

CD=OD-OC=0.5-0.3=02,

故選：D.

30.（2025?陜西榆林?三模）石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形.如圖是某地

的石拱橋局部，其跨度為24米，A8所在圓的半徑為20米，則這個(gè)弧形石拱橋的拱高（A8的中點(diǎn)C

到弦A3的距離）CD為（）

A.8米B.6米C.4米D.2米

【答案】C

【分析】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，正確應(yīng)用垂徑定理是解題關(guān)鍵.

點(diǎn)。為A8所在圓的圓心，連接OAOD,根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求出答案.

【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)。為AB所在圓的圓心，連接OAOD,

由題意得：AD=BD=-AB=12,OD±AB,AO=20,

2

設(shè)CD=x,貝i]00=20-x,

根據(jù)題意可得：AD2+DO2=AO2,

BP122+（20-X）2=202,

解得：%=4,々=36（舍去），

即CD=4米.

故選：C.

31.（2025?廣東中山?一模）如圖1,平底燒瓶是實(shí)驗(yàn)室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來盛液體物

質(zhì)，它的截面圖可以近似看作是由0。去掉兩個(gè)弓形后與矩形ABCD組合而成的圖形，其中〃肱V,若0。

的半徑為25mm,AB=36mm,BC=14mm,MN=30mm,求該平底燒瓶的高度.

【答案】該燒瓶的高度為80mm.

【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用.連接。3,OM,過點(diǎn)0作。工3。，交BC于點(diǎn)E,交MN于點(diǎn)、F,

由垂徑定理得出8E,V尸的長，再根據(jù)勾股定理得出OE,。歹的長，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接02，OM,過點(diǎn)。作EF1BC,交BC于點(diǎn)、E,交MN于■點(diǎn)F,

MFN

:.EF±MN,

:.EF平分BC,MN,

,/BC=14mm,MN=30mm,

.\BE=7mm,MF=15n)m,

QO的半徑為25mm,AB=36mm,

在RtABEO和RtZ\M。尸中，QB=QM=25mm,

由勾股定理得OE=OB1-BE1=24mm-

OF=OF2-MF2=20mm，

該燒瓶的高度為AB+OE+OF=36+24+20=80（mm）.

32.（23-24八年級下.江蘇鹽城?期中）如圖①，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀

又實(shí)用，彰顯出中國元素的韻味.圖②是這一款拱門的示意圖，已知拱門所在圓的半徑為1.7m,拱門最下

端AB=L6m.

(1)求拱門最高點(diǎn)到地面的距離；

(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一個(gè)直徑為3m的圓桌面(桌面的厚度忽略不計(jì))，已知搬桌面的兩名工人在搬運(yùn)時(shí)

所抬高度相同(桌面與地面平行)，通過計(jì)算說明工人將桌面抬高多少(即桌面與地面的距離)就可以使

該圓桌面通過拱門.

【答案】⑴拱門最高點(diǎn)到地面的距離為3.2m

(2)工人將桌面抬高0.7m就可以使該圓桌面通過拱門

【分析】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，熟知垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)拱門所在圓的圓心為。，，作于C,延長C。交圓于。，連接AO,由垂徑定理可得

AC=CB=0.8m,則由勾股定理可得OC的長，據(jù)此求出CD的長即可得到答案；

(2)設(shè)弦EF=3m,豆EFJ_CD,連接OE,同理求出OJ的長，進(jìn)而求出C7的長即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖②中，設(shè)拱門所在圓的圓心為O,,作于C,延長C。爻圓于。，連接AO,

VCDLAB,CD經(jīng)過圓心O,

?*.AC—CB=0.8m,

OC=ylo^-AC2=1.5m>

CD=OD+OC=1.5+1.7=3.2m,

；?拱門最高點(diǎn)到地面的距離為3.2m；

(2)解：如圖，設(shè)弦EF=3m,且EF1CD,連接OE.

D

9：CD±EF,CO經(jīng)過圓心O,

：.EJ=JF=1.5m,

JOJ=y]OE2-EJ2=0.8m，

.*.07=1.5-0.8=0.7m,

答：工人將桌面抬高0.7m就可以使該圓桌面通過拱門.

串知識識框架

【類型】一、圓的基本概念

【類型9】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

【類型2】直徑與弦長問題

【類型8】垂徑定理的推論

圓的基本概念及垂徑定【類型3】圓有關(guān)周長與面積的計(jì)算

【類型7】平行弦問題

理（9大類型精準(zhǔn)練）【類型4】垂徑定理的認(rèn)識

【類型6】垂徑定理與同心圓問題

【類型5】垂徑定理的計(jì)算

過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.（2025.河北滄州.模擬預(yù)測）如圖，已知四條弧線嘉點(diǎn)尸在其中一條弧線所在的圓上,

C

G

A.AB所在的圓上B.CD所在的圓上C.即所在的圓上D.GH所在的圓上

【答案】A

【分析】本題考查了圓的特征，把各弧延長即可判斷.

【詳解】解：如圖，

故選A.

2.（24-25九年級下?湖北孝感?期中）如圖，A為。。上一點(diǎn)，按以下步驟作圖:

①連接②以點(diǎn)A為圓心，A0長為半徑作弧，交。。于點(diǎn)8；

③在射線08上截取3C=Q5；④連接AC.則ZACO的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓

的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由題意得△OAB是等邊三角形，則NQ4B=NOBA=NO=60。，進(jìn)而可得NC=/BAC=30。.

OA^OB^AB,

△Q4B是等邊三角形，

ZOAB=ZOBA=NO=60°,

BC^OA,

：.BC=BA,

，AC=ABAC=30°.

故選:B.

3.（2025?河北邢臺?三模）下列圖形分別為正方形、圓、扇形、等邊三角形（相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示），長度

為1的線段可以在圖形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)），自由地從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，且圖形面積

最小的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了對正方形、圓、扇形、等邊三角形的理解和面積計(jì)算，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)題意可知C選項(xiàng)長度為1的線段不可以在圖形內(nèi)豎放，然后再分別計(jì)算A、B、D選項(xiàng)圖形的面

積比較即可.

【詳解】解：A、邊長為1,所以長度為1的線段可在圖形內(nèi)自由地從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，其面積為1；

B、其直徑為1,所以長度為1的線段可在圖形內(nèi)自由地從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，其面積為兀x合0.785；

C、長度為1的線段不可以在圖形內(nèi)豎放；

D、長度為1的線段可先旋轉(zhuǎn)到邊上，再通過平移和旋轉(zhuǎn)即可在圖形內(nèi)從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，其邊長為

手，所以面積為g竽山小。.577;

2x---

tan60°

故選：D.

2

4.（2025?四川南充?一模）如圖，零件輪廓由一個(gè)半圓和一段拋物線圍成.若AB=6,貝lJCD=

（）

【答案】C

17

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出AO=5O=CO=/AB=3.得到5（3,0）,代入丁=§必+。

得到。=-6,則0（0,-6）,即可求出答案.

【詳解】解：由題意可得，AO=BO=CO=^AB=3.

：.8（3,0）,

2

將3（3,0）代入拋物線y'V+c,0=1X3+C,

解得c=-6,

：.D（0,-6）,

二OD=6

:.CD=OC+OD=3+6=9.

故選:C

5.（2025?山東威海?一模）如圖1是山西平遙推光漆器，圖2是選取該漆器上的部分圖案并且放大后的示

意圖，四邊形ABCZ）是邊長為2的正方形，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，對角線長的一半為半徑在正

方形內(nèi)畫弧，四條弧相交于點(diǎn)0.則圖中陰影部分的面積為（）

圖1圖2

A.2TT-4B.兀一2C.2兀D.—n

4

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和圓，組合圖形陰影部分面積，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則

圖形面積之間的關(guān)系.

由題意得半徑為血，陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。是邊長為2的正方形，

，正方形的對角線的長為20，

二半徑的長為友，

V陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積，

,陰影部分面積=萬（應(yīng)）-22=2^-4,

故選：A.

6.（2025?云南西雙版納?一模）如圖，是0。的直徑，AC=CD,/4OC=50。，則（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明AAOC絲ACOD,則NCOD=/AOC=50。，結(jié)合AB

是。。的直徑，列式計(jì)算，得NBOD=80。,即可作答.

【詳解】解：：AO=CO=DO,AC=CD,

：.AAOC'COD,

：.ZCOD=ZAOC=50°,

：A3是0。的直徑，

/./BOD=180°—50°—50°=80°,

故選：C.

7.（2025?山東荷澤?三模）如圖，是的直徑，弦交43于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，構(gòu)造輔助線利用垂徑定理是

解題的關(guān)鍵；作OHLCD于H,連接OC,HC=HD；在R6O尸〃中，由含30度直角三角形的性質(zhì)，可求

得OH,在RtAOHC中，由勾股定理求得C”,從而可求得C。的長.

【詳解】解：作OHLCD于連接OC,如圖，

"/OHLCD,

，HC=HD,

VAP=2,BP=6,

：.AB=8,

：.0A=4,

OP=OA-AP=2,

在RtAOPH中，NOPH=30°,

：.ZPOH^60°,

OH=-OP=\,

2

在RtA(9//C中，OC=4,OH=1,

■■CH=yj0C2-0H2=V15,

CD=2CH=2V15.

故選：B.

8.（24-25九年級下?廣東廣州?期中）如圖，有一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為6cm,瓶內(nèi)液體已經(jīng)過

半，最大深度CD=8cm,則截面圓中弦AB的長為（）

C.80cmD.4^/lOcm

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.由

垂徑定理得AC=8C=gAB,再由勾股定理得AC,進(jìn)而完成解答.

AC=BC=-AB,ZOCA=90°,

2

*.*OA=OD=6cm,CD=8cm,

/.OC=CD—OD=8—6=2(cm),

在Rtz/MC中，由勾股定理得：AC=762-22=472(cm),

AB=2AC=8\[2(cm),

故選：c.

二、填空題

9.（24-25九年級上?河南南陽?期末）。。的最長弦為8cm,則。。的半徑長為cm.

【答案】4

【分析】本題考查了圓的基本知識；根據(jù)圓中最長的弦是直徑以及同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，即

可求得結(jié)果.

【詳解】解：中最長的弦長為8cm,

,。。的直徑的長為8cm,

.'GO的半徑為4cm.

故答案為：4.

10.（24-25九年級上?河北邢臺?階段練習(xí)）早在2000多年前的戰(zhàn)國時(shí)期，《墨經(jīng)》一書中就給出了圓的描

述性定義：“圜（這里讀邛曲），一中同長也”這就是說，圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.其

中定點(diǎn)是.

【答案】圓心

【分析】考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是了解圓的集合定義.根據(jù)圓的集合定義直接回答即可.

【詳解】解：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.其中，定點(diǎn)是圓心，定長是半徑.

故答案為：圓心.

11.（2025?甘肅隴南?三模）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)3,C在半徑為5的半圓。上，頂點(diǎn)4。在直徑E尸上.若

ED=2,則矩形ABCD的面積為.

【答案】24

【分