2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共12頁(yè),150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束

后,將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一,選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).

已知集合"={xI2x—1>5},N={1,2,3}則“N=()

1.

A.[1,2,3)B.{2,3}C.{3}D.0

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i.z+2=2i,貝U|z|=()

A.B.2行C.4D.8

3.雙曲線/一4>2=4的離心率為（）

5

A.—D.---------C.一D.布

224

4.為了得到函數(shù)y=9"的圖象，只需把函數(shù)y=3"的圖象上所有點(diǎn)的（

A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1■倍（縱坐標(biāo)不變）B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的工倍（橫坐標(biāo)不變）

D.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變）

3

5.已知｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=-2,若%,4，％,成等比數(shù)列，則4o=（）

A.-20B.-18C.16D.18

6.已知〃>0力>0,貝！J（）

111

A.a2+b2>2abB.—+->——

abab

112

a+b>\[abD.-+-<-^=

ab7ab

7.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镈,則“/（幻的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MwR,存在與e。，使得|/（%）|>M”的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

設(shè)函數(shù)/（X）=5由。*+850￥（。>0）,若/0+兀）=/（%）恒成立,且/（%）在0,；上存在零點(diǎn)，則。最小值為

8.

A.8B.6C.4D.3

9.一定條件下,某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要的時(shí)間T=klog2N(單位：h),其中左為常數(shù).在

此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1()6個(gè)單位增加到1.024x109個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20h,當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從

1.024x1()9個(gè)單位增加到4.096x109個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加()

A.2hB.4hC.20hD.40h

.—UUU1UUlU

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA|=|OB|=JL|40=2.設(shè)。(3,4),則|2。4+43|的取值范圍是()

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D,[8,12]

第二部分(非選擇題共110分)

二,填空題共5小題,每小題5分，共25分.

11.已知拋物線丁=2.(°>0)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,則，=.

4

12.已知(1—2x)4=%—2%x+4gx~—8a3三+16tz4x,]H!jci0—,6+a。+q+%=.

13.已知a,[0,2兀],且sin(a+尸)=sin(a—尸)，cos(a+〃)#cos(a—萬(wàn)).寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一組a,/?的值a=

,B=?

14.某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABC。跖是一個(gè)平面多邊形，平

面AFRA.平面ABC,平面CDT±平面ABC,ABYBC,AB//EF//RS//CD,BC//DE//ST//AF.若

AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=^,則該多面體的體積為.

15.關(guān)于定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)/(%)使得/(%)+/(2x)=-X恒成立.

②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)/U)使得/(x)-/(2x)=x恒成立.

③使得/(%)+/(-%)=cosx恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無(wú)窮多個(gè).

④使得了(%)-/(f)=cosx恒成立的函數(shù)/(%)存在且有無(wú)窮多個(gè).

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

三,解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.

16.在VABC中，cosA=-±asinC=4夜.

3

(1)求c的值.

(2)再?gòu)臈l件①,條件②,條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得VA5C存在,求3C邊上的高.

條件①：a=6,條件②：asin3=[l,條件③：VABC的面積為10五.

17.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，，ADC與B4C均為等腰直角三角形，ZADC=90°,/BAC=90°,E為BC的中

點(diǎn).

(1)若”G分別為的中點(diǎn)，求證：/G//平面力A

(2)若上4,平面ABC。，Q4=AC,求直線AB與平面尸。所成角的正弦值.

18.某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲，乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)

該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲，乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為

80,乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率P

(2)從甲，乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)X=1的概率及X

的數(shù)學(xué)期望.

(3)假設(shè)：如果沒(méi)有掌握該知識(shí)點(diǎn),學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案，如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校

學(xué)生選擇正確的概率為100%，乙校學(xué)生選擇正確的概率為85%.設(shè)甲，乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值

分別為P1,P2，判斷P1與P2的大小(結(jié)論不要求證明).

19.已知橢圓E：￡+《=l(a>b>0)的離心率為白,橢圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.

(1)求橢圓E的方程.

⑵設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(x0,%)(//0)在橢圓E上,直線x°x+2y°y—4=0與直線y=2,y=—2分別交于點(diǎn)

S.\OA\

A,B.設(shè)4M與?的面積分別為S1,S,,比較在與焉的大小.

o2IC/n|

20.己知函數(shù)/(x)的定義域是(―l,+8),/(0)=0,導(dǎo)函數(shù)r(x)=螞￥?，設(shè)是曲線y=/(x)在點(diǎn)

1+X

A(a,/(a))(aw0)處的切線.

(1)求/'(尤)的最大值.

(2)當(dāng)—1＜。＜0時(shí),證明：除切點(diǎn)A外，曲線y=/(x)在直線4上方.

,,,,2a-x2-x.

(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)A直線/2與直線1,垂直，4，1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是4,4,若。＞0,求-I.的取值范圍.

21.己知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={(x,y)IxeA,yeA},從M中選取"個(gè)不同的元素組成一個(gè)序列：

(七,yj,(/，%)，…，(七，丫J，其中(改，X)稱(chēng)為該序列的第，項(xiàng)?=L2,，若該序列的相鄰項(xiàng)(七,%),(%+i,x+i)

滿(mǎn)足：[一"『:或["M一"|=1,2,…，〃—1),則稱(chēng)該序列為K列.

[x+i—x|=4[v+i-y|=3

(1)對(duì)于第1項(xiàng)為(3,3)的K歹!J,寫(xiě)出它的第2項(xiàng).

(2)設(shè)「為K列，且列中的項(xiàng)a，y)G=l,2,…⑼滿(mǎn)足:當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，xje{1,2,7,8}：當(dāng)z?為偶數(shù)時(shí),

七e{3,4,5,6).判斷(3,2),(4,4)能否同時(shí)為「中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由.

(3)證明：由加的全部元素組成的序列都不是K列.

2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共12頁(yè),150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束

后,將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一,選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).

]已知集合M={x12x—1>5},N={1,2,3}則MN=（）

A.[1,2,3}B.{2,3}C.{3}D.0

【答案】D

【分析】先求出集合加，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)镸={x|2x—1>5}={X|x>3},所以McN=0.

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i.z+2=2i,則|z|=（）

A.aB.2A/2C.4D.8

【答案】B

【分析】先求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出.

【詳解】由i-z+2=2i可得,2=1」=2+2。所以目=萬(wàn)方=20.

故選：B.

3.雙曲線爐—4丁=4的離心率為（）

A.—B.—C.-D.行

224^

【答案】B

【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,",c,即可求出離心率.

丫2

【詳解】由Y—49=4得,亍—〉2=1,所以。2=4,/=1,。2=〃+/=5.

即a=2,c=逐，所以e=￡=且.

a2

故選：B.

4.為了得到函數(shù)y=9'的圖象，只需把函數(shù)y=3"的圖象上所有點(diǎn)的（）

A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1?倍（縱坐標(biāo)不變）B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）

C.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,倍（橫坐標(biāo)不變）D.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變）

3

【答案】A

【分析】由y=9'=32',根據(jù)平移法則即可解出.

【詳解】因?yàn)閥=9'=32',所以將函數(shù)>=3工的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的g倍，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)

y=9*的圖象.

故選：A.

5.已知｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=-2,若%,。4，小成等比數(shù)列，則劭）=（）

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為4（2。0）.

因?yàn)?,為，％,成等比數(shù)列，且％=-2.

所以a：=%&，即(―2+3<7)一=(―2+2d)(—2+5d),解得d=2或d=0(舍去).

所以4o=q+9d=—2+9x2=16.

故選：C.

6.已知a>03>0,貝?。?)

111

A.a2+b2>2abB.—+->—

abab

112

C.a+b>sfabD.—+-<-^=

aby/ab

【答案】C

【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=人時(shí)，/+從=2"，故A錯(cuò)誤.

iiJ_+J_=2+4=6<-i—=R=J_

對(duì)于BD,取。=不6=:，此時(shí)?！?1一一就.

24-x-r

lie,，23后2

ab~甲"荷，故BD錯(cuò)誤.

V2X4

對(duì)于C,由基本不等式可得a+Z?22，拓>A/拓，故C正確.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镈,則“/(幻的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MeR,存在/e。，使得/(%)|>M”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例,再根據(jù)充分條件,必要條件的概念即可求解.

【詳解】若函數(shù)/(%)的值域?yàn)閯t對(duì)任意一定存在玉使得

R,MwR,eD,/(%1)=|M|+1.

取為=石，則|/(尤())|=|以|+1>加，充分性成立.

取/(無(wú))=2工，。=R,則對(duì)任意MeR,一定存在石e。，使得/(%)=M+1.

取/=%，則|〃/)|=陷+1>M,但此時(shí)函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0,+"),必要性不成立.

所以“/(?的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MeR,存在％e。，使得/(%)|>M”的充分不必要條件.

故選：A.

JT

8.設(shè)函數(shù)/(%)=5m以+850%(。>0),若/(%+兀)=1/10)恒成立,且/(%)在0,-上存在零點(diǎn)，則①的最小值為

()

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再由正弦函數(shù)最小正周期與零點(diǎn)即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=sincox+cosa)x=^2sin(<y>0).

設(shè)函數(shù)/(x)的最小正周期為T(mén),由/(x+兀)=/(x)可得左T=兀,(左eN*).

所以T=&=/，伏eN*),即0=2左，(左eN*).

cok

TT7171TIG)71

又函數(shù)/⑺在匕上存在零點(diǎn)，且當(dāng)xe時(shí)，69X+—G一，---1----

4444

所以理+烏之兀，即力之3.

44

綜上，①的最小值為4.

故選：C.

9.一定條件下,某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要的時(shí)間T=^log2N(單位：h),其中人為常數(shù).在

此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到1.024義1。9個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20h,當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從

1.024x1()9個(gè)單位增加到4.096x109個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加()

A.2hB.4hC.20hD.40h

【答案】B

【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時(shí)所需的時(shí)間,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)當(dāng)N取個(gè)單位，1.024x109個(gè)單位，4.096x109個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為

6

由題意，7]=^log210=6Zrlog210.

9106

T2=klog2(1.024xl0)=klog2(2xl0)=A;(10+61og210).

5126

T^=klog2(4.096xIO<)=左log,(2X10)=A;(12+61og210).

因?yàn)?—工=左(10+61og210)—6左log210=10左=20,所以k=2.

所以4-T2=A:(12+61og210)-A;(10+61og210)=2k=4.

所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024xlO9個(gè)單位增加到4.096xlO9個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).

故選：B.

.—UUU1UUUL

10.在平面直角坐標(biāo)系中，|。4|=|。8|=0,IA3|=2.設(shè)。(3,4),則12cA+ABI的取值范圍是()

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D,[8,12]

【答案】D

【分析】先根據(jù)A8=08—。4,求出〈。4,。5〉，進(jìn)而可以用向量。4,。3表示出2。4+43,即可解出.

【詳解】因?yàn)閨。4|=|。3|=、歷,|AB|=2.

--兀

由AB=06—OA平方可得，OAOB=0,所以〈。4。8〉=-.

2CA+AB=2(OA-(9C)+OB-OA=OA+OB-2OC,|oc|=732+42=5.

所以+=0/+加+4"

=2+2+4x25-4(OA+0孫OC=104-4(OA+O孫OC.

又(QA+O3)-OC<|(9A+OB||(9C|=5x72+2=10,gp-10<(OA+OB^OC<10.

所以12cA+e[64,144],Bp|2C4+AB|e[8,12].

故選：D.

第二部分（非選擇題共110分）

二,填空題共5小題,每小題5分，共25分.

11.已知拋物線y1=2px（p>0）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,則P=.

【答案】6

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求P的值.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為e,故"=3,故2=6.

22

故答案為：6.

23

12.已知（1-2x）4=a0-2a1x+4a2x-8a3x+16。4/，貝|%=,+a2+a3+a4=.

【答案】①.115

【分析】利用賦值法可求g，利用換元法結(jié)合賦值法可求%+4+%+%的值.

【詳解】令%=0,則4=L

234

又（1一2尤）4=a0—2aAx+4?2x-8tz3x+16a4x.

故（1—2尤）'=+q（—2%）+々2（—2x）+6/3（—2x）+。4（—2尤）.

令t=-2%,則（1+f）=CIQ++af+%r+a"，.

令/■=1,貝！I旬+%+%+4+%=24,故％+4+%+%=15

故答案為：1,15.

13.已知尸e[0,2兀],且sin（a+尸）=sin（a—尸），cos（a+尸）#cos（a—萬(wàn)）.寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一組/，的值a=

，P=?

7rTT

【答案】①.-（答案不唯一）②.-（答案不唯一）

26

【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿(mǎn)足條件的一組解.

【詳解】因?yàn)閟in（?+/?）=sin（?-/7）,cos（cr+/7）wcos（a-/?）.

所以。+分,。-，的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且不與y軸重合.

兀

故a+#+a—6=兀+2所,左￡2且1++/TI,ZeZ.

兀

即。二一十左兀，左￡Z.

2

TTTT

故取。=一,/=一可滿(mǎn)足題設(shè)要求.

26

TT7T

故答案為：-（答案不唯一）

26

14.某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中A8CQEF是一個(gè)平面多邊形，平

面AFR±平面ABC,平面CDTL平面ABC,AB±BC,AB//EF//RS//CD,BC//DE//ST//AF.若

AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=~,則該多面體的體積為

【答案】60

【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱AM-癡T和四棱錐6-875E后結(jié)合體積公式可求幾何體的體積.

【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：如果平面。，平面孔平面分，平面平面￡，=/,則

證明：設(shè)acy=a,0y=b,在平面/取一點(diǎn)0,O仁a,O0瓦

在平面7內(nèi)過(guò)。作直線，"，使得加，a,作直線〃，使得

因?yàn)槠矫鎍_L平面7,77zu/,故加而/ua,故機(jī)_L/.

同理而根〃=。7%〃<=7,故/_L/.

下面回歸問(wèn)題.

連接破，因A3,5c且A尸〃BC,故A尸，A6,同理8C_LCD,EFLED.

而A5=3C=8,AF=CD=4,故直角梯形至砂與直角梯形CBED全等.

故ZBEF=ZBED=45°.

在直角梯形中,過(guò)8作3T_LEF,垂足為T(mén).

則四邊形ABTF為矩形,且_BTE為以ZBTE為直角的等腰直角三角形.

故EF=FT+TE=AB+BT=AB+AF=12.

平面R4b_L平面MEF,平面R4尸「平面ABE戶(hù)=A尸，AF.LAB.

ABu平面,故AB，平面RAF.

取AF的中點(diǎn)為舷，BE的中點(diǎn)為U,C￡>的中點(diǎn)為V,連接

則MU//RS,同理可證R0，平面ABEF,而KMu平面RMUS.

故平面RMUS_L平面ABEF,同理平面VUS，平面ABEF.

而平面RMUS。平面以方=SU,故SU，平面ABEF.

故RMI/SU,故四邊形RMUS為平行四邊形,故MU=RS=g(8+12)=10.

在平面中過(guò)B作卸刀//M,交火”于H,連接HT.

則四邊形ABHR為平行四邊形，且RH//AB,RH=AB,故RH//FT,RH=FT.

故四邊形府7H為平行四邊形.

而3〃LAB,3TLAB,3T3〃=3,3T,3〃u平面BHT.

故AB_L平面BHT,故平面ARF//平面BHT.

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,故八ARF=/\RHT.

故幾何體ARF-BHT為直棱柱.

而SARF=gx4xJg1—4=3,故VARF-BHT=8x3=24.

因A6〃￡F,故所，平面ARE.

而石/u平面RSEF,故平面ARF±平面RSEF.

在平面A/S中過(guò)A作AG，斯，垂足為G,同理可證AG，平面RS￡F.

ii7iI915

而］AG>M=3,故AG=《，故/_^=§><彳*/(2+4)><3=6.

由對(duì)稱(chēng)性可得幾何體的體積為2x(24+6)=60.

故答案為：60.

15.關(guān)于定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%),給出下列四個(gè)結(jié)論:

①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)/(%)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立.

②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)/(%)使得/(x)-/(2x)=x恒成立.

③使得/W+/(-%)=cos無(wú)恒成立的函數(shù)/(%)存在且有無(wú)窮多個(gè).

④使得了(%)一/(—X)=cosx恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無(wú)窮多個(gè).

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【分析】利用反證法可判斷①④的正誤,構(gòu)造函數(shù)并驗(yàn)證后可判斷②③的正誤.

【詳解】對(duì)于①，若存在在R上的增函數(shù)/(%),滿(mǎn)足/(x)+/(2x)=-x.

則/(0)+/(2義0)=-0,即"0)=0.

故x>0時(shí)，/(4x)>/(2x)>/(x)>0,故/(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x).

故—2x>—%即x<0,矛盾,故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②，取/(%)=—%,該函數(shù)為R上的減函數(shù)且/(%)—〃2x)=x.

故該函數(shù)符合,故②正確.

對(duì)于③，取/(x)=gc

osx+nvc,mG

此時(shí)/(x)+/(—%)=cosx,由/篦eR可得/(九)有無(wú)窮多個(gè).

故③正確.

對(duì)于④,若存在“X),使得/(X)-/(-x)=COSX.

令工=0,貝!|0=(：050,但(：050=1,矛盾.

故滿(mǎn)足/(X)—/(-X)=cosX的函數(shù)不存在,故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③

三,解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.

16.在VABC中，cosA=-±asinC=40.

3

(1)求c的值.

(2)再?gòu)臈l件①,條件②,條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使得VA3C存在,求3c邊上的高.

條件①：a=6,條件②：°sin5=竺手，條件③：VABC的面積為10&.

【答案】(1)6(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)由平方關(guān)系,正弦定理即可求解.

(2)若選①，可得AC都是鈍角，矛盾，若選②，由正弦定理求得。，由余弦定理求得”,利用等面積法求得高，若選③,

首先根據(jù)三角形面積公式求得。，再根據(jù)余弦定理可求得a,由此可說(shuō)明三角形ABC存在,且可由等面積法求解AD.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閏osA=——,AG(0,兀)，所以sinA=Jl-cos?A=,

由正弦定理有asinC=csinA=2叵c=4、歷，解得c=6.

3

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示，若VA3C存在,則設(shè)其5c邊上的高為AD.

D

Z------------，B

若選①，a=6,因?yàn)閏=6,所以C=A,因?yàn)閏osA=—；<0,這表明此時(shí)三角形ABC有兩個(gè)鈍角.

而這是不可能的,所以此時(shí)三角形ABC不存在，故3c邊上的高也不存在.

10

105也b5

若選②，asin5="S,由asinC=4y傷有sinB_3_5,由正弦定理得一=—，所以b=5.

3wr=6c6

所以由余弦定理得a=,尸+°2—2/>CCOSA=J25+36—2x5>6x[—=9.

此時(shí)三角形ABC是存在的,且唯一確定.

所以SMC=工人csinA=L3C24D,即工X5X6X^=LX9A￡).

22232

所以3c邊上的高AD=生2.

9

若選③，VABC的面積是10e，則SABC=；6csinA=；6x6x2^=l(x/L

解得b=5,由余弦定理可得a=y/b2+c2-2bccosA=^25+36-2-5-6^-1^=9可以唯一確定.

進(jìn)一步由余弦定理可得COSB,cosC也可以唯一確定，即B,C可以唯一確定.

這表明此時(shí)三角形ABC是存在的，且3C邊上的高滿(mǎn)足：SABC=-6(-AD=-AD=10V2,即入。=空亞.

229

17.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，，ADC與，B4C均為等腰直角三角形，ZADC=90°,NB4C=90°,E為BC的中

點(diǎn).

C

(1)若”G分別為PD,PE的中點(diǎn),求證：FGH平面PAB.

(2)若R4J_平面ABC。，/%=AC,求直線AB與平面尸CO所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵B

3

【分析】（1）取出的中點(diǎn)N,尸8的中點(diǎn)M連接FN,MN,只需證明FG〃肱V即可.

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

取融的中點(diǎn)N,的中點(diǎn)M連接FN,MN.

,ACD與7ABe為等腰直角三角形且ZADC=90°,ZBAC=90°.

不妨設(shè)A￡>=CD=2,.?.AC=AB=2yf2-..BC=4.

其/分別為8U尸￡）的中點(diǎn).

:.FN==AD=1,GM==BE=1,豆FNIIAD,GMIIBC.

22

QZDAC=45°,ZACB=45°,.-.AD//BC.

.?.7W〃GM,...四邊形FGMN為平行四邊形.

:.FG//MN.

FG?平面PAB,MNu平面PAB,FG//平面PAB.

【小問(wèn)2詳解】

PAL平面ABC。，.?.以A為原點(diǎn),AC,AB,AP所在直線分別為無(wú),y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AD=。=2,則A（0,0,0）,網(wǎng)0,2夜,0）,C（2"0,0）,。（也-也0）,P（0,0,2⑹.

AB=（0,272,0）,DC=（V2,V2,0）,CP=（一2四,0,2虛）.

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）.

DCn=0A/2X+6y=0

V,,,v

,CP-n=Q，"[-242x+2y/2z=0'

取x=l,,y=-1,z=1,=（1,-1,1）.

設(shè)A8與平面pa）所成角為夕

|AB.?|0X1+2A/2X(-1)+0X1|272V3

貝"sin0=cos.AB.n?

2。"+(—I『+F2A/2XV3-3

MH

即AB與平面PCD所成角的正弦值為上.

3

18.某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲，乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)

該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲，乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為

80,乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.

（1）估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率P

（2）從甲，乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)X=1的概率及X

的數(shù)學(xué)期望.

（3）假設(shè)：如果沒(méi)有掌握該知識(shí)點(diǎn),學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案，如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校

學(xué)生選擇正確的概率為100%，乙校學(xué)生選擇正確的概率為85%.設(shè)甲，乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值

分別為Pi，P2,判斷Pi與P2的大?。ńY(jié)論不要求證明）.

4

【答案】（1）j

（2）0.35,E（X）=1.55

⑶Pi<P2

【分析】（1）用頻率估計(jì)概率即可求解.

（2）利用獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對(duì)的概率及X的分布列,從而可求其期望.

（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于pvp2的方程,求出其解后可得它們的大小關(guān)系.

【小問(wèn)1詳解】

估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)A為“從甲校抽取1人做對(duì)"，則P（A）=0.8,P（Z）=0.2.

設(shè)B為“從乙校抽取1人做對(duì)"，則P（B）=0.75,P（A）=0.25.

設(shè)C“恰有1人做對(duì)"，故P（C）=P（A5）+P（lB）=尸（A）P（有）+P（可P（3）=0.35

依題可知,X可取?！?2.

P（X=0）=P（AB）=0.05,P（X=1）=035,P（X=2）=0.8x0.75=0.6.

故X的分布列如下表:

X012

P0.050.350.6

故磯X）=1x035+2x06=1.55.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)。為“甲校掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生做該題”.

因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有100%的概率做對(duì)該題目.

未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè).

故P（D）+；（l_P（D））=0.8Wp1+：x（l—pJ=0.8^B=《.

同理有，0.85P]+工x（1—0）=0.75,故P]=—.

故0＜。2?

19.已知橢圓￡：￡+（■=1（?！?〉0）的離心率為白,橢圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.

（1）求橢圓E的方程.

⑵設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M（x0,%）（/W0）在橢圓E上,直線x°x+2y°y—4=0與直線y=2,y=—2分別交于點(diǎn)

S.\OA\

A,8.設(shè)△Q4M與_OBM的面積分別為H,比較法與；—；的大小.

kJ2|CxA/|

22

【答案】（1）L+2L=i

42

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出再根據(jù)。,反。的關(guān)系求出。，即可得到橢圓方程.

_\AM\

（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，再根據(jù)即可得出它們的大小關(guān)系.

陷s2~\BM\

法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到ZAOM=ZBOM,再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.

【小問(wèn)1詳解】

由橢圓可知，2a=4,所以a=2,又e=$=立，所以c=JL°2=2.

a2

故橢圓E的方程為三+乙=1.

42

【小問(wèn)2詳解】

xox+2yoy-4=0/y

聯(lián)立《犬y2，消去x得，—「+2/=4.

彳+萬(wàn)=1I%o'）

整理得,（2x：+4y；）/—I6為y+16—4焉=0①.

22

又迎+江=1,所以2x；+4y；=8,16-4焉=8$.

42

故①式可化簡(jiǎn)為8y2—16%y+8火=0,即Q—%）?=0,所以，=%.

所以直線x（）x+2%y—4=0與橢圓相切，加為切點(diǎn).

/、/、S|<9A|

設(shè)人（七,%）,3（%2，%），易知，當(dāng)王=4時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，—=77^T

5C/￡）

S]__再一/

故設(shè)馬<xo<%1,易知

S2\BM\|X2-X0|X0

xx+2yy-4=04-4y。

聯(lián)立《°n°°n，解得％=——20，%=2.

〔y=2%

xx+2yy-4=04+4%.

聯(lián)立n"n，解得々=——小,％=-2.

〔y=-2%

4-4%/

濟(jì)24_%—/_x0°_4-4y0-xj

所以7s~二-x-----x--二------m4+4—%二―x—--4-y-----4r

202人00

%

2y；-4%=2-%

—2y；—4%2+為

儂=W/J+4=,4（1—%1+/=,4（1一%）氣4-2y；=Jy；-4%+4=2-%

\0B\卜+4%[4Ml+^y+x：j4（l+y°）2+4—2y：業(yè)+4%+42+%

S.\OA\

故不=而

d2（Jn

0A

法二：不妨設(shè)人（/七,%、）,8（/%2，%、），易知，當(dāng)罰=》2時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，—M\\

\（JD\

故設(shè)x2<xo<%!.

xx+2yy-4=Q4-4%。

聯(lián)立〈ncn，解得西=——2,%=2.

[y=2%

仁空，—I,解得.—a一2

聯(lián)立《

若玉=0,則%=1,飛=±夜,4=±4A/2.

由對(duì)稱(chēng)性,不妨取則行,-(后,

x0=V2,X2=4A/2,A(0,2),3(42),M1).

A/2V|

彳

tanNBOM=41tanNBOM==近所以NAOM=NBOM.

同理,當(dāng)々=0時(shí)，ZAOM=ZBOM.

業(yè)in"%2xo/%_~2xoxo%

當(dāng)石々00時(shí),貝_—一00，ktoB-—-——”0，ktoM~~

司4—4%2—2%x24+4為2+2%x0

22

又申+￡=1,所以年+2y；=4.

%一

所以tanZAOM=、。「自”=2%：

1+kOA?kOM]+^0x2o

2-2%x0

x；+2券-2%_4-2y0_2

%（%-2）x0（y0-2）x0'

一?/

tanZBOM=后用一％_x（）2+2yo=x：+2y：+2%=4+2%=2

x

1+k（）M，k（）B?1ypoXo（〉o+2）5（%+2）x0

x（）、2+2%j

則tanZAOM=tanZBOM,即ZAOM=ZBOM.

所以3=|OA|OM\sinZAOMOA

\OB\OM\sinZBOM而

20.己知函數(shù)/(x)的定義域是(—l,+8)"(O)=O,導(dǎo)函數(shù)((力=螞匕立，設(shè)4是曲線y=/(x)在點(diǎn)

1+JC

A（Q,/（“））（〃w0）處的切線.

(1)求/''(X)的最大值.

(2)當(dāng)—1<。<0時(shí),證明：除切點(diǎn)A外，曲線y=/(x)在直線4的上方.

2Q—%一%

(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線4與直線4垂直，4,4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是A,%,若。>0,求v?的取值范

圍.

【答案】⑴,

e

(2)證明見(jiàn)解析(3)Ui

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值.

(2)求出直線4的方程，再構(gòu)造函數(shù)//(%),只需證明其最小值(或者下確界)大于零即可.

(3)求出直線42的方程，即可由題意得到花，々的表示,從而用字母a表示出X;X，從而求出范圍.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)g("=7'(x)，g，(x)=+；(l+x)J—

I)(1+x)2(1+x)2

由g'(x)=O可得x=e—l,當(dāng)xw(-l,e-l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以/'(%)的最大值為r(e-l)=-.

e

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椋?上”

，所以直線4的方程為(、HnIn(1+a)

y-f(a)=.(1+")(