線性代數(shù)正交題目及答案一、選擇題1.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\)正交，下列說(shuō)法正確的是（）。A.向量組線性無(wú)關(guān)B.向量組線性相關(guān)C.向量組線性無(wú)關(guān)或線性相關(guān)D.無(wú)法確定答案：C解析：正交向量組不一定是線性無(wú)關(guān)的，例如，零向量與任何向量都正交，但零向量與任何非零向量組都是線性相關(guān)的。因此，正交向量組可以是線性無(wú)關(guān)的，也可以是線性相關(guān)的。2.若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交，則下列等式成立的是（）。A.\(\alpha\cdot\beta=0\)B.\(\alpha\cdot\beta=1\)C.\(\alpha\cdot\beta=-1\)D.\(\alpha\cdot\beta=\alpha\cdot\alpha\)答案：A解析：兩個(gè)向量正交的定義是它們的點(diǎn)積為零，即\(\alpha\cdot\beta=0\)。3.若\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\)是一組正交向量，則下列等式成立的是（）。A.\(\alpha_i\cdot\alpha_j=0\)當(dāng)\(i\neqj\)B.\(\alpha_i\cdot\alpha_j=1\)當(dāng)\(i=j\)C.\(\alpha_i\cdot\alpha_j=0\)當(dāng)\(i=j\)D.\(\alpha_i\cdot\alpha_j=1\)當(dāng)\(i\neqj\)答案：A解析：正交向量組中，不同向量的點(diǎn)積為零，即\(\alpha_i\cdot\alpha_j=0\)當(dāng)\(i\neqj\)。二、填空題1.若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交，則\(\alpha\cdot\beta=______\)。答案：0解析：正交向量的點(diǎn)積為零。2.若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交，且\(\|\alpha\|=3\)，\(\|\beta\|=4\)，則\(\|\alpha+\beta\|^2=______\)。答案：25解析：根據(jù)向量模的平方公式，\(\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2+2\alpha\cdot\beta\)。由于\(\alpha\)和\(\beta\)正交，\(\alpha\cdot\beta=0\)，所以\(\|\alpha+\beta\|^2=3^2+4^2=9+16=25\)。三、解答題1.已知向量\(\alpha=(1,2,3)\)和\(\beta=(4,5,6)\)，判斷這兩個(gè)向量是否正交，并說(shuō)明理由。答案：這兩個(gè)向量不正交。因?yàn)樗鼈兊狞c(diǎn)積\(\alpha\cdot\beta=1\times4+2\times5+3\times6=4+10+18=32\)，不等于零。2.設(shè)\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，證明這三個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)正交基，并求出由這三個(gè)向量構(gòu)成的正交矩陣。答案：首先證明正交性：\(\alpha_1\cdot\alpha_2=1\times0+0\times1+0\times0=0\)，\(\alpha_1\cdot\alpha_3=1\times0+0\times0+0\times1=0\)，\(\alpha_2\cdot\alpha_3=0\times0+1\times0+0\times1=0\)。由于任意兩個(gè)不同向量的點(diǎn)積為零，所以這三個(gè)向量正交。接下來(lái)求正交矩陣：由于\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)都是單位向量，所以它們構(gòu)成的矩陣\(A\)為：\[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]這是一個(gè)正交矩陣，因?yàn)閈(A^TA=I\)，其中\(zhòng)(I\)是單位矩陣。3.已知向量\(\alpha=(2,-3,1)\)和\(\beta=(4,9,-6)\)，求一個(gè)與\(\alpha\)和\(\beta\)都正交的單位向量。答案：首先求\(\alpha\)和\(\beta\)的叉積\(\alpha\times\beta\)：\[\alpha\times\beta=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&-3&1\\4&9&-6\end{vmatrix}=\mathbf{i}((-3)(-6)-(1)(9))-\mathbf{j}((2)(-6)-(1)(4))+\mathbf{k}((2)(9)-(-3)(4))\]\[=\mathbf{i}(18-9)-\mathbf{j}(-12-4)+\mathbf{k}(18+12)\]\[=9\mathbf{i}+16\mathbf{j}+30\mathbf{k}\]\[=(9,16,30)\]然后求該向量的模：\[\|\alpha\times\beta\|=\sqrt{9^2+16^2+30^2}=\sqrt{81+256+900}=\sqrt{1237}\]最后求單位向量：\[\text{單位向量}=\frac{1}{\sqrt{1237}}(9,16,30)\]4.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(n\timesn\)正交矩陣，證明\(A^T=A^{-1}\)。答案：由于\(A\)是正交矩陣，根據(jù)定義有\(zhòng)(A^TA=I\)，其中\(zhòng)(I\)是單位矩陣。這意味著\(A^T\)是\(A\)的逆矩陣，即\(A^T=A^{-1}\)。四、證明題1.證明：若\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\)是一組正交向量，則它們線性無(wú)關(guān)。答案：假設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\)線性相關(guān)，則存在不全為零的實(shí)數(shù)\(k_1,k_2,\ldots,k_n\)，使得：\[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\ldots+k_n\alpha_n=0\]對(duì)上述等式兩邊與\(\alpha_i\)取點(diǎn)積，得到：\[k_1(\alpha_1\cdot\alpha_i)+k_2(\alpha_2\cdot\alpha_i)+\ldots+k_n(\alpha_n\cdot\alpha_i)=0\]由于\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\)正交，當(dāng)\(j\neqi\)時(shí)，\(\alpha_j\cdot\alpha_i=0\)，所以上式簡(jiǎn)化為：\[k_i(\alpha_i\cdot\alpha_i)=0\]由于\(\alpha_i\cdot\alpha_i=\|\alpha_i\|^2\neq0\)（因?yàn)閈(\alpha_i\)不是零向量），所以\(k_i=0\)。由于\(i\)是任意的，所以所有的\(k_i\)都為零，這與假設(shè)矛盾。因此，\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\)線性無(wú)關(guān)。2.證明：若\(A\)是一個(gè)\(n\timesn\)正交矩陣，則\(\det(A)=\pm1\)。答案：由于\(A