專題01向量基本定理與動(dòng)點(diǎn)最值

嫌內(nèi)容早知道

b第一層鞏固提升練

題型一：空間基底基礎(chǔ)

題型二：基底求參

題型三：基底坐標(biāo)

題型四：平面基底表示向量

題型五：求長(zhǎng)度型最值

題型六：動(dòng)點(diǎn)數(shù)量積型最值與范圍

題型七：動(dòng)點(diǎn)距離最值范圍型

題型八：動(dòng)點(diǎn)型軌跡

題型九：動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線線角

題型十：動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線面角

題型十一：動(dòng)點(diǎn)范圍型：折線距離

題型十二：存在型動(dòng)點(diǎn)

題型十三：空間向量綜合難題

■第二層能力提升練

?第三層高考真題練

-------------------------------------------------------------------------

題型

-……01空間基底基礎(chǔ)

□技巧積累與運(yùn)用

如果三個(gè)向量b,Z不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量,，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得

p^x2+yb+zc.其中，把{￡,反耳叫做空間的一個(gè)基底，a，b，"都叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面

的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

1.若{落瓦巴為空間的一個(gè)基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（~）

A.[a+c,a-b,b+c]B.{c,a+b,a-b}

C.{a,a+b,a-b}D.[a+b,a+b+c,c}

2.若M，瓦可是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的有（）

A.a+2b,b—c,a+2cB.a+b,b+c,c+a

3.已知{%瓦可是空間的一個(gè)單位正交基底，向量力=4-2分-4不，忖+瓦萬(wàn)-瓦曾是空間的另一個(gè)基底，用

基底{。+5,1一瓦可表示向量萬(wàn)=.

題型

02基底求參

1.已知｛弓七,63｝是空間的一個(gè)基底，向量方=3e]+2e?+e3,b-Ae2+e3,c=5G+6+/，若能作

為基底，則實(shí)數(shù)幾的取值范圍是()

A.(f,T)U(TE)B.(-w,0)U(0,+oo)

C.(fl)U(L+°°)D.(-8,O)5(),1)D(1,+8)

2.已知也也4是空間的一組基，若和+瓦石-「比｝是空間的另一組基,則沅不可以為()

A.aB.cC.a+cD.a-c

3.若｛最最可是空間的一個(gè)基底，且｛%+最后+￡冢+聞不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，貝心=()

A.-1B.1C.0D.-2

題型

03基底坐標(biāo)

1.己知｛。區(qū)。｝是空間中一組基底，若向量p=xa+yB+zc,則稱向量p在基底｛a,&c｝下坐標(biāo)為(x,%z).若

向量]在基底｛3瓦彳下坐標(biāo)為(3,-1』)，則向量]在基底,+瓦￡-瓦2g下的坐標(biāo)為()

A.[1，一2,￡|B.(1,-2.1)C.[1,2,]D.(1,2,1)

2.下列說(shuō)法正確的是()

A.己知汗=(0,1,1),B=(0,0,-l),則苕在B上的投影向量為-g,-gj

B.若兩個(gè)不同平面明夕的法向量分別是MM=(2,0,4),v=(-4,0,-8),則

--2—3—3--

C.^OG=-OA+-OB+-OC,則A,B,C,G四點(diǎn)共面

D.若向量》=，位+〃9+卮，(尤,y,z都是不共線的非零向量)則稱,在基底｛x,y,z｝下的坐標(biāo)為(口,〃,％),

若p在單位正交基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(123),則p在基底｛a-b,a+b,c｝下的坐標(biāo)為[-(A)

3.若向量p在空間的一組基底｛〃,瓦c｝下的坐標(biāo)是(3,1,2),則p在基底｛”+及。-及c｝下的坐標(biāo)是

題型

一……04平面基底表示向量

□技巧積累與運(yùn)用

用基底表示向量的步驟

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向

量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.

(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底｛a,b,c｝可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a,b,

c,不能含有其他形式的向量.

1.如圖，在四面體Q4BC中，點(diǎn)M在棱。4上，且滿足。暇=2M4,點(diǎn)、N,G分別是線段BC,的中

點(diǎn)，則用向量C4,0B＞反表示向量而應(yīng)為()

—?1.1.1.?1—?1.1—.

A.OG=-OA+-OB+-OCB.OG=-OA——OB+-OC

344344

—?1—?1―.1—.—?1—.1—.1—.

C.OG=-OA——OB——OCD.OG=-OA+-OB——OC

344344

2.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正四面體中，。為VABC的中心，。為R4的中點(diǎn)，BE=^BC,貝ij(

)

A.DE=-PA+-AB+-ACB.|PO|=^

233

C.PODE=6D.PODE=3

3.如圖，在四面體。48c中，麗=@,OB^b,祝=￡=,點(diǎn)M在。4上，且兩=2兩，點(diǎn)N為BC的

中點(diǎn)，^MN=xa+yb+zc,貝！J3x+3y+3z=.

題型

……-05求長(zhǎng)度型最值

口技巧積累與運(yùn)用

1.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)片（卬4，cJ,旦（％,瓦,C。,則兒￡兩點(diǎn)間的距離月￡=|阿卜一

—。1）~+（。2—4）~+（。2—cj~一?

\OP\=\OA+OB+OC\=yl（OA+OB+OC）2

=\I（OA）2+（OB）2+（OC）2+2OA?OB+2OA?OC+2OB?OC

1.已知正四面體尸-ABC的棱長(zhǎng)為6,空間中一點(diǎn)M滿足W=xJN+y而+z冗%其中x,V,zeR,且

x+y+z=l.則|沔回的最小值為（）

A.2#>B.4C.6D.2"

7T

2.已知四棱柱ABCD-A4G2的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，44，平面458,朋=3,4043=三，點(diǎn)尸

滿足Q=x通+〃而+f麗，其中2,〃，?e[o,l],則（）

A.當(dāng)尸為底面4月。1。1的中心時(shí)，彳+〃+/=2

B.當(dāng)/l+〃+f=l時(shí)，AP長(zhǎng)度的最小值為還

2

C.當(dāng)彳+〃+，=1時(shí)，AP長(zhǎng)度的最大值為6

D.當(dāng);e+〃2+幾〃=[=1時(shí)，]即|為定值

3.已知正四面體A-BC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N為棱BC,AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別為線段AM,CN上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足=則線段EF長(zhǎng)度的最小值為.

題型

------06動(dòng)點(diǎn)數(shù)量積型最值與范圍

口技巧積累與運(yùn)用

空間向量的數(shù)量積

（1）定義：已知兩個(gè)非零向量Z,b,則向量B的模長(zhǎng)與Z在向量B方向上的投影的乘積叫做2,B的數(shù)量

積，記作即75=|Z|出|cos〈￡,B〉.

零向量與任意向量的數(shù)量積為o.

（2）由數(shù)量積的定義，可以得到：

￡_LB=〉B=O;a-a=\a\\a\cos（a,a）=藍(lán)

1.在正三棱錐尸-ABC中，PA=A2=2#,點(diǎn)M為空間中的一點(diǎn)，則礪?（加+西+而0的最小值為（）

A.-16B.-14C.-12D.-8

2.正四面體的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)N是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，P為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最

長(zhǎng)時(shí)，麗.麗■的最大值為（）

95

A.2B.-C.3D.-

42

3.如圖，在多面體EF-ASCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，M為底面A38內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包

題型

——07動(dòng)點(diǎn)距離最值范圍型

口技巧積累與運(yùn)用

空間中動(dòng)線段的距離和的最值問(wèn)題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對(duì)稱性來(lái)處理于轉(zhuǎn)化，另外

異面直線間的公垂線段的長(zhǎng)度可利用點(diǎn)到平面的距離來(lái)處理.

1.如圖，在直三棱柱ABC-A用G中，VABC為腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，且AB>AC,側(cè)面ACC；A為

正方形，荏=2理,P為平面A8C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則E4+PE的最小值是（）

2.已知正方體ABCO-ABCQI的棱長(zhǎng)為1，/為棱4,的中點(diǎn)，G為側(cè)面CDDG的中心，點(diǎn)尸，。分別為

直線AD,上的動(dòng)點(diǎn)，且尸GLM。，當(dāng)怛耳取得最小值時(shí)，點(diǎn)。到平面PMG的距離為（）

A.—B.好C.1D."

222

3.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，A（1,LD,5（0,1,0）,C（0,0,l）,點(diǎn)X在平面ABC內(nèi)，則當(dāng)點(diǎn)。與X間的距

離取最小值時(shí)，點(diǎn)8的坐標(biāo)是（）

2J_￡2_J_￡

A.B.

c-d-&TT

題型

…--…08動(dòng)點(diǎn)型軌跡

口技巧積累與運(yùn)用

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：

（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；

（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)x、y表示相關(guān)點(diǎn)尸的坐標(biāo)與、％,然后代入點(diǎn)尸的坐標(biāo)（%,%）所滿足的

曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程；

（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)X、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找X、y與某一參數(shù)f得到方程，即

為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.

1.如圖，已知正方體ABC。-A耳G2的棱長(zhǎng)為2,區(qū)尸分別是棱AVAR的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為底面ABC。內(nèi)（包

括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線QP與平面BEF無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

ACi

bwc

AB

A.-y/2B.y/5C.2D.不

2.如圖，棱長(zhǎng)為4的正四面體ABCD,M,N分別是A5,C。上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=3,則MN中點(diǎn)的軌

跡長(zhǎng)度為（）

C

;

In71

A.—B.27cC.一D.乃

32

3.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AAG2中，已知M,N,P分別是棱￡2，AA，BC的中點(diǎn)，Q

為平面PMV上的動(dòng)點(diǎn)，且直線。耳與直線〃耳的夾角為30。，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為（）

題型

09動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線線角

口技巧積累與運(yùn)用

設(shè)直線/,7”的方向向量分別為工幾平面％力的法向量分別為D，則

a-b

兩直線/,根所成的角為9（0<dv19,cose=

1.在直三棱柱ABC-ABC］中，ZBG4=90°,AC=BC=AAi=2,E為4G的中點(diǎn)，則臺(tái)片與AE所成角的

余弦值是（）

叵

A.715cD.姮

10-I10

2.在正四棱錐S-A5CD中，底面邊長(zhǎng)為2后，側(cè)棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是底面ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SP=JB,則

當(dāng)A,P兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線與直線SC所成角的余弦值為（）

V5口sV21

A.--D.--Cc.---L）.---

10101010

3.已知空間四邊形ABC。，AB=BC=8,CD=1,AD=而,NA￡>C=90。.則對(duì)角線AC與8。所成角的

正切值的取值范圍是（）

題型

——10動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線面角

口技巧積累與運(yùn)用

幾何?？疾榈膴A角：

設(shè)直線/,根的方向向量分別為D，平面a,尸的法向量分別為則

1i

a*u

直線,與平面a所成的角為W04ew］7T）,sine=-

V

a\\u

線面角最值求解，常常用到以下方法：

一是向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，需要引入國(guó)暹,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解；

二是定義法，常常需要作出輔助線，找到線面強(qiáng)力5及出最值，常用知識(shí)點(diǎn)有正弦定理，余弦定理，基本不

等式等；

1.如圖，正方體ABC。-aAG，中，麗=甌，不討=兩，庭=4月C，當(dāng)直線與平面MNE所成

的角最大時(shí)，2=（）

2a

S

AB

1

A."B.-C.-D.-

2345

2.在正三棱錐P-ABC中，口4=依=尸。且PAP民夕。兩兩垂直,M是A8的中點(diǎn)，過(guò)直線BC作平面。，

則直線尸M與平面。所成角的最大值為（）.

71717171

A.—B.—C.一D.-

6432

3.如圖，點(diǎn)尸在正方體ABCD-4BC2的面對(duì)角線BG上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)異于5,G點(diǎn)），則下列結(jié)論不正確

的是（）

DC

45,

A.異面直線3。與所成角為60°

B.平面ACR

C.三棱錐尸-AC。的體積不變

D.直線AP與平面ARGB所成角正弦值的取值范圍為

25V

4.如圖，在正方體ABCD-ASGA中，點(diǎn)。為線段30的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸在線段4G上，直線0P與平面4瓦）

所成的角為a,則sine的取值范圍是（）

……11動(dòng)點(diǎn)范圍型：折線距離

口技巧積累與運(yùn)用

計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問(wèn)題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖

形，即“化折為直”或“化曲為直”來(lái)解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；

1.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ACLAB,AC=AB=CCX=\,E是線段AB的中點(diǎn)，在內(nèi)有

一動(dòng)點(diǎn)尸（包括邊界），貝“網(wǎng)+|尸耳的最小值是（）

2363

2.在正方體A8CD-ABIGR中，|AB|=3,點(diǎn)E是線段42上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，在三角形內(nèi)有一

動(dòng)點(diǎn)尸（包括邊界），則|以|+|「目的最小值是（）

A.2B.272C.3D.3小

3.棱長(zhǎng)為2的正方體A3CD-A用G2中，設(shè)點(diǎn)尸為底面ABJGA內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)AG到平面

距離之和的最小值為（）

AV3R273亞加

3323

題里

12存在型動(dòng)點(diǎn)

口技巧積累與運(yùn)用

先把位置點(diǎn)定性為“已知點(diǎn)”，然后通過(guò)其他條件推導(dǎo)出相關(guān)的平行或者垂直關(guān)系，再借助平行得比例線

段，或者垂直得到對(duì)應(yīng)的垂直關(guān)系。

1.在正四面體O-ABC中，點(diǎn)E在棱A8上，滿足AE=2￡B,點(diǎn)歹為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，貝|（）

A.存在某個(gè)位置，使得DEL

B.存在某個(gè)位置，使得=m

4

C.存在某個(gè)位置，使得直線。E與平面。8尸所成角的正弦值為史

14

D.存在某個(gè)位置，使得平面。所與平面ZMC夾角的余弦值為自

2

2.如圖，在矩形438中，AB=1,3C=2,M是A。的中點(diǎn)，將AABM沿著直線RW翻折得到△48朋r.記

二面角A-BM-C的平面角為a,當(dāng)a的值在區(qū)間（0?。┓秶鷥?nèi)變化時(shí)，下列說(shuō)法正確的有（）

A.存在。，使得AB，。！

B.存在a,使得A3,C。

C.若四棱錐A-BOM的體積最大時(shí)，點(diǎn)8到平面AMD的距離為漁

3

D.若直線AM與BC所成的角為尸，貝hos￡=sin?；

3.如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，AB=2,AB±BC,P,。分別為棱BC,AG上的動(dòng)點(diǎn)，且麗=力配,

甌=2冰，/le（0,1）,則（）

A.存在2使得「。，人8

B.存在力使得P。〃平面AB4A

C.若引32c長(zhǎng)度為定值，則力=1時(shí)三棱錐2-4尸。體積最大

D.當(dāng)4=：時(shí)，直線尸。與A8所成角的余弦值的最小值為逆

23

題型

13空間向量綜合難題

口技巧積累與運(yùn)用

動(dòng)點(diǎn)，M為側(cè)面BBCC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)G到平面A跖的距離為定值

B.若則8河的最小值為2

uuuuuinuuuuuuu/i-7

C.若AG=x4A+yAE+zA2，且x+y+z=l,則點(diǎn)G到直線AF的距離為三一

D.直線AG與平面AE尸所成角的正弦值的取值范圍為畛理

2.在正三棱錐P-A5c中，PAYPB,PA=1,。是底面VABC內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.點(diǎn)。到該三棱錐三個(gè)側(cè)面的距離之和為定值

B.頂點(diǎn)A,B,C到直線P。的距離的平方和為定值

C.直線尸。與該三棱錐三個(gè)側(cè)面所成角的正弦值的和有最大值百

D.直線尸。與該三棱錐四個(gè)面所成角的正弦值的平方和有最大值;

3.如圖，等邊VA2C的邊長(zhǎng)為4,。為邊A5的中點(diǎn)，將VA5c沿CD折成三棱錐A-88,4,B,C,D

都在球。的球面上.記AC,\D,45與平面BC。所成的角分別為名，仇，八,平面AQC,A.DB,BDC

與平面A3C所成的角分別為陶,心,%,則（）

211

------------W---------------1-------------D.存在點(diǎn)A使得%=戶2=%

tantanaxtan%

--------G-0-?-?-?--------

1.已知空間向量a，b,］兩兩的夾角均為60。，且同=歸|=2,同=4.若向量無(wú)，了滿足B（元+萬(wàn)）,

聲（/+&）=歹心，貝中一日的最大值是（）

A.1+273B.1+@C.2也D.2+—

22

2.如圖，正方體透明容器A8CD-4印論的棱長(zhǎng)為8,瓦尸,G,M分別為AVARCCrA用的中點(diǎn)，點(diǎn)N是

棱G2上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

___,1—.

B.向量西7在向量聲&上的投影向量為gFG

C.將容器的一個(gè)頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再

向容器中注水，則注水過(guò)程中，容器內(nèi)水面的最大面積為48/

D.向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個(gè)

3.已知正方體ABC。-ABCiR,設(shè)其棱長(zhǎng)為1（單位：m）.平面a與正方體的每條棱所成的角均相等,

記為6.平面a與正方體表面相交形成的多邊形記為下列結(jié)論正確的是（）

C.”的面積的最大值為16m2

D.正方體ABCD-A耳GA內(nèi)可以放下直徑為1.2m的圓

4.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A瓦G2中，尸為線段42上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.

①三棱錐尸-A3。中，點(diǎn)尸到面48。的距離為定值竿

②過(guò)點(diǎn)尸且平行于面42。的平面被正方體ABCD-截得的多邊形的面積為26

③直線PA與面所成角的正弦值的范圍為日,，

④當(dāng)點(diǎn)尸為用R中點(diǎn)時(shí)，三棱錐尸的外接球表面積為11兀

以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，在正方體A8CO-ABC2中，E為棱瓦G的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)尸沿著棱。C從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于

下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)。使得PA=PE；

②存在點(diǎn)尸，使得BA，平面尸AE;

③△PAE的面積越來(lái)越小；

④四面體4尸BE的體積不變.

C.3D.4

6.如圖，在棱長(zhǎng)為3g的正方體AB。-44CR中，點(diǎn)P是平面A3G內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

,_43

|DP|+|PBJ=5+2而，則直線用尸與直線AR所成角的取值范圍為（）（參考數(shù)據(jù)：sin53o=M，sin37o=?

A.[37°,53°]B.[37°,90°]

C.[53°,90°]D,[37°,127°]

7.已知正方體ABC。-4耳。。1棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M滿足麗7=蒞+z麗（x,y,zeR）,則（）

A.當(dāng)x=y=l,z=J時(shí)，直線AM國(guó)平面ABO

B.當(dāng)x=l,y=2,z=3時(shí)，點(diǎn)M到直線BD的距離為而

C.當(dāng)彳=兒z=l,xe[0,l]時(shí)，AM+M4的值可能為百

22

D.當(dāng)x+y+z=l且AM='時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為可兀

8.（2024?江蘇蘇州?三模）在棱長(zhǎng)為2的正方體4GA中，E為Q耳的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，0B,

0D,。。/所在直線分別為x軸、,軸、z軸，建立如何所示空間直角坐標(biāo)系.若該正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P（x,y,z）,

1，則（）

A.點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為2兀B.屈?函■的最小值為8-20

2

C.EP1BCXD.三棱錐O-PCD體積的最小值為］

9.（2024?遼寧,三模）已知正四面體ABCD棱