專題03直線綜合歸類

嫌內(nèi)容早知道

?第一層鞏固提升練

題型一：各類直線傾斜角

題型二：直線含參型傾斜角范圍最值

題型三：斜率與傾斜角互化關(guān)系

題型四：直線與線段有交點(diǎn)求斜率范圍型

題型五：直線含參過定點(diǎn)型

題型六：斜率公式集合意義應(yīng)用

題型七：斜率公式：函數(shù)型

題型八：雙直線含參型

題型九：直線截距型：截距基礎(chǔ)應(yīng)用

題型十：直線截距型：最值型

題型十一：圍成面積最值范圍

題型十二：夾角、角平分線型

題型十三：“光學(xué)”與對稱

題型十四：顛倒直線距離公式應(yīng)用

題型十五：直線圍成四邊形面積最值

"■第二層能力提升練

“第三層高考真題練

--------CM1HB-0-?--------

題型

——01各類直線傾斜角

口技巧積累與運(yùn)用

斜率公式

(1)若直線I的傾斜角a，90。，則斜率Iana.

(2)P,(xi，yi),B(X2,>2)在直線/上，且用/小則/的斜率上=之詈

2兀

1.若直線，：x=tang的傾斜角為a,則a=().

2兀71

A.0B.—C.一D.不存在

52

2.直線y=Ttan34o+5的傾斜角為()

A.34°B.56°C.124°D.146°

3.直線y=2xcos30。一8的傾斜角為().

A.120°B.60°C.135°D.45°

題型

。2直線含參型傾斜角范圍最值

口技巧積累與運(yùn)用

與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問題的注意點(diǎn)：

（1）運(yùn)用點(diǎn)斜式、斜截式方程時(shí)：要注意討論斜率存在性；

（2）運(yùn)用截距式方程時(shí)：要注意討論是否經(jīng)過原點(diǎn)（過原點(diǎn)的直線x,y軸截距均為0）.

注意：截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零.

1.設(shè)直線/的方程為氐sin6+y+2=0,則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

2.設(shè)直線/的方程為x+ycose+3=0（6eR）,則直線/的傾斜角a的取值范圍是（）

A.[0,31)

2

已知九ER,則直線x+（a+V3）j+l=0的傾斜角的取值范圍是（

題型

?03斜率與傾斜角互化關(guān)系

口技巧積累與運(yùn)用

直線傾斜角的概念和范圍

（1）求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討

論.

（2）注意傾斜角的范圍.

1.若直線/：＞=區(qū)-百與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

2.已知直線/的傾斜角a滿足120。＜￡4135。，貝U/的斜率上的取值范圍是（）

C.(-6,-1]D.卜8,-1,+(?)

3.若直線/的斜率%的變化范圍是卜1,6],則它的傾斜角a的變化范圍是()

A.0°<a<60°

B.135°<a<180°

C.60°<<135°

D.0°Ka“60°或135°Wa<180°

題型

--04直線與線段有交點(diǎn)求斜率范圍型

口技巧積累與運(yùn)用

已知線段AB的兩端點(diǎn)及線段外一點(diǎn)尸，求過點(diǎn)P且與線段A3有交點(diǎn)的直線/斜率的取值范圍.

若直線PAP3的斜率都存在，解題步驟如下：

①連接PA,P2；

②由左=三入，求出L和原B；

③結(jié)合圖形寫出滿足條件的直線/斜率的取值范圍.

1.已知點(diǎn)A（2,-3）,3（-5,-2）,若直線/：mr-y+機(jī)+1=0與線段A8（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為（）

2.已知直線/：（m+2）x+（m-l）y+/n-l=0,若直線/與連接A（-l,0）,磯2,1）兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則

直線/的傾斜角范圍為（）

3.經(jīng)過點(diǎn)尸（0,-1）作直線/,且直線/與連接點(diǎn)A（L道-1）,3（2,1）的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角

a的取值范圍是（）

題型

一一05直線含參過定點(diǎn)型

口技巧積累與運(yùn)用

一般情況下，過定點(diǎn)

直線系：

過4x+8iy+G=0與A2x+B2y+C2^0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：Aix+Biy+Ci+X（A^+B2y+C2）=0.

1.點(diǎn)P(-2,-1)到直線/:(l+3X)x+(l+4)y-2-42=0(XeR)的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線/方

程分別為()

A.屈;x+y—2=0B.711;3x+y-4=0

C.y/l3;3x+2y—5=0D.^/n;2x—3y+l—0

2.點(diǎn)尸（-2,-1）到直線/:（l+3/l）x+（l+㈤y-2-44=0（4eR）的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分

別為（）_

A.屈;3x+2y-5=0B.而；3x+2y-5=0

C.yj\3；2x—3j+1=0D."T;2尤-3y+l=0

3.當(dāng)點(diǎn)到直線/:（l+3/l）x+（l+㈤y-2-44=0（4為任意實(shí)數(shù)）的距離取最大值時(shí)，貝巾=（）

題型

........06斜率公式幾何意義應(yīng)用

□技巧積累與運(yùn)用

1.直線的斜率

把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母左表示，即％=tana.

2.斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系

3.過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

過兩點(diǎn)P1（X1，yi）,尸2（尤2，＞2）（尤1#尤2）的直線的斜率公式為左="_"

%2—

1.已知函數(shù)〃尤）=〃吠-若滿足/（x）＞0的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)，"的范圍為（）

2.已知正AABC的頂點(diǎn)A?！梗?，5（1,3）,頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)P（x,y）是AABC內(nèi)部及其邊界上一點(diǎn),

則士的最大值為（）

3."太極圖"因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)

系中的"太極圖"，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)PQ,y）是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則一二的最小值

x-2

為（）

D.-1

題型

……-07斜率公式：函數(shù)型

□技巧積累與運(yùn)用

斜率公式函數(shù)型：

1.分式型含參，可以構(gòu)造轉(zhuǎn)化為斜率形式

2.要注意函數(shù)型對應(yīng)自變量的“定義域”

x3,x>0,x—a

1.已知函數(shù)/(x)=二cc若存在唯一的整數(shù)X,使得、。<0成立,則所有滿足條件的整

-2|x+l|+2,x<0,-?3/(x)-2-

壑。的取值集合為()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1)

2.過點(diǎn)(-1,-2)的直線/與曲線丫二一不巨有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則/的斜率的取值范圍為()

A.-2,*|B.[-2,0)U(0,'|

C[2，＜卜[。，)D,12，f；

—x+1,0<x<2

3則9—7/("的取值范圍為()

3.已知函數(shù)/(x)=,

x+12x-3

,x<0

-x+1

/

8

-，-40-

Iu五MB.

AU.<21

40-

-8-(-oo,o)um，+8

，21U[o,+<?)D.

題型

一08雙直線含參型

□技巧積累與運(yùn)用

如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動(dòng)態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段為直徑的圓上。

1.每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點(diǎn)。

2.兩條動(dòng)直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是7,確定兩條

直線是否互相“動(dòng)態(tài)垂直”。

3.如果兩條動(dòng)直線“動(dòng)態(tài)垂直”，則兩直線交點(diǎn)必在兩條直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上。

4.如果兩條動(dòng)直線交點(diǎn)在對應(yīng)的兩直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的

最值求解計(jì)算

1.已知點(diǎn)夕是直線乙：mx-ny-5m+n=0^\]l2：nx+my-5m-n=0^m,nER,加+療/o)的交點(diǎn)，點(diǎn)。是圓

C：(x+3『+(y+5產(chǎn)=1上的動(dòng)點(diǎn),則|尸(的最大值是()

A.9+2夜B.10+2應(yīng)C.11+272D.12+26

2.設(shè)機(jī)wR,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線工+畋=。和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線g-V-相+2=。交于點(diǎn)尸（x,y）,貝I]

向卜|冏的最大值是（）

5

A.-B.2C.3D.5

2

3.設(shè)帆eR,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+“y-7〃=。和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線〃式-y-機(jī)+3=0交于點(diǎn)尸（x,y）,AB

中點(diǎn)為。，則|尸。|的值為（）

A.@B.qC.1D.與根的取值有關(guān)

22

題型

~09直線截距型：截距基礎(chǔ)應(yīng)用

□技巧積累與運(yùn)用

名稱截距式方程

已知條件直線/在X,y軸上的截距分別為a,b且OHO,b*0

\!(().6)

示意圖

Tv

方程形式3=i

ab

適用條件斜率存在且不為零，不過原點(diǎn)

1.已知點(diǎn)P（3,4）到直線/的距離為5,且直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則滿足條件的直線共有（）條.

A.1B.2C.3D.4

2.過點(diǎn)作直線/,則滿足在兩坐標(biāo)軸上截距之積為2的直線/的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.經(jīng)過點(diǎn)（-2,4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（）

A.y=x+6B.y=2x+8

C.y=-2x或y=x+6D.y=-2x或y=2%+8

^10

直線截距型：最值型

□技巧積累與運(yùn)用

使用截距式判斷兩直線的截距關(guān)系時(shí)，要注意直線是否過原點(diǎn)，過原點(diǎn)也存在截距，截距是0。

1.若直線/:土+5=1（“>0,6>0）經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,則直線/在x軸和y軸上的截距之和取最小值時(shí)，y=（）

abb

A.2B.gC.J2D.—

22

2.已知經(jīng)過第一、二四象限的直線/：土+9=1經(jīng)過點(diǎn)A"），則2。+人的最小值為（）

ab

A.4B.40C.8D.9

3.若直線//+；=1（。>0,6>0）過點(diǎn)尸（4,1）,則當(dāng)a+6取最小值時(shí).直線/的方程為（）

ab

A.x+4y-8=0B.4x+y-17=0

C.x+2y-6=0D.2x+y-9=0

題型

11圍成面積最值范圍型

1.已知直線/:土+4=1,若直線/與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大，則直線/的方程是（

m4-m

A.—+y-lB.X+—-1C.—+—=1D.y=-x-2.

3'322

2.已知直線/過點(diǎn)（1,3）,若/與X軸，y軸的正半軸圍成的三角形的面積為S,貝”的值可能是（）

A.3B.4C.5D.6

3.在平面中，過定點(diǎn)尸（2,1）作一直線交x軸正半軸于點(diǎn)A,交，軸正半軸于點(diǎn)B,△OAB面積的最小值為

（）

A.2B.2.72C.4D.4亞

-……12夾角、角平分線型

□技巧積累與運(yùn)用

1.求角平分線方程可根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等求解

2.求角平分線，可以利用夾角公式，或者到角公式求解

1.直線4的斜率為勺，直線4的斜率為占，直線4不與直線6垂直，且直線4和直線4夾角的角平分線的斜

率為勺等，則a的取值范圍是.

2.已知兩條直線4：y=x、4：y=",其中aeR,當(dāng)這兩條直線的夾角在0,白內(nèi)變化時(shí)，a的取值范圍

為.

3.已知某正三角形的一條內(nèi)角平分線所在直線的斜率為2叵，寫出與該角平分線相鄰兩邊中，其中一邊所

3

在直線的斜率為

題型

13“光學(xué)”與對稱

□技巧積累與運(yùn)用

關(guān)于軸對稱問題：

A

=-1

m-aI

（1）點(diǎn)關(guān)于直線4+8y+C=0的對稱點(diǎn)A'W，〃），則有<

,a+m

A-----

2

（2）直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決.

1.如圖，一束光線從A。,。）出發(fā)，經(jīng)直線無+>+1=0反射后又經(jīng)過點(diǎn)3（6,-5）,則光線從A到8走過的路

c.痢D.2A/15

2.在等腰直角三角形42c中，AB=AC=4,點(diǎn)尸是邊AB上異于A,B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)尸出發(fā)經(jīng)BC,

。反射后又回到點(diǎn)P,若光線QR經(jīng)過VABC的重心，則APQR的周長等于（)

?2國

D.------

3

D.空

3

3.在等腰直角VABC中，A3=AC=4,點(diǎn)P是邊的中點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，沿與荏所成角為。的方

向發(fā)射，經(jīng)過BC,8反射后回到線段尸3之間（包括端點(diǎn)），貝Itan。的取值范圍是（）

A.[1,2]B.[2,3]C.[4,5]D.[3,4]

題型

14點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用

口技巧積累與運(yùn)用

幾種距離公式

⑴兩點(diǎn)尸l（xi，Jl）,22（尤2，,2）之間的距離：\PlP2\=a\/（X2—X1）2+（J2—J1）2.

lAro+Byo+C

（2）點(diǎn)尸o（xo，yo）到直線/：Ax+8y+C=0的距圖：d—

⑶兩條平行線Ax+2y+G=0與Ax+8y+C2=0（其中GWC?）間的距離：d=^===.

i.已知實(shí)數(shù)x，y滿足工用+}=1,則|氐+>-而|的取值范圍是（）

A.[0,新）B.-遍,6）C.[0,A/6]D.[A/6,V10）

2.已知圓C:尤2+/=4上兩點(diǎn)A（%J,M）,3（%2,%）滿足卒2+X%=。，則卜1+6yl+q+卜2++q的最小

值為（）

A.3A/2-2B.6-2A/2

C.6A/2-4D.12-4>/2

3.已知實(shí)數(shù)。>0]<。，則隹二的取值范圍是

yla2+b2

題型_

-15直線圍成四邊形面積最值

1.已知0<%<4,直線4：立一2y—2左+8=0和直線4：2x+/y-4/-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形.貝I]

使這個(gè)四邊形面積最小的左值為.

2.已知0<%<4,直線/日一2，-2左+8=0和直線62x+fy一軟°一4=。與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,

則使得這個(gè)四邊形面積最小的左值為（）

3.己知。?0,2）,直線4的方程為分一2y-2。+4=0,直線乙的方程為2無+a2y-2〃-4=0,記4，乙與

兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積為S,則S的最小值為.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-X

1.曲線=1與過原點(diǎn)的直線/沒有交點(diǎn)，貝心的傾斜角。的取值范圍是

八〃TT2"乃71712萬

A.0,—U——,71B.C.D.

33嗚

2.

3.已知直線乙：加v+y+2=0與直線4:X-沖-2=。交于點(diǎn)M，點(diǎn)M關(guān)于直線％-y=。對稱的點(diǎn)為N（a,Z?）,

則b士+的2取值范圍是（）

a

A.[-7,1]B.(-<x),-7]u[l,+oo)

C.[-1,7]D.(_8,T]D[7,+8)

4.已知實(shí)數(shù)a,"c,d滿足3a-4。+3=0,3。一44一7=。，則（a—c/+（/?—4的最小值為（）

A.1B.2C.3D.

5.已知點(diǎn)A（-2,0）,3（2,0）,點(diǎn)尸為直線/:2x+y-6=0上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ZAP3最大值，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為（）

A.2B.3C.4D.5

已知函數(shù)/（x）=,-次-1-6，若/'（x"-g對任意實(shí)數(shù)X恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（

6.)

y/6y/6_V|匹A/6\/6A/6A/6

A.B.~~69~6C.D.

7.已知直線4:初x-y-機(jī)+3=0（相￡R）與直線/2：%+機(jī)y-加一5=0（機(jī)￡R）相交于點(diǎn)尸，則P到直線

2%+y+7=0的距離的取值集合是（）

A.[A/5,3A/5]B.（百,3,C.12君,46]D.（2百,40]

8.已知m>0,〃<0,C（x,y）是曲線y=，4小_、2上的任意一點(diǎn),若|X一>+時(shí)+|x-y+〃|的值與工，'無關(guān),

則（）

A.機(jī)的取值范圍為120-2,+co）

B."的取值范圍為卜8,-2忘-2]

C.|x-y+3]的最大值為7

D.?-y+M+|x-y+"的最小值為2