第二十五章概率初步概念地圖知識(shí)歸納25..1隨機(jī)事件與概率1.隨機(jī)事件的定義事件分為確定事件和隨機(jī)事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，它們之間的關(guān)系如下：事件確定事件(1)確定事件事件發(fā)生之前能確定它是否一定發(fā)生的事件稱(chēng)為確定事件．①必然事件：一定會(huì)發(fā)生的事件．②不可能事件：一定不會(huì)發(fā)生的事件，發(fā)生的概率為0.(2)隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱(chēng)為隨機(jī)事件，它發(fā)生的概率介于1和0之間．【示范例題】下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機(jī)事件？(1)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)沸騰；(2)沒(méi)有水分，種子發(fā)芽；(3)同性電荷，相互排斥；(4)螞蟻搬家，天必下雨．【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)物理知識(shí)可知(1)是必然事件．(2)水分是種子發(fā)芽的必備條件，沒(méi)有水分，種子不會(huì)發(fā)芽，也就是說(shuō)“沒(méi)有水分，種子發(fā)芽”的可能性為0，所以(2)是不可能事件．(3)該事件是物理學(xué)的基本常識(shí)，所以(3)是一個(gè)必然事件．(4)螞蟻搬家雖然可以作為下雨的一個(gè)征兆，但并不意味著螞蟻搬家都是由于下雨所致，比如蟻巢遭到破壞也會(huì)使螞蟻搬家，所以(4)是一個(gè)隨機(jī)事件．【題后總結(jié)】判斷一個(gè)事件是不可能事件、必然事件、隨機(jī)事件，關(guān)鍵在于試驗(yàn)的結(jié)果是否在試驗(yàn)前預(yù)先確定，與這個(gè)試驗(yàn)是否進(jìn)行無(wú)關(guān)．一般說(shuō)來(lái)，描述已被確認(rèn)的真理或客觀存在的事實(shí)的事件是必然事件，描述違背已被確定的真理或客觀存在的事實(shí)的事件是不可能事件，否則是隨機(jī)事件，隨機(jī)事件的一個(gè)明顯特征是試驗(yàn)的結(jié)果不唯一．2.概率的意義(難點(diǎn))一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫(huà)其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱(chēng)為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A)，0≤P(A)≤1.【求甚解】概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的值．當(dāng)A是必然事件時(shí)，P(A)＝1，當(dāng)A是不可能事件時(shí)，P(A)＝0，事件A發(fā)生的可能性越大，則P(A)越接近1，反之，事件A發(fā)生的可能性越小，則P(A)越接近0.如圖所示：(2)概率是事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的定值，即可以用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)事件發(fā)生的概率，但二者不能簡(jiǎn)單地等同．【示范例題】在某一場(chǎng)比賽前，教練預(yù)測(cè)：這場(chǎng)比賽我們隊(duì)有50%的機(jī)會(huì)獲勝，那么相比之下在下面4種情形的哪一種情形下，我們可以說(shuō)這位教練說(shuō)得比較準(zhǔn)()．A．該隊(duì)真的贏了這場(chǎng)比賽B．該隊(duì)真的輸了這場(chǎng)比賽C．假如這場(chǎng)比賽可以重復(fù)進(jìn)行了10場(chǎng)而這個(gè)隊(duì)贏了6場(chǎng)D．假如這場(chǎng)比賽可以重復(fù)進(jìn)行100場(chǎng)而這個(gè)隊(duì)贏了51場(chǎng)【答案】D【解析】由概率的意義可知，D正確．25.2概率的求法1.古典概型古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限多個(gè)．(2)在一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相同．2.用列舉法求概率(重點(diǎn))(1)一般方法一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有幾種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝mn【要點(diǎn)透析】能使用P(A)＝mn如拋擲一枚質(zhì)量均勻的骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的結(jié)果數(shù)有6個(gè)，每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率P＝16.又比如拋擲一枚硬幣，則正面和反面出現(xiàn)的概率P(正面向上)＝P(反面向上)＝12.但如果骰子的質(zhì)量不均勻，則六種結(jié)果出現(xiàn)的可能性不再相同，不能使用P(A)＝mn(2)列表法當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)通常采用列表法求事件的概率；(3)樹(shù)形圖當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)，通常可采用樹(shù)形圖求事件發(fā)生的概率．【示范例題】有三張卡片(背面完全相同)分別寫(xiě)有12，12【答案】見(jiàn)解析【解析】12＝23，12所以P(有理數(shù))＝59，P(無(wú)理數(shù))＝49，P(有理數(shù))＞所以這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)小軍有利．3.用頻率估計(jì)概率(重點(diǎn))(1)頻率的穩(wěn)定性在隨機(jī)事件中，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的、無(wú)法預(yù)測(cè)的，但隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，隱含的規(guī)律逐漸呈現(xiàn)，即事件的頻率逐漸穩(wěn)定到某一個(gè)數(shù)值附近．【要點(diǎn)透析】隨機(jī)事件并非完全沒(méi)有規(guī)律；(2)只有當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，頻率的這種穩(wěn)定性才會(huì)逐漸顯現(xiàn)出來(lái)；(3)頻率和概率在實(shí)驗(yàn)中可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差是正常的、經(jīng)常的.如隨機(jī)拋擲一枚硬幣時(shí)，理論上“落地后正面朝上”發(fā)生的概率為0.5，可拋擲1000枚硬幣，并不能保證落地后恰好有500枚正面朝上，但大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，“落地后正面朝上”發(fā)生的頻率就在0.5附近波動(dòng)．(2)頻率和概率的關(guān)系當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定到它發(fā)生的概率的大小附近，所以，我們常用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率．【要點(diǎn)透析】頻率和概率是兩個(gè)不同的概念，二者既有區(qū)別又有聯(lián)系，事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定的值，而頻率是不確定的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，逐漸穩(wěn)定在概率附近；(2)通過(guò)實(shí)驗(yàn)用頻率估計(jì)概率的大小，方法多種多樣，但無(wú)論選擇哪種方法，都必須保證實(shí)驗(yàn)在相同的條件下進(jìn)行，否則結(jié)果會(huì)受到影響；(3)事件發(fā)生的概率需要用穩(wěn)定時(shí)的頻率來(lái)估計(jì)，它需要做次數(shù)足夠多的實(shí)驗(yàn)才能較準(zhǔn)確，要注意的是一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的、無(wú)法預(yù)測(cè)的．【示范例題】一粒木質(zhì)中國(guó)象棋子“兵”，它的正面雕刻一個(gè)“兵”字，它的反面是平的，將它從一定高度下擲，落地反彈后可能是“兵”，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的兩面不均勻，為了估計(jì)“兵”字面朝上的概率，某實(shí)驗(yàn)小組做了棋子下擲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：(1)請(qǐng)將數(shù)據(jù)圖補(bǔ)充完整；(2)畫(huà)出“兵”字面朝上的頻率分布折線(xiàn)圖；(3)如果實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)概率是多少？【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)是40時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率是0.45，所以“兵”字面朝上的頻數(shù)是40×0.45＝18；當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)是120時(shí)，“兵”字面朝上的頻數(shù)是66，相應(yīng)的頻率是66÷120＝0.55.所以x＝18，y＝0.55.(2)所畫(huà)的頻率分布折線(xiàn)圖如圖.(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)以及頻率分布折線(xiàn)圖可以發(fā)現(xiàn)，如果繼續(xù)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的頻率將穩(wěn)定在0.55左右，由此可估計(jì)“兵”字面朝上的概率為0.55.4.用模擬試驗(yàn)的頻率估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率(難點(diǎn))當(dāng)我們的手邊沒(méi)有某種試驗(yàn)所需的材料，而想盡快求得某個(gè)事件發(fā)生的概率時(shí)，我們通常用一些簡(jiǎn)單而又易操作的試驗(yàn)來(lái)替代原來(lái)的試驗(yàn)，這樣的試驗(yàn)，通常稱(chēng)為模擬試驗(yàn)．【要點(diǎn)透析】(1)模擬試驗(yàn)的多樣性：同一試驗(yàn)，有各種各樣的替代物，這樣會(huì)給試驗(yàn)帶來(lái)很多方便．如在拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，如果手邊恰好沒(méi)有硬幣，可以用一張紅桃撲克牌和一張黑桃撲克牌作為替代物，還可以用黃、白兩個(gè)乒乓球作替代物，但不是所有試驗(yàn)都能找到替代物；(2)模擬試驗(yàn)的原則：替代試驗(yàn)必須在同等條件下進(jìn)行，否則會(huì)影響試驗(yàn)效果；(3)用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將會(huì)較為精確；(4)也可用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬試驗(yàn)．【示范例題】通過(guò)反復(fù)拋擲一枚正方體骰子，利用頻率穩(wěn)定值估計(jì)6點(diǎn)向上的概率的試驗(yàn)中，如果你手邊沒(méi)有骰子，那么你能設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)方案來(lái)替代嗎？說(shuō)說(shuō)你的試驗(yàn)過(guò)程．【提示】正方體骰子的六個(gè)面上分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)點(diǎn)，拋擲時(shí)每個(gè)面的點(diǎn)數(shù)都有相等的機(jī)會(huì)朝上，試驗(yàn)關(guān)注的是6點(diǎn)向上的概率．我們只要設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)也有六種等可能的結(jié)果，且關(guān)注其中的一種結(jié)果的試驗(yàn)即可．【答案】見(jiàn)解析【解析】取六張撲克牌，分別是A，2，3，4，5，6，分別代表正方體骰子六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)(A代表1點(diǎn))，試驗(yàn)時(shí)將六張撲克牌背面向上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，多次重復(fù)試驗(yàn)后，記錄抽到6的次數(shù)．【點(diǎn)撥】進(jìn)行模擬試驗(yàn)時(shí)，可以用不同的工具，但必須合理，并且操作簡(jiǎn)單，即必須保證實(shí)驗(yàn)在相同的條件下進(jìn)行，不改變?cè)瓉?lái)要研究問(wèn)題的概率值．高頻考點(diǎn)鏈接考點(diǎn)一事件類(lèi)型的考查根據(jù)事件發(fā)生的可能性，可把事件分成三種類(lèi)型，即不可能事件、隨機(jī)事件和必然事件．在對(duì)某個(gè)事件進(jìn)行判斷時(shí)，要考慮所有可能發(fā)生的結(jié)果，并熟練掌握不可能事件、隨機(jī)事件的區(qū)別．【例1】連續(xù)拋擲3枚硬幣，觀察朝上的面．(1)寫(xiě)出這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間；(2)寫(xiě)出“恰有兩枚正面向上”這一事件相應(yīng)的樣本空間的子集．【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}(2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出基本事件【分析】（1）用表示結(jié)果，其中分別表示第1枚，第2枚，第3枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果，然后利用列舉法求解即可；（2）利用（1）直接求解.【詳解】（1）用表示結(jié)果，其中分別表示第1枚，第2枚，第3枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果，則試驗(yàn)的樣本空間為：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}；（2）由（1）可知“恰有兩枚正面向上”這一事件相應(yīng)的樣本空間的子集為{（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}.【變式11】（2324高二·上?！ふn堂例題）兩個(gè)男生、兩個(gè)女生隨機(jī)站一排，(1)寫(xiě)出樣本空間；(2)寫(xiě)出每個(gè)人的相鄰之人總是異性這個(gè)事件所對(duì)應(yīng)的子集；(3)寫(xiě)出每個(gè)人的相鄰之人至少有一個(gè)異性這個(gè)事件所對(duì)應(yīng)的子集．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析；(3)答案見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出基本事件【分析】（1）對(duì)給定的男生、女生編號(hào)，再寫(xiě)出樣本空間.（2）（3）由（1）的信息寫(xiě)出相應(yīng)的子集.【詳解】（1）記兩個(gè)男生為，兩個(gè)女生為，樣本空間，.（2）每個(gè)人的相鄰之人總是異性這個(gè)事件所對(duì)應(yīng)的子集為：.（3）每個(gè)人的相鄰之人至少有一個(gè)異性這個(gè)事件所對(duì)應(yīng)的子集為：.考點(diǎn)二概率與頻率的關(guān)系某事件的概率穩(wěn)定在大量重復(fù)試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率附近，利用此關(guān)系可解決實(shí)際生活中的一些與估算有關(guān)的問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決．【例2】某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行練習(xí)，結(jié)果如下表：射擊次數(shù)（n）102050100200500擊中10環(huán)次數(shù)（m）8194493178453擊中10環(huán)頻率(1)將表格填寫(xiě)完整；(2)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中10環(huán)的經(jīng)驗(yàn)概率約為多少？（精確到0.1）【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)0.9【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算頻率、用頻率估計(jì)概率【分析】（1）根據(jù)題意頻率計(jì)算公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)概率和頻率的關(guān)系分析求解.【詳解】（1）根據(jù)頻率計(jì)算公式，表格數(shù)據(jù)如下：射擊次數(shù)（n）102050100200500擊中10環(huán)次數(shù)（m）8194493178453擊中10環(huán)頻率0.80.950.880.930.890.906（2）由（1）中所求，隨著射擊次數(shù)的增大，頻率的穩(wěn)定值為0.9．故這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為0.9.考點(diǎn)三求隨機(jī)事件發(fā)生的概率對(duì)于一步完成的簡(jiǎn)單的等可能事件的概率，直接利用概率公式求解即可；而對(duì)于兩步或兩步以上的等可能事件的概率，可以用列表法或樹(shù)形圖法來(lái)求解．通過(guò)概率的計(jì)算與比較，可以判斷一個(gè)游戲是否公平．【例3】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判，則前4局中乙恰好當(dāng)一次裁判的概率是