第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年山西省臨汾一中高二（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)2i2?i的虛部為(

)A.?25 B.?45 C.2.如圖所示，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，kA.k1>k2>k3

B.3.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的50個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將50個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為01，02，…，50.從中抽取6個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：

66?67?40?37?14?64?05?71?11?05?65?09?95?86?68?76?83?20?37?90

57?16?03?11?63?14?90?84?45?21?75?73?88?05?90?52?23?59?43?10

若從表中第1行第6列開(kāi)始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是(

)A.57 B.50 C.40 D.104.已知向量a=(n,1)，b=(?2,n?3)，則“n=2”是“a/?/bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若x2+y2?x+y?2m=0是一個(gè)圓的方程，則實(shí)數(shù)A.(?∞,?14) B.(14,+∞)6.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=12MA，點(diǎn)NA.53a+32b+127.如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得tan∠ACB=34，CD=50m，cos∠BCD=55A.153m

B.203m8.已知三棱錐S?ABC的各條棱均相等，P，Q分別為棱SA，BC的中點(diǎn)，則直線PQ和直線AC所成角的大小為(

)A.30° B.45° C.60° D.90°二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知事件A與事件B,A?是事件A的對(duì)立事件，B?是事件B的對(duì)立事件，若P(A)=23，A.P(B?)=34B.若事件A與事件B是互斥事件，則P(A∪B)=34

C.若事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(A?10.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.f(x)的最小正周期為π

B.f(x)在[?π2,?π4]上單調(diào)遞減

C.直線x=?11π12為f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BDA.若D1P//平面A1BD，則λ2+μ2最小值為12

B.若PO⊥平面A1BD，則λ=12，μ=1

C.若λ=μ=12，則P到平面A1BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l1：x+(a?1)y+1=0，直線l2：ax+2y+2=0，若l1//l13.在平面上有如下命題：“若O為直線AB外一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)λ、μ，滿(mǎn)足OP=λOA+μO(píng)B，且λ+μ=1.”將該命題類(lèi)比到空間中，并解決以下問(wèn)題：正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，P為底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足OP=λOA+1314.已知正四棱臺(tái)的高為2，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

某城市交通部門(mén)為了對(duì)該城市共享單車(chē)加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車(chē)的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿(mǎn)意度評(píng)分值(百分制)按照[50,60)，[60,70)，???，[90,100]分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖．

(1)求圖中x的值；

(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

(3)已知滿(mǎn)意度評(píng)分值在[50,60)內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿(mǎn)意度評(píng)分值為[50,60)的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率．16.(本小題15分)

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?1,2)．

(1)若l不過(guò)原點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求l的方程；

(2)設(shè)l的斜率k>0，l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A和B，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求l的斜截式方程．17.(本小題15分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(?1,2)，且圓心C在直線2x?y+2=0上．

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知圓C′的方程為x2+y2?6y+5=0，請(qǐng)問(wèn)圓18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2b?c=2acosC，b=2．

(1)求A；

(2)若D為BC中點(diǎn)，且AD=7，求△ABC的周長(zhǎng)；

(3)若△ABC是銳角三角形，求△ABC19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．

(1)求證：AB⊥PD；

(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為105？若存在，求出PEPD

參考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.D

6.D

7.C

8.B

9.ACD

10.ACD

11.ACD

12.?1

13.71214.40π

15.解：(1)由(0.005+0.01+0.035+0.030+x)×10=1，解得x=0.02．

(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77．

中位數(shù)設(shè)為m，則0.05+0.2+(m?70)×0.035=0.5，解得m=5407．

(3)滿(mǎn)意度評(píng)分值在[50,60)內(nèi)有100×0.005×10=5人，其中男生3人，女生2人．記為A1，A2，A3，B1，B2，

記“滿(mǎn)意度評(píng)分值為[50,60)的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，恰有1名女生”為事件A，

從5人中抽取2人有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A216.(1)因?yàn)橹本€l不過(guò)原點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)P(?1,2)，

可得l的斜率存在且不為0，

設(shè)斜率為k，則l的點(diǎn)斜式方程為y?2=k(x+1)，

則它在兩坐標(biāo)軸上截距分別為?1?2k和k+2，

由題意可得?1?2k+k+2=0，解得k=?2(此時(shí)直線過(guò)原點(diǎn)，舍去)或k=1，

所以l的點(diǎn)斜式方程為y?2=x+1，

即x?y+3=0；

(2)由(1)知，設(shè)A(?2k?1,0),B(0,k+2)，(k>0)，

所以△AOB的面積S=12|OA|?|OB|=12×|?2k17.解：(1)因?yàn)锳(1,0)，B(?1,2)的中點(diǎn)為E(0,1)，且直線AB的斜率kAB=2?0?1?1=?1，則線段AB的垂直平分線所在直線的方程為y=x+1，

聯(lián)立方程y=x+12x?y+2=0，解得x=?1y=0，

r=|CA|=2，

所以圓C的方程為(x+1)2+y2=4；

(2)圓C′的方程x2+y2?6y+5=0可化為x2+(y?3)2=4，∵圓C與圓C′的圓心距d=(1?0)2+(0?3)2=10，

因?yàn)閮蓤A半徑分別為2，2，18.(1)因?yàn)?b?c=2acosC，

由正弦定理得2sinB?sinC=2sinAcosC，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)，

即2sin(A+C)?sinC=2sinAcosC，

所以2sinAcosC+2cosAsinC?sinC=2sinAcosC，

整理可得2cosAsinC?sinC=0，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0，

所以2cosA?1=0，得cosA=12，

由A∈(0,π)，得A=π3；

(2)因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，

可得2AD=AB+AC，AD=7，b=2，

兩邊平方可得4AD2=AB2+AC2+2AB?AC=c2+b2+2cbcosA，

即28=c2+4+2c×2×12，

即c2?2c?24=0，

解得c=?6(舍)或c=4，

由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA=4+16?2×2×4×12=12，19.(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

又∵AB⊥AD，AB?平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD?平面PAD，

∴AB⊥PD．

(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，OC，由△PAD為等邊三角形，可得PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

又OC?平面ABCD，

所以PO⊥OC，

因?yàn)锳O=BC=1且AO//BC，

所以四邊形ABCO是平行四邊形，

所以O(shè)C//AB，

又AB⊥AD，

所以O(shè)C⊥AD，直線OC、OD、OP兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC、OD、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,?1,0)，D(0,1,0)，C(1,0,0)，B(1,?1,0)，P(0,0,