安徽省滁州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5亳米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的

答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊第六章~第八章第2節(jié).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4Q分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.下列幾何體不屬于棱柱的是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)棱柱的定義可知A為三棱柱，B為四棱柱，C為五棱柱，不屬于棱柱的圖形只

有D選項(xiàng).

故選：D.

2

2.若復(fù)數(shù)z=—,則|z+2|=()

1+1

A.2B.72C.10D.Vio

【答案】D

2二2(1)二2(1)=]

【解析】因?yàn)閦

1+i(l+i)(l-i)1-i2

所以|z+2|=|l_i+2|=|3_i|=j32+(_l『=曬.

故選：D.

3.已知向量a=(—2,—1)力=(3,2),則5—2〃=<)

A.(-8,-5)B.(-5,-6)

C.(-6,-4)D.(-7,-6)

【答案】A

【解析】向量a=(—2,—1)/二(3,2),所以。一處=(—2,—1)-2(3,2)=(—8,—5).

故選：A

4.若x+i=(2+i)(y+M)(乂y〉R)，則］+丁二()

9

A.3B.2C.OD.-

3

【答案】D

【解析】x+i=(2+i)(y+)，i)=2y-y+(2y+y)i=y+3yi,再根據(jù)復(fù)數(shù)的相等，有

x=y12

;，解得x=y=；，所以x+y=：；.

1=3y33

故選：D

5.在VA3C中，內(nèi)角A3,C所對的邊分別為若c=3,b=8,C=60°,則

A=()

A.45°B.75°C.105°D.135°

【答案】B

【解析】由正弦定理得」3二二，所以sinB=^￡="x也=交，

sinCsinBc322

因?yàn)閏>b,所以C>8,所以3=45，則4=180。一60。-45。=75。，

故選:B.

6.如圖，四邊形A3CO中，AB=2OC,E為線段A短的中點(diǎn)，尸為線段AB上靠近3的一

個四等分點(diǎn)，則后戶=()

A.-CB--CDB.CB—CD

22

C.—CB—CDD.-CB-CD

22

【答案】D

【解析】由題意，48=2。。,￡為線段從。的中點(diǎn)，

3—1—

則E/二A尸-4E=-AB—-AD

42

3—1/

=~CD--(AB^BC^CD——CD——（-CB-CD)=；CB-CD.

22、22、

故選：D.

7.已知非零向量〃./?滿足〃?（a+3b）=a?b.|d-2Z?|=|3d-b\，則向量a.b夾角的余弦

值為（）

A.@B.業(yè)C.—立D.一直

3663

【答案】C

【解析】由a?（〃+3Z?）=〃?〃，得a?=—2a/,

由Q-2/?='-/?,得。-2/?「=3。一/?|2,整理得儲一2〃.〃一3/?=0,

所以82=3/，則忖=旨同，

八ab\a\2G

設(shè)向量〃力的夾角為"則0°電麗=而商=一百.

故選：C.

8.為了測量A,B兩島嶼之間的距離，一艘測量船在。處觀測，A,B分別在。處的北偏西

15。、北偏東45。方向.再往正東方向行駛48海里至C處，觀測8在。處的正北方向，A

在C處的北偏西60。方向，則A,B兩島嶼之間的距離為（）

A.286海里B.28街海里

C.24囪海里D.24而海里

【答案】D

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

由題意知乙"X=105。，46=30。，CD=48,所以ND4C=45。，

設(shè)Z[=4+Z?iS，Z?wR）,則Z2=。一歷，所以Z[+z?=2〃為實(shí)數(shù)，B正確；

設(shè)4=a+/?ig,Z?wR）,則z；=（a+萬『+2a〃i,又z：<0,所以a=0,〃00,

所以Z是純虛數(shù)，C正確；

若Z1=l,z,=—,則滿足z：=z：,而Z[Wz,'D錯誤.

~22

故選：ABC.

11.在銳角VA3C中，內(nèi)角4伉。的對邊分別為則下列說法正確的是（）

A.sinA+sinB>cosA+cos8B.tanAtanB<l

C.sinA+sinB>lD.若川=訛,則角8的最大值為百

3

【答案】ACD

【解析】對于A,因?yàn)閂4BC是銳角三角形，所以所以四>4>3一8>0,

222

/\

所以sinA>sinB,所以sinA>cos8,同理可得sinB>cosA,

（2）

所以sinA+sinB>cosA+cos8,故A正確；

對于B,因?yàn)閂ABC是銳角三角形，所以cosC=cos[?！ˋ+B）]=-cos（A+B）>0,

所以cos（A+B）=8s4cos5-sinAsinB<0,

所以<:054<:053〈5M145出3,又85/1>0,cos8>0,

所以tanA?lan8>1,故B錯誤；

對于C,因?yàn)閂ABC是銳角三角形，所以A+B>=,所以色>A>二一8>0,

222

/、

兀

所以sinA>sin——B.

（2）

所以sinA+sin3>sin（四一3+sin>cosB+sinB=\[lsin[B+—,

U）\4；

又所以+學(xué)],sin（B+二]》也，

I2）4U4；[4）2

所以sinA+sin3>1,故C正確；

對于D,因?yàn)?s8:一+產(chǎn)一/=，+°2--n2訛一鼐一1,當(dāng)且僅當(dāng)。二c時等號成立，

2aclac2ac2

所以cosB的最小值為:，又8W（0,5]，所以角3的最大值為鼻，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.用斜二測畫法作一個水平放置的平行四邊形的直觀圖，若直觀圖是一個角為45。，邊

長為2的菱形，則原來的平行四邊形的面積為.

【答案】8

【解析】根據(jù)斜二測畫法可知，原來的平行四邊形為?個矩形，且該矩形的寬為2,長為4,

故原來的平行四邊形的面積為2x4=8,

故答案為：8.

13.已知向量a在向量匕上的投影向量〃二（一3,4）,且小2,則=____________.

【答案】±10

【解析】由題意知向量。在向量〃上的投影向量為〃=（-3,4）,

設(shè)/?=4〃=（一34,4九），由|%|=2,得（-32廠+（44）~=4,.二％=±w,

aZ?b-6T-Z?Au..i4

故一----=u,即HI-1-------=u?故。乃=一=±1（），

\b\\b\22義

故答案為：±10

14.已知VA8C中，ABAC+-BC2=\,則2AB+3C=；若點(diǎn)A氏。

4

都在圓。上，且,cj=3,AO?8C=1,則A8+AC與3c夾角的余弦值為.

【答案】2；

3

【解析】因?yàn)?所以A8AC+L（AC—A8『=1,

44、/

即4ABAC+AC-2AB?AC+加=4，

即AC2+2AC+AIf=4，

所以2/W+Bd=2AB+AC—AB=AB+AC

=J（AB+AC）2=\/AC2+2ABAC+AB2=4=2，

取8C的中點(diǎn)O,連接A。、OD,則OD_LBC,AO=g（AB+AC）,

所以40=AD+OO=，（A8+AC）+OO,

+4C）+QO

則AO-BC=BC=^AB+AC\BC+DOBC

=1（AB+AC）BC=1,

所以（A8+ACj-8C=2,

（AB+AC）BC

2

設(shè)與8c夾角為。，則COS8=

AB+AC[\BC2^33

即人8+AC與8c夾角的余弦值為g.

故答案為：2;1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知點(diǎn)4（1,2）,3（-23）,C（s2-/n）.

（1）若AC〃8C,求實(shí)數(shù)加的值；

（2）若ACJ,BC，求實(shí)數(shù)，〃的值.

解：（1）由題知，AC=（m-\-m\BC={m+2-m-\）.

若AC〃8C,則（/n-1）（一二一1）一（一加）（/n+2）=0,

解得機(jī)=-3，故實(shí)數(shù)加的值為一；.

（2）若AC_L6C，則（加一。（加+2）+（T力（t九-1）=0,整理得病+〃.1=0,

解得in=-]+&或m-—―-

22

16.已知〃zeR,復(fù)數(shù)z=2"z+3+（m-l）i.

（I）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求〃?的取值范圍;

（2）若z滿足z+3^=〃+4i，〃wR，求I號」的誼.

3+41

解：(1)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(2〃7+3,6-1),

2/n+3>03

由z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，得八，解得一一<w<l,

77?-1<02

3

所以加的取值范圍是一一<tn<\.

2

(2)依題意

z+3z=2m+3+[tn—l)i+3[2/??+3—(/??—l)i]=4(2〃？+3)—2(77z—l)i=nA-A\,

4(2m+3)=n

又見刀wR,則、?i\"，解得根=-1，〃=4,

-2(/7?-1)=4

n+im_4-i_(4-i)(3-4i)_8-19i_819.

3+4i-3+4i-(3+4i)(3-4i)-25一行一^

耐熬上所爐當(dāng)

17.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=2?，CD=瓜,cosA=當(dāng)，

cosZAZ)B=-

3

(1)求cosNBDC及A￡>的長度;

(2)求8c的長度.

解：(I)因?yàn)?B〃C￡),A8=2?，COSZADB=^,COSA=—,

33

所以sinA=Vl-cos2A=—，sinZ.ADB=Jl-cos?/ADB=

33

由于ZA+ZADB+ZABZ)=7t,又AB〃CD,：,/ABD=/BDC,

??.ZBDC=兀一(ZA+ZADB),

則cosZBDC=cos[兀-(ZA+Z4OB)]=-cos(ZA+ZADB)

=—cosN4cos/ADB+sinZ>4sinZAD^=—x--—xi=,

33339

???cos4BDC=cos/ABD=—，

9

____________5G

所以sinNABD=Vl-cos2ZABD=—

9

ADAB

在一ADB中，由正弦定理得

sinZABDsin/ADB

A。二2迎

所以5\/525/2，所以4)=5.

93

BD_2A/6

(2)在△A3。中，由正弦定理得出"=———可得正二寶，解得80=3.

sinAsinZADB

T丁

由于cosNB。。=直，CD=?

9

在△8CO中，由余弦定理可得BC=[CD?+BD?-2CDBD?cosNBDC

=^6+9-2xV6x3x手=而.

18.如圖，在直角梯形QA3C中，OA//CB,OALOC,OA=2BC=2OC=2,M為AB

上靠近點(diǎn)8的一個三等分點(diǎn)，Q為線段BC上的一個動點(diǎn).

(1)用OA和。乙表示OM；

(2)設(shè)O3=7C4+〃8,求％?〃的取值范圍.

1一2一

解：(1)依題意CB=二。A,AM=-AB,

23

???AM=-(0B-0A\=-(0C+CB\一一OA=-OC-^-OA--OA=-OC—OA,

3、,3、)333333

0M=0A+AM=0A+-OC--OA\=-OA+-OC

(33J33

(2)由已知08=0C+CB=0C+，0A,

2

因P是線段8C上動點(diǎn)，則令CP=xOA0<x<-,

O6=/IC4+〃O尸=/L（OA-OC）+〃（OC+CP）=（/l+〃x）OA+（"-2）OC,

//-2=12=//-1

又。C，0A不共線，根據(jù)平面向量基本定理，則有《

A+^x=-

2+2x

133

0<x<—=>l<x+l<—=>l<//<—,

222

Ii「3

4?〃二〃（〃-1）=（〃一彳）2-7在〃W1,-上遞增，

24.2.

33

所以〃=1，（4.〃）min=。，A=-?（^,ZZ）nm=T?

乙■

故4?4的取值范圍是0；.

4

19.在銳角VABC中，角ARC所對的邊分別為。，b,c,且滿足.

請從條件①、條件②中選擇一個條件補(bǔ)充至橫線處，并解決下列問題：

條件：①c+/?=2acosB；②a（cos8-cosC）=（〃+c）cosA.

（1）證明：A=2B；

311

（2）若/R4C的平分線交BC于O,AD=\，sinB=三，求二十一的值；

5bc

（3）求色的取值范圍.

注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計(jì)分.

解：（1）若選①：因?yàn)閏+b=2acosB,由正弦定理得sinC+sin8=2sinAcosB,

因?yàn)閟inC=sin（A+A）=sinAcos5+cosAsinB,

所以sinAcos3+cosAsinB+sinB=2sinAcosB,

所以sin6=sinAcosb-cosAsin3