第12講概率與統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)題型全歸納

內(nèi)容導(dǎo)航

符串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

B復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

知識(shí)點(diǎn)01分層隨機(jī)抽樣

1、分層隨機(jī)抽樣的必要性

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能出現(xiàn)比較“極端”

的樣本，從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的偏差，這時(shí)候我們可以考慮采用一種新的抽樣方法一分層隨機(jī)抽樣。

2、分層隨機(jī)抽樣的概念

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總

體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為

分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.

3、比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為

比例分配，即：

樣本中第n層的個(gè)體數(shù)樣本容量

(1)-----------------------------------------二----------

總體中第n層的個(gè)體數(shù)總體容量

，八總體中第m層的個(gè)體數(shù)樣本中第m層的個(gè)體數(shù)

總體中第n層的個(gè)體數(shù)樣本中第n層的個(gè)體數(shù)

4、分層隨機(jī)抽樣使用的原則

（1）將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原

則；

（2）分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層

個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.

5、分層隨機(jī)抽樣的步驟

（1）分層：按某種特征將總體分成若干部分（層）；

777?

（2）求比：抽樣比k=京；

（3）定數(shù)：按抽樣比確定每層抽取的個(gè)體數(shù)；

（4）抽樣：每層分貝按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本

（5）成樣：綜合各層抽樣，組成樣本。

知識(shí)點(diǎn)02分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算

1、總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)的計(jì)算

在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N,抽樣的樣本容量分別

為加和〃，第1層、第2層的總體平均數(shù)分別為文和歹，第1層、第2層的樣本平均數(shù)分別為最和亍，總

體平均數(shù)為琳，樣本平均數(shù)為石，則

—MX+NYM—N-

（1）W=----------=--------X+—-—Y

M+NM+NM+N

—mx+nym-n—

（2）a>=---------=------x+-------y

m+nm+nm+n'

2、用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)

由于第1層的樣本平均數(shù)最可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)又，用第2層的樣本平均數(shù)7可以估計(jì)第2層的

總體平均數(shù)P,因此可以用=上_[+」亍估計(jì)總體平均數(shù)m.

M+NM+NM+N

在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，一=一二------，

MNM+N

-,.M-N—m-n——

所rr以------九+-------y=-------x+-------y=co

M+NM+Nm+nm+n

因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)石估計(jì)總體平均數(shù)為

知識(shí)點(diǎn)03頻率分布直方圖

1、頻率分布直方圖

（1）列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟:

①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差;

極差

②決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少分成5~12組，且組距=

③將數(shù)據(jù)分組：通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；

也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組.

④列頻率分布表：對(duì)落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率.

頻率

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖。

而

（2）頻率分布直方圖的特點(diǎn):

頻率

①小長(zhǎng)方形的面積=組距Xwl=頻率,

②個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于1,

篇’所有小長(zhǎng)方形的高的和=磊-

③小長(zhǎng)方形的高=

（3）頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來(lái)，就得到頻率分布折線圖,

一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒(méi)有實(shí)際意義.

（4）總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，

頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線y=/（x）來(lái)描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.

總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.

2、根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

（1）頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”：因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布

直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.

（2）頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”：根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也

就有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該

相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值。

（3）頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”：根據(jù)眾數(shù)的意義，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(gè)（些）點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。一般用中點(diǎn)近似值代替。

知識(shí)點(diǎn)04總體百分位數(shù)的估計(jì)

1、第p百分位數(shù)的定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%

的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100—P）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

2、計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i=〃xp%.

第3步，若，不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為則第°百分位數(shù)為第J項(xiàng)數(shù)據(jù)；

若i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

知識(shí)點(diǎn)05總體集中、離散趨勢(shì)的估計(jì)

1、相關(guān)概念

（1）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；

（2）中位數(shù)：將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則最中間的數(shù)據(jù)為中位數(shù),

若樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。

（3）平均數(shù)：設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為為，々，…，相，則樣本的算術(shù)平均數(shù)為7='+%+…+玉；

2、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越

平均數(shù)

信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大

不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或靠后的數(shù)

中位數(shù)對(duì)極端值不敏感

據(jù)）的影響

眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值

眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)

不敏感

3、平均數(shù)相關(guān)結(jié)論：

①如果兩組數(shù)再,*2,…，X"和M，必,…，然的平均數(shù)分別是元和y，則一組數(shù)為+%，…，X”+M的平均數(shù)

是亍+y；

②如果一組數(shù)玉,馬，…,的平均數(shù)為無(wú)，則一組數(shù)版”也,…，如的平均數(shù)為反。

③如果一組數(shù)占,馬，…，%的平均數(shù)為無(wú)，則一組數(shù)為+。,工2%+。的平均數(shù)為元+。

4、用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差

（1）數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述；

（2）極差（又叫全距）是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動(dòng)幅度；

（3）樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。?/p>

一般地，設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為占,斗，…，當(dāng)，樣本的平均數(shù)為了，

（X]—X）2+（尤2--X）24-----卜（X—X）2

定義樣本方差為S21t

n

簡(jiǎn)化公式：s~=—[（X；+X?4---FX"）—nx-]=—（X；+X：4---卜X；）—X~

nn

（方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方）

（4）樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=卜一?。?…szo.

Vn

標(biāo)準(zhǔn)差越大數(shù)據(jù)離散程度越大，數(shù)據(jù)家分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)周圍.

（5）方差相關(guān)結(jié)論：

①如果一組數(shù)國(guó),馬,…,當(dāng)?shù)姆讲顬閟?,則一組數(shù)占+“,9+4,…，尤“+。的方差為S?;

②如果一組數(shù)玉,馬,…，毛的方差為則一組數(shù)句,3,…，何，的方差為上2s2。

知識(shí)點(diǎn)06事件的關(guān)系和運(yùn)算

1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A與事件2不能同時(shí)發(fā)生,

也就是說(shuō)APB是一個(gè)不可能事件，即APB=0,

則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）

2、互為對(duì)立：一般地，如果事件A與事件8在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,

即AUB=O,且ADB=0,那么稱事件A與事件8互為對(duì)立.

事件A的對(duì)立事件記為彳

3、包含關(guān)系：一般地，若事件A發(fā)生，則事件2一定發(fā)生，

我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,

即B叫或AQB）,

特殊情形：如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B2A且AQB,

則稱事件A與事件3相等，記作

4、并事件（和事件）：一般地，事件A與事件2至少有一個(gè)發(fā)生，

這樣的事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，

則稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）AUB（或A+B）

5、交事件（積事件）：一般地，事件A與事件2同時(shí)發(fā)生,

這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，

則稱這樣的事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)ACB(或AB)

知識(shí)點(diǎn)07古典概型

1、古典概型的定義

我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

2、古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)

一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有限性和等可能性.并不是所

有的試驗(yàn)都是古典概型.

3、古典概型的概率計(jì)算公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間A包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的七個(gè)樣本點(diǎn)，則定義

事件A的概率P(A)=X=4聚，其中，"(A)和"(C)分別表示事件A和樣本空間。包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

知識(shí)點(diǎn)08概率的基本性質(zhì)

1、概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有尸(A)>0.

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即尸(0)二1,

尸(0)=0.

性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(4U3)=尸(A)+P(B).

推廣：如果事件4,A2,A,,,.兩兩互斥，那么事件

AU42U-UAm發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率

之和,即P(4U4U…U4)=P(Ai)+P(A2)+...+P(Am).

性質(zhì)4如果事件A與事件3互為對(duì)立事件，那么尸(B)=1-P(A),

P(A)=1-P(B).

性質(zhì)5如果4U3,那么P(A)<P(B).

性質(zhì)6設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(4UB)=尸

(A)+P(B)-P(4AB).

2、復(fù)雜事件概率的求解策略

(1)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是

這些簡(jiǎn)單事件的概率的和.

(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，常?？紤]其對(duì)立事件，通過(guò)求其對(duì)立事件的概率，

然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題.

注：概率的一般加法公式尸(AUB)=P(A)+尸(3)一尸(AnB)中，易忽視只有當(dāng)即A,8互斥時(shí)，

P(AUB)=P(A)+P(B),此時(shí)P(AnB)=O.

知識(shí)點(diǎn)09事件的相互獨(dú)立性

1、定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果尸(AB)=P(A)P(5)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為

獨(dú)立.

概念理解：(1)事件A與B相互獨(dú)立式事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，事件B的發(fā)生不影響事

件A發(fā)生的概率；

(2)由連個(gè)事件相互獨(dú)立的定義，容易驗(yàn)證必然事件Q、不可能事件。都與任意事件相互獨(dú)立，這是因?yàn)?/p>

必然事件Q總會(huì)發(fā)生，不會(huì)受任何事件是否發(fā)生的影響；同樣不可能事件0總不會(huì)發(fā)生，也不會(huì)受任何事

件是否發(fā)生的影響，當(dāng)然他們也不影響其他事件是否發(fā)生。

2、性質(zhì)：如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則A與耳，可與3,可與方也都相互獨(dú)立。

3、兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法：事件A與事件8相互獨(dú)立，則尸(A5)=尸(A)尸(5)

4、推廣：兩個(gè)事件的相互獨(dú)立可以推廣到“(〃〉2,〃eN*)個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件A，4,…，4相

互獨(dú)立，則這〃個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率尸(44…A)=P(4)尸(&)…尸(A)

知識(shí)點(diǎn)10判斷事件是否相互獨(dú)立的方法

1、直接法：若事件A的發(fā)生對(duì)事件2的發(fā)生概率沒(méi)有影響，反之亦然，則這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，這是

從定性的角度進(jìn)行判斷。

2、公式法：若對(duì)兩事件A,B有P(AB尸P(A)P(B),則事件A,B相互獨(dú)立.

用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟：

(1)用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件；

(2)根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；

(3)將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足

相互獨(dú)立)；

(4)利用乘法公式計(jì)算概率.

知識(shí)點(diǎn)11相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式

已知兩個(gè)事件A,3相互獨(dú)立，它們的概率分別為尸(A),P(B),則有

事件表示概率

A,B同時(shí)發(fā)生AB尸⑷尸⑻

A,B都不發(fā)生~ABP(A)P(B)

A,B恰有一個(gè)發(fā)生(AB)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,B中至少有一個(gè)發(fā)生(AB)U(AB)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,8中至多有一個(gè)發(fā)生(AB)U(AB)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

>>>核心考點(diǎn)舉一反三<<<

【考點(diǎn)一：分層隨機(jī)抽樣】

一、單選題

1.（24-25高一下?甘肅蘭州?期中）一個(gè)公司共有名210員工，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個(gè)

容量為30的樣本.已知某部門有70名員工，那么從這一部門抽取的員工人數(shù)為（）

A.9B.6C.10D.8

2.（24-25高一下?甘肅張掖?期中）某學(xué)校有教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的

方法從全體師生中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為50,則〃的值為（）

A.100B.120C.150D.180

3.（24-25高一下?河南周口?月考）某校高一年級(jí)共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試

結(jié)束后，學(xué)校采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為〃的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，則

n=（）

A.20B.30C.40D.48

4.（23-24高一上?浙江杭州?期中）某中學(xué)高一學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，現(xiàn)獲得全體學(xué)

生的身高信息，采用樣本量比例分配的分層抽樣方法，抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本

均值為171cm,方差為29cm2；女生身高樣本均值為161cm,方差為19cm下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.男生樣本容量為30B.每個(gè)男生被抽入到樣本的概率均為'

C.所有樣本的均值為167cmD.所有樣本的方差為45cm2

二、填空題

5.（23-24高一下.福建福州?期末）某學(xué)校高一年級(jí)男生共有490人，女生共有510人，為調(diào)查該年級(jí)學(xué)生

的身高情況，通過(guò)按比例分配的分層抽樣，得到男生和女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為和

若工=兀,S；=20&=30,則該校高一年級(jí)全體學(xué)生身高的方差為.

【考點(diǎn)二：頻率分布直方圖】

一、多選題

1.（24-25高一下?浙江金華?期中）飲料瓶的主要成分是聚對(duì)苯二甲酸乙二醇酯，簡(jiǎn)稱“PET”.隨著垃圾分

類和可持續(xù)理念的普及，飲料瓶作為可回收材料的“主力軍”之一，得以高效回收，獲得循環(huán)再生，對(duì)于可持

續(xù)發(fā)展具有重要意義，上海某高中隨機(jī)調(diào)查了該校某兩個(gè)班（A班，8班）5月份每天產(chǎn)生飲料瓶的數(shù)目（單

位：個(gè)），并按[10,20）,[20,30）/30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70]分組，分別得到頻率分布直方圖如下：下列

瓶數(shù)（個(gè)）瓶數(shù)（個(gè)）

4班5班

A.A班該月平均每天產(chǎn)生的飲料瓶個(gè)數(shù)估計(jì)為41

B.3班5月產(chǎn)生飲料瓶數(shù)的第75百分位數(shù)%=一

C.已知該校共有學(xué)生1000人，則約有150人5月份產(chǎn)生飲料瓶數(shù)在[40,50）之間

D.m=0.025

2.（2025?四川自貢?三模）為了解本地區(qū)居民用水情況，甲、乙兩個(gè)興趣小組同學(xué)利用假期分別對(duì)A、B兩

個(gè)社區(qū)隨機(jī)選擇100戶居民進(jìn)行了“家庭月用水量”的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，利用調(diào)查數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖

（如圖所示）.甲組同學(xué)所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差分別記為卬、4、4、1，乙組同學(xué)所

得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差分別記為電、馬、月、S?.則下列判斷正確的有（）.

A.且玉＜龍2.B.4＜仇且S1＞S2.

C.為且。2=馬.D.仿＜/＜占.

二、解答題

3.（24-25高一下?吉林長(zhǎng)春?月考）為增強(qiáng)市民節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者，現(xiàn)從符

合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示：

分組（單位：歲）頻數(shù)頻率

[20,25)50.05

[25,30)?0.20

[30,35)35②

[35,40)300.30

[40,45)100.10

總計(jì)1001.00

（1）頻率分布表中的①②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？

（2）補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖，再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30,35）歲的人數(shù);

（3）現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣從[30,35）、[35,40）、[40,45）的樣本中共抽取“名志愿者，已知從[40,45）中

抽取了2人，求w的值.

4.（24-25高一下?廣西貴港?月考）為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了一

個(gè)容量為100的樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：mm）,并將數(shù)據(jù)分為

[92,94）,[94,96）,[96,98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,[104,106]七組,其頻率分布直方圖如圖所

小.

(1)求圖中的尤值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，用分層隨機(jī)抽樣的方法從［94,96),［100,102)兩個(gè)區(qū)間共抽取出7個(gè)產(chǎn)品，則每個(gè)

區(qū)間分別應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品；

(3)記產(chǎn)品尺寸在［98,102)內(nèi)為A等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在［92,94)內(nèi)為不合格品，每件虧損2元;

其余為合格品，每件可獲利3元.若該工廠一個(gè)月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品，以樣本的頻率代替總體在各組的頻

率，若單月利潤(rùn)未能達(dá)到10000元，則需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.試判斷是否需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)

施升級(jí)改造.

5.(24-25高一下?云南昆明?期中)云南師大附中在組織選拔數(shù)學(xué)英才班的過(guò)程中，對(duì)高一年級(jí)的300名學(xué)

生進(jìn)行了一次測(cè)試.已知參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)占0=1,2,…,300)全部介于45分到95分之間，學(xué)校將

所有分?jǐn)?shù)分成5組：［45,55),［55,65),…，［85,95］,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(同組數(shù)據(jù)以這

組數(shù)據(jù)的中間值作為代表).

(1)求機(jī)的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值了；

(2)學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔首100名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計(jì)這100名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)(計(jì)算結(jié)果

保留一位小數(shù))；

⑶試估計(jì)這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)%(i=1,2,…,300)的方差$2,并判斷此次得分為63分和86分的兩名同學(xué)的成

績(jī)是否進(jìn)人到了氏-s,元+s］范圍內(nèi)？

1n_____

(參考公式：s?=—￡力(X,-可一，其中力為各組頻數(shù)，參考數(shù)據(jù)：^/^29?11.4).

〃/=1

6.(24-25高一下?江西撫州?期中)某地舉辦了“防電信詐騙”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為

樣本，將樣本的成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：［40,50),［50,60),…，［90,100］,

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中。的值及樣本成績(jī)的第80百分位數(shù)；

（2）已知落在區(qū)間[50,60）的樣本平均成績(jī)是57,方差是7,落在區(qū)間[60,70）的樣本平均成績(jī)?yōu)?6,方差是4,

求兩組樣本成績(jī)合并后的平均數(shù)三和方差52.

參考公式：若總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：加，

尤，s；；n,y,s；記總的樣本平均數(shù)為石，樣本方差為S2,則s2=±^[s；+（元一寸卜小;+仃一時(shí)2]].

【考點(diǎn)三：總體百分位數(shù)的估計(jì)】

一、單選題

1.（23-24高一下.山東淄博?期末）已知一組數(shù)據(jù)2,3,4,1,5,則其上四分位數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24高一下.西藏拉薩.期末）如圖所示，某市5月1日到10日PM”日均值（單位：ug/m3）變化的

折線圖，則該組數(shù)據(jù)的第54百分位數(shù)為（）

「日均值/（fxg/n?）

.................................................?

U12345678910日期

A.45B.48C.60D.80

3.(24-25高一上?河南南陽(yáng)?期末)將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：7,8,13,15,17,18,

18,a,25,27,若該組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是19,則。=()

A.20B.21C.23D.24

4.（23-24高一下.天津南開(kāi).月考）某校舉辦了數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分,

成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

頻率/組距

a

o405060708090100成績(jī)/分

①a的值為0.005

②估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75

③估計(jì)這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60

④估計(jì)成績(jī)高于80分的有300人

A.1B.2C.3D.4

5.（23-24高一下?新疆伊犁?期末）某校高一年級(jí)一共有1500名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，已知所有學(xué)生成績(jī)的

第70百分位數(shù)是92分，則數(shù)學(xué)成績(jī)不小于92分的人數(shù)至少為（）

A.420B.350C.450D.400

二、填空題

6.（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）某地區(qū)為了解最近11天該地區(qū)的空氣質(zhì)量，調(diào)查了該地區(qū)過(guò)去11天小

顆粒物的濃度（單位：ng/m3）,數(shù)據(jù)依次為53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,根（〃?>50）.已知這組數(shù)據(jù)的極

差為40,則這組數(shù)據(jù)的第加百分位數(shù)為.

【考點(diǎn)四：平均數(shù)、方差等數(shù)據(jù)特征的計(jì)算】

一、單選題

1.（24-25高一下?廣西貴港?月考）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)，為了解講座效果,

隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講

座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如圖，則（）

“正確率

100%

95%---------------------------------------?--------------*

90%——-*---------------*--------------*

85%-----------9----------------9----?----------------------、

80%-----------------?---------------------------------*-----*1巫刖

75%----------------------------------*----------------------?講座后

70%-----------------*---------------------------------------

65%----------------------------*-

60%；---------------------*----------------------------------

o―i34）：：：：：6凳民編號(hào)

A.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

B.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

C.講座后問(wèn)卷答題的正確率的70百分位數(shù)是90%

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

12345678910

講座前65%60%70%60%65%75%90%85%80%95%

講座后90%85%80%90%85%85%95%100%85%100%

2.（24-25高一下?廣西桂林?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)玉,馬，…,x”的平均數(shù)為3,方差為4,則數(shù)據(jù)

3玉+1,3%+1,…,3x“+1的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.12B.3A/3C.6D.36

3.（24-25高一上?河南南陽(yáng)?月考）已知一個(gè)樣本容量為10的樣本平均數(shù)為5,方差為1.6.現(xiàn)將樣本中的3

個(gè)數(shù)據(jù)4,5,6去掉，則去掉后剩余樣本容量為7的樣本平均數(shù)了和5?是（）

A.5,1B.5,2C.5,3D.4,3

4.（24-25高一下?安徽宿州?期中）已知互不相等的一組數(shù)占,馬,%%,毛，/，馬,看的平均數(shù)為％,方差為s；,

右匕,%,%,%的方差為,則（）

A.s；＞s；B.s；=s；

C.s：＜s；D.s；與s；的大小關(guān)系不確定

5.（2025高一?全國(guó)?專題練習(xí)）已知5名籃球運(yùn)動(dòng)員在某場(chǎng)比賽中的得分均為個(gè)位數(shù)，且平均數(shù)、中位數(shù)

和極差均為6,則當(dāng)方差取最大值時(shí)，這組得分的第60百分位數(shù)是（）

A.6B.6.5C.7D.7.5

二、多選題

6.（24-25高一下?浙江寧波?期中）亞運(yùn)會(huì)期間，寧波市要選拔射擊運(yùn)動(dòng)員參加比賽，已知射擊標(biāo)靶的環(huán)數(shù)

是0至IJ10環(huán)，若要求連續(xù)10次射擊均不小于7環(huán).下面是四位選手各自連續(xù)10次的射擊情況的數(shù)據(jù)特征,

其中肯定能通過(guò)選拔的是（）

A.甲選手：平均數(shù)為8,眾數(shù)為7B.乙選手：平均數(shù)為9,方差為1

C.丙選手：中位數(shù)為7,眾數(shù)為8D.丁選手：中位數(shù)為9,極差為2

7.（24-25高一下?四川廣安?月考）已知數(shù)據(jù)4尤2,的平均數(shù)為10,方差為1,且y=2x,+4（i=l,2,…,6）,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)%,為，…，%的方差為4；

B.數(shù)據(jù)%,當(dāng)，…,％的平均數(shù)為24；

C.數(shù)據(jù)王，9，…，％』。的平均數(shù)為10,方差大于1；

D.若數(shù)據(jù)再,工2,…，%的中位數(shù)為小，75%分位數(shù)為〃，則相4〃.

8.（23-24高一下?安徽阜陽(yáng)?期末）已知樣本數(shù)據(jù)占,馬一”＜），必，為，…%。，則下列命題正確的是（）

A.該樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為叢要

B.若該樣本數(shù)據(jù)的方差1=0,則％=W=…=%=%=%=…二加

C.數(shù)據(jù)%,與…，和分別為L(zhǎng)L2,2,2,0,3,3,2,4,若數(shù)據(jù)%,為，…，加滿足％=5%+10（，=1,2,…,10）,則數(shù)

據(jù)加的平均數(shù)為20

D.若玉,馬,…,占。的平均數(shù)為無(wú)，方差為s：；%,%，…，加的平均數(shù)為平方差為學(xué)，樣本的平均數(shù)為而，

則樣本的方差為$2=[.+（元一/）2]+[s；+（'—5）」

2

【考點(diǎn)五：事件的關(guān)系與運(yùn)算】

一、多選題

1.（24-25高一上?河南信陽(yáng)?期末）袋子中有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)黃球，從中

不放回依次摸出2個(gè)球，記A="恰有一次摸到紅球"，3="兩次都摸到紅球”，C="兩次都摸到黃球”，3="至

少有一次摸到紅球”，上="至多一次摸到紅球”.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.事件A與事件B是互斥事件B.事件8與事件C是對(duì)立事件

C.事件C與事件。是對(duì)立事件D.事件。與事件E是互斥事件

2.（24-25高一下?河南駐馬店?月考）某同學(xué)參加3次不同測(cè)試，用事件J,（i=L2,3）表示隨機(jī)事件“第

i（i=l,2,3）次測(cè)試成績(jī)及格”，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.，U4表示前兩次測(cè)試成績(jī)中有且僅有一次及格

B.項(xiàng)工表示后兩次測(cè)試成績(jī)均不及格

c.4n4n4表示三次測(cè)試成績(jī)均及格

D.ZnZn衛(wèi)表示三次測(cè)試成績(jī)均不及格

3.（23-24高一下.河南開(kāi)封.期末）已知P（A）=0.5,P（3）=0.3,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.如果那么尸（Au3）=0.5B.如果3U那么尸（鈣）=0.3

C.如果A,8互斥，那么P（Au3）=0.8D.如果A,8互斥，那么P（AB）=0.15

4.（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）（多選）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，記事件

A="兩次都擊中飛機(jī)”，事件5="兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)"，事件C="恰有一次擊中飛機(jī)”，事件。="至少有一

次擊中飛機(jī)”，則（）

A.A^DB.BD=0

C.A+C=DD.A+C=B+D

5.（23-24高一下?福建福州?期末）從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”是互斥而不對(duì)立的事件

B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”不是互斥事件

C.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而且是對(duì)立的事件

D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”是對(duì)立事件

6.（23-24高一上.廣東佛山?月考）設(shè)A、B為兩個(gè)互斥的事件，且尸（A）＞0,P（B）＞Q,則下列各式正確

的是（）

A.P（AU3）=P（A）+P（3）B.P（AUB）=P（A）+P（B）

C.P（AB）=OD.P（AB）=1-P（A）-P（B）

【考點(diǎn)六：古典概型】

一、單選題

1.（24-25高一上?江西?期末）某汽車站每天均有3輛開(kāi)往省城的分為上、中、下等級(jí)的客車，發(fā)車順序隨

機(jī)，某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車前往省城辦事，他先放過(guò)第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛,

否則上第三輛，則他沒(méi)有乘坐下等車的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

4326

2.（24-25高一上?遼寧鞍山?期末）如圖是易書中的八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦

由三根線組成（—表示一根陽(yáng)線，■■表示一根陰線），傳說(shuō)萊布尼茲據(jù)此發(fā)明了二進(jìn)制計(jì)數(shù)法.從八

卦中任取兩卦，這兩卦中陽(yáng)線數(shù)量之和為4的概率是（）

3.（24-25高一下?全國(guó)?單元測(cè)試）已知集合4={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5},從集合A中任取3個(gè)不同的元

素，其中最小的元素用a表示，從集合B中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素用6表示，記X=6-a,

則尸（X=3）等于（）

4.（24-25高一上?廣東?期末）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每次等可能地向左或

向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)4次，則質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè)的概率為（）

-5-4-3-2-1612345

二、解答題

5.（24-25高一下?江西贛州?期中）近兩年，在AI概念的加持下，AR（增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)）眼鏡、AI（人工智能）

眼鏡、VR（虛擬現(xiàn)實(shí)）眼鏡、音頻眼鏡等智能眼鏡迎來(lái)高光時(shí)刻，已知2024-2027年中國(guó)智能眼鏡市場(chǎng)規(guī)

模統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及預(yù)測(cè)（單位：億元）依次為5,15,47,112,249,478.

（1）求這6個(gè)數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)及平均數(shù)；

（2）從這6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù)，求取到的2個(gè)數(shù)據(jù)都小于這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的概率.

6.（24-25高一下?全國(guó)?單元測(cè)試）爸爸和亮亮用4張撲克牌（方塊2,黑桃4,黑桃5,梅花5）玩游戲，

他倆將撲克牌洗勻后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回.

⑴若爸爸恰好抽到了黑桃4.

①請(qǐng)把下面這種情況的樹狀圖繪制完整；

爸爸抽出亮亮抽出處里

的撲克的撲克-米

方2（黑4,方2）

黑41

②求亮亮抽出的撲克的牌面數(shù)字比4大的概率.

（2）爸爸、亮亮約定，若爸爸抽出的撲克的牌面數(shù)字比亮亮的大，則爸爸勝；反之，則亮亮勝.你認(rèn)為這個(gè)

游戲是否公平？如果公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不公平，更換一張撲克牌使游戲公平.

7.（24-25高一下?江西景德鎮(zhèn)?期中）有甲、乙兩個(gè)盒子，其中甲盒中裝有四張卡片，分別寫有：奇函數(shù)、

偶函數(shù)、增函數(shù)、減函數(shù)，乙盒中也裝有四張卡片，分別寫有函數(shù)：＜（尤）=尤②，力（x）=r+l,&（?=&，

力㈤」.

X

（1）若從乙盒中任取兩張卡片，求這兩張卡片上的函數(shù)的定義域不同的概率；

（2）若從甲、乙兩盒中各取一張卡片，乙盒中的卡片上的函數(shù)恰好具備甲盒中的卡片上的函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，則

稱為一個(gè)“奇遇”，現(xiàn)從兩盒中各取一張卡片，求它們恰好“奇遇”的概率.

8.（24-25高一上?江西?期末）古人云：“腹有詩(shī)書氣自華為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書香中國(guó)，校園讀書活

動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取〃名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，

統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書時(shí)間（單位：h）的數(shù)據(jù)如下：

一周課外讀書時(shí)間合

(0,2](2,4]（4，可（6岡(8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

/h計(jì)

頻數(shù)4610121424a4832n

頻率0.020.030.050.060.070.120.25P0.161

（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求。，。，〃的值，學(xué)校將對(duì)讀書時(shí)間更長(zhǎng)的前25%的同學(xué)授予“讀書積極分子”稱

號(hào)，請(qǐng)估算至少一周課外讀書時(shí)間多長(zhǎng)時(shí)，才能獲得此榮譽(yù).

（2）如果讀書時(shí)間按（0,6］,（6,12］,（12,18］分組，用分層抽樣的方法從〃名學(xué)生中抽取20人.

①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；

②若從（0,6］,（6,12］中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人，求這2人不在同一層的概率.

9.（24-25高一下?遼寧葫蘆島?月考）為了加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，某校高一年級(jí)特命制了一套與數(shù)學(xué)文化

有關(guān)的專題訓(xùn)練卷（滿分100分），并對(duì)整個(gè)高一年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取

了50名學(xué)生的成績(jī)（單位：分）,按照［50,60）,［60,70）,…，［90,100］分成5組,制成了如圖所示的頻率

分布直方圖.（假設(shè)每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分）.

（1）求頻率分布直方圖中x的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）用樣本估計(jì)總體，若高一年級(jí)共有2000名學(xué)生，試估計(jì)高一年級(jí)這次測(cè)試成績(jī)不低于75分的人數(shù)；

（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取3人參加這

次考試的質(zhì)量分析會(huì)，試求成績(jī)?cè)冢?0,80）的學(xué)生至多有2人被抽到的概率.

【考點(diǎn)七：概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用】

一、單選題

1.（24-25高一下?全國(guó)?單元測(cè)試）若"AU"'發(fā)生（4B中至少有一個(gè)發(fā)生）的概率為0.6,則彳，豆同

時(shí)發(fā)生的概率為（）

A.0.6B.0.36C.0.24D.0.4

12

2.（24-25高一上?山東濰坊?期末）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)互斥事件，且尸（A）=5,尸（3）=y,則

尸（A+B）=（）

A.-B.-C.—D.-

63103

3.（24-25高一上?北京?期末）2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科

技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為“高性能服務(wù)器芯片鰻鵬920”、清華大學(xué)“面向通用

人工智能的異構(gòu)融合天機(jī)芯片”、特斯拉“全自動(dòng)駕駛芯片”、“思元270”、賽靈思“私"出自適應(yīng)計(jì)算加速平

臺(tái)”.現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不

影響，則至少有1名學(xué)生選擇的成果屬于芯片領(lǐng)域的概率為（）

.89c2八8「19

A.—B.—C.—D.—

91912727

4.（24-25高一上?廣東佛山?月考）本周末為校友返校日，據(jù)氣象統(tǒng)計(jì)資料，這一天吹南風(fēng)的概率為20%,

下雨的概率為30%,吹南風(fēng)或下雨的概率為35%,則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（）

A.30%B.15%C.10%D.6%

二、多選題

5.（23-24高一下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期末）已知事件兩兩互斥，若

1Q9

P（A）=-,P（AuB）=-,P（AuC）=-,則（）

117

A.jB.P（C）=-C.P（BUC）=-D.尸（3cC）=0

6.（23-24高一下?湖南懷化?期末）設(shè)A,8是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知P（A看）=P（函）=:,P（A+B）=|,則

（）

111一一1

A.P（A）=-B.尸（8）=5C.P（AB）=^D.P（AB）=-

【考點(diǎn)八：相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算與綜合應(yīng)用】

一、單選題

1.（24-25高一下?江西撫州?月考）如圖，用ABC。四個(gè)不同的元件連接成一個(gè)工作系統(tǒng)，當(dāng)元件A正

常工作，且8,CO三個(gè)元件中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，該系統(tǒng)正常工作.已知元件A正常工作的概率為之，

元件民正常工作的概率均為;，且這四個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（）

D

.23c19八23r19

A.—B.—C.—D.—

54542727

2.（24-25高一下?江西?月考）甲、乙、丙3名射擊手組隊(duì)完成一項(xiàng)任務(wù)，需要對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，3

人命中與否互不影響，若甲命中乙未命中的概率為J,乙命中丙未命中的概率為:，甲命中丙也命中的概

00

3

率為g,則甲命中乙也命中的概率為（）

O

A.—B.—C.—D.一

2412