2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(精講)

考點(diǎn)歸納

①對數(shù)式的化簡與求值

期寸數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

③解對數(shù)方程與不等式

④對數(shù)型復(fù)合函數(shù)

⑤對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

一、必備知識整合

一、對數(shù)式的運(yùn)算

(1)對數(shù)的定義：一般地，如果a、=N(a>0且。工1),那么數(shù)X叫做以〃為底N的對數(shù)，記作x=log〃N,讀

作以。為底N的對數(shù)，其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見對數(shù)：

①一般對數(shù)：以。色>。且。工1)為底，記為log：,讀作以。為底N的對數(shù)；

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③目然對數(shù)：以“為底，記為InN；

(3)對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①bg：=0；log：=l；其中〃>0且。工1；②"陵=N(其中〃>0且。工1,N>0)；

③對數(shù)換底公式：log3=普2;④log.(MN)=log?M+log“N；

log,“

⑤log”鼻=log(4M一logaN；?logh"="log”h(in,neR)；

Nm

⑦，唱加=b和log.ah=b；⑧l(xiāng)og”b=—；

log/

二、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

（1）對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)），=1。8,/（。>。且。工1）叫做對數(shù)函數(shù).

對數(shù)函數(shù)的圖象

a>\0<a<\

、x=\

圖象1\:(h0)

O八(1,0)X

定義域：（。，+8）

值域：R

性質(zhì)過定點(diǎn)（1，。），即工=1時(shí)，y=o

在（0,+8）上增函數(shù)在（0,+8）上是臧函數(shù)

當(dāng)Ovxvl時(shí)，”。當(dāng)xNl時(shí)，y"當(dāng)Ovxvl時(shí)，y>o,當(dāng)工之1時(shí)，y<0

常用結(jié)論

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近x軸；當(dāng)Ova<l時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象隨

a的增大而遠(yuǎn)離x軸.（見下圖）

“增大

。增大

二、考點(diǎn)分類精講

【邈型一對數(shù)式的化簡與求值】

對數(shù)運(yùn)算的一般思路

①利用*=NT2=k）gaM〃>0，且存1）對題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

轉(zhuǎn)化

②利用換底公式化為同底數(shù)的對數(shù)運(yùn)算

恒等式注意k>g“l(fā)=0,log(/=N,alog/=N的應(yīng)用

拆分將真數(shù)化為積、商或底數(shù)的指數(shù)零形式，正用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡

將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)形式，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法

合并

貝L轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、嘉的運(yùn)算

【典例1］（23-24高三上?廣東湛江?階段練習(xí)）計(jì)算:

（1）1嗚：+愴25+恒4+7畸2；

（2）|lg2）2+lg21g50+lg25.

【典例2】（單選題）（2024.云南楚雄.一模）垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、投放和搬運(yùn)，

從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù).已知某種垃圾的分解率以與時(shí)

間，（月）近似滿足關(guān)系u=a4（其中〃、人為正常數(shù)），經(jīng)過5個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%,經(jīng)過10個(gè)

月，這種垃圾的分解率為20%,則這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過（）個(gè)月（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3）

A.20B.22C.24D.26

■題型詞練■

一、單選題

1.（2024?河南開封?三模）已知。咋94=1,則2-“=（）

2.（2024?山東聊城.二模）已知函數(shù)〃同為~上的偶函數(shù)，且當(dāng)大>0時(shí)，/（力=1陶］-1,則,/'Q=（）

2「12、2

A.一B.—C.D.-

3333

3.(2024?青海?模擬預(yù)測)若a=log?5,5"=6,則岫-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

4.（2024?北京昌平?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種

【題型二對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)】

觸類旁通

1.利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧

（1）對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）、值域

（最值）、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想.

（2）一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

2上匕較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法

常見類型解題方法

底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷

底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進(jìn)行分類討論

底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較

底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,。等中間量走行比較

【典例1】（單選題）（23-24高一上.山東濱州?期末）若函數(shù)產(chǎn)log—（。>（）,且的圖象如圖所示,

則下列函數(shù)與圖象對應(yīng)正確的為（)

C.------------A

Ox

尸1。&(-幻

（單選題）23-24高一上?云南昭通?期末）/（x）=lo,（x-l）+i（〃>0且。￥1）的圖象恒過定

【典例2】（g<

點(diǎn)M,密函數(shù)g（x）過點(diǎn)用，則為（）

A.1B.2C.3D.4

3

【典例3】（單選題）（23-24高三上.天津?yàn)I海新.階段練習(xí)）已知a=log35,b=logo，,c=］,則。也c?的大

小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.a>b>c

C.c>b>aD.a>c>b

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.（23-24高一下?浙江?期中）在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)/（x）=（a-Dx,g（x）=log“x的圖象可能是（）

2.（2024?山東聊城?三模）設(shè)。=1嗚9力=log25,c=3Mo3,則a8,c的大小關(guān)系為（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>h>cD.c>b>a

3.（23-24高一下?湖南長沙?期中）若函數(shù)“力=1叱（。-1）］+1］在（2,3）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（）

A.（-<=0,1）B.朋C.［川D.刖

4.（2024?云南?一模）已知若。=f==則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

5.（2023?廣西南寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=lQg〃（37）+lQg“（x+l）（0vavl）,若/（x）的最小值為-2,

則”二（）

A.-B.@C.；D.也

3322

二、填空題

6.（23-24高三下?北京順義?階段練習(xí)）函數(shù)/（八）=加（人+1）十JT7的定義域是.

(iy

7.(2024高三.全國?專題練習(xí))已知函數(shù)人x)=15卜設(shè)。=l°g[6,則歐切=

2

log3X,x>()

8.(23-24高一下?上海閔行?階段練習(xí))函數(shù))'=陛1。+2)72/￡[2,6]的最大值為

2

9.(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)y=logu(x-2)+13>0,且〃w1)的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓

22

—+—=1(機(jī)>0,〃>0)上，則〃?+〃的最小值為.

mn

【題型三解對數(shù)方程與不等式】

觸類旁通求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法

類型方法

借助>=log”的單調(diào)性求解，如果。的取值不確定，需分。>1與0V。

\Gg(lX>\ogab

<1兩種情況討論

\0gaX>b需先將b化為以。為底的對數(shù)式的形式，再借助y=logd的單調(diào)性求解

【典例1](單選題)已知lc&[h&(b&Y)]=。，則X的值為1)

A.1B.32C.64D.16

【典例2】(單選題)(2024?遼寧?三模)已知集合人=何ln(x-2)<0},fi={y|y=2v-l,xeA),則=

()

A.(2,3]B.(2,7]C.(-1,7]D.(-1,-K?)

■題型詞練■

一、單選題

I.(2024.河南.模擬預(yù)測)Sb*ln(/+e)>lnW+e)”fK)()

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

,1

x+X,—"2?xW—

4

2.（23-24高二下.湖南.階段練習(xí)）已知函數(shù)“力=?，若的值域是［-2,2］,則c的值為

log/」<x<c

24

()

A.2B.2&C.4D.8

3.（22-23高一上?湖北?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（"=啥，則方程［/（x）y=2+k）g閭的解為（）

A.1B.g或曲C.g或2及D.2或孝

4.（23-24高一下.浙江溫州,開學(xué)考試）宇宙之大，粒子之微，無處不用到數(shù)學(xué).2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C

給了“阿秒光脈沖”，光速約為3x10~1/11阿秒等于lO^s.一尺之桎，日取其半，萬世不竭，一根1米長

的木槌，第一次截去總長的一半，以后每次截去剩余長度的一半，至少需要截（）次才能使其長度小于

光在1阿秒內(nèi)走的距離.（參考數(shù)據(jù)：1g2=0.30,lg3ao.48）

A.30B.31C.32D.33

二、填空題

5.（2024?北京西城?二模）函數(shù)/*）=4+k>g/的定義域是.

6.（2024?內(nèi)蒙古?三模）若1嗚3'=1,則9-*=.

7.（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）方程lg（2—x）+lg（3-x）=lgl2的解是.

8.（23-24高一上.江蘇連云港.期末）函數(shù)“可是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則不等式/⑴</（lgx）的解

集為.

【題型四對數(shù)型復(fù)合函數(shù)】

求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟

一求求出函數(shù)的定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論

判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，分〃>1與0V/V1兩種情況

二判

判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減''原則判斷

函數(shù)的單調(diào)性

【典例1］（23-24高一上.浙江杭州.期末）已知函數(shù)/（x）=log2（aF+2x-l）,aeR.

⑴若/（x）過定點(diǎn)（1,2）,求/“）的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若/"）值域?yàn)镽，求。的取值范圍.

■題型詞練■

一、單選題

1.（23-24高二下?四川?期中）函數(shù)/（x）=ln（f-4x-12）的單謊遞減區(qū)間為（）

A.（-oo,-2）B.（-oo,2）C.（2,+oo）D.（6,+oo）

3—t

2.（2024.全國.模擬預(yù)測）函數(shù)f（x）=xln「的大致圖象為（）

JI人

3.（23?24高三上?寧夏石嘴山?期末）已知函數(shù)/（x）=ln（e+x）-ln（e-x）,則八幻是（）

A.奇函數(shù)，且在（0,0上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在@e）上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在9e）上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在Oe）上是減函數(shù)

二、填空題

4.（23-24高三上?四川廣安?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（幻=1叫（一9+2工+3）,則/⑴的值域是.

5.(23-24高一上.廣東茂名?期中)函數(shù))，二［lg(2132-4愴(2、1)+6的值域是.

6.(23-24高三下.陜西西安.階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=1嗝，+爾+2)在(T,*o)單調(diào)遞增，則。的取值范

圍是.

【題型五對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用】

鯨類旁通解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的注意點(diǎn)

⑴要分清函數(shù)的底數(shù)是〃￡(0,1),還是。仁(1,+oo).

(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，都要在其定義域上

進(jìn)行.

(3)轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.

【典例1］(23-24高三上?山東德州?階段練習(xí))已知函數(shù)〃