2.4.1

圖形面積的最大值

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.（難點）2.會運用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值.3.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決圖形中最大面積問題.（重點）知識點一：利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題1.(1)幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論；(2)根據(jù)幾何圖形的特征用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示所求圖形的面積，構(gòu)建二次函數(shù)模型；(3)運用二次函數(shù)的圖象與公式求函數(shù)的最大(小)值．2.在數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們用一根長為100cm的細繩圍矩形．設(shè)矩形的一邊長為xcm，面積為ycm2.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時，所圍矩形的面積最大，最大是多少？解：(1)y＝x(50－x)，即y＝－x2＋50x(2)配方，得y＝－(x－25)2＋625，當(dāng)x＝25時，所圍矩形的面積最大，最大面積是625cm2知識點二：利用二次函數(shù)解決拋物線型問題3.在實際問題中，存在著與拋物線的形狀相關(guān)的圖形，如拋物線型建筑物(拱門、橋洞問題等)、球的運動軌跡、噴泉噴出的水的軌跡等，都可以通過建立二次函數(shù)的模型來解決．4.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降_______米，水面寬8米．【典例導(dǎo)引】5.【例1】用總長為a米的材料做成如圖①的矩形窗框，設(shè)窗框的寬為x米，窗框的面積為y平方米，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②，則a的值是()A.9B．8C．6D．不能確定CA

7.【例2】如圖，從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h＝－5t2＋30t.(1)當(dāng)小球運動的時間是多少時，小球回落到地面A處？(2)求小球在運動過程中的最大高度．解：(1)當(dāng)h＝0時，－5t2＋30t＝0，解得t＝0或t＝6.答：當(dāng)小球運動的時間是6s時，小球回落到地面A處(2)h＝－5t2＋30t＝－5(t－3)2＋45，∴當(dāng)t＝3時，h最大＝45.答：小球在運動過程中的最大高度為45m8.在立定跳遠時，起跳后的騰空路線可以近似地看作是拋物線的一部分．從起跳到落地的過程中，設(shè)運動員距離地面的豎直高度為y(m)，距離起跳點的水平距離為x(m).已知，運動員跳到最高處時距離地面的豎直高度為0.4m，距離起跳點的水平距離為1m.(1)求該運動員立定跳遠騰空路線的表達式；(2)求該運動員立定跳遠落地時距離起跳點的水平距離．解：(1)拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，0.4)，設(shè)該運動員騰空路線的表達式y(tǒng)＝a(x－1)2＋0.4，∵圖象過(0，0)，∴0＝a(0－1)2＋0.4，解得a＝－0.4，∴函數(shù)表達式為y＝－0.4(x－1)2＋0.4

(2)令y＝0，即0＝－0.4(x－1)2＋0.4，解得x＝0(舍去)或2，∴該運動員落地時距離起跳點的水平距離為2m9.【例3】學(xué)校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為20米的籬笆恰好圍成(如圖所示).設(shè)矩形的一邊AB的長為x米(要求AB＜AD)，矩形ABCD的面積為S平方米．(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)要想使花圃的面積最大，AB邊的長應(yīng)為多少米？解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，AB的長為x米，∴CD＝AB＝x(米).∵矩形除AD邊外的三邊總長為20米，∴BC＝(20－2x)米．∴S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x.∵0＜x＜20－2x，∴當(dāng)x＝5時，S取最大值，最大值為50，∴AB邊的長為5米時，花圃的面積最大，最大值為50平方米10.在一次社會實踐活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩墻足夠長)，用28米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設(shè)AB＝x米．(1)如果花園的面積為192平方米，求x的值；(2)如果在點P處有一棵樹到墻CD，AD的距離分別是15米和6米，要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細)，直接寫出花園面積的最大值．解：(1)∵AB＝x米，則BC＝(28－x)米，∴由題意得x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16.∴x的值為12或16(2)∵AB＝x米，解得6≤x≤13.設(shè)花園的面積為S平方米，由題意可得：S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵當(dāng)6≤x≤13時，S隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝13時，S最大值＝195，即花園面積的最大值為195平方米課堂小結(jié)幾何面積最值問題一個關(guān)鍵一個注意建立函數(shù)關(guān)系式常見幾何圖形的面